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文檔簡介
第27
章圓27.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系3.切線(第1課時切線的判定與性質(zhì))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.判定一條直線是否為圓的切線,并會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.(重點(diǎn))3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題.(難點(diǎn))問題:下圖中讓你感受到了直線與圓的哪種位置關(guān)系?如何判斷一條直線是否為切線呢?新課導(dǎo)入砂輪上打磨工件時飛出的火星.1.切線的判定定理知識講解ABC問題:已知圓O上一點(diǎn)A,怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)A作圓O的切線?觀察:(1)圓心O到直線AB的距離
與圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?(2)二者位置有什么關(guān)系?為什么?O經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC
⊥
OA于ABC為⊙O的切線OABC
1.切線的判定定理2.符號表示歸納:判斷一條直線是一個圓的切線有三種方法:1.定義法:直線和圓只有一個公共點(diǎn)時,我們說這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法:圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時,直線與圓相切;3.判定定理:經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.0lAlOlrd用三角尺過圓上一點(diǎn)畫圓的切線.做一做
如下圖所示,已知⊙O
上一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫⊙O
的切線.畫法:(1)如圖,連結(jié)OP,將三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處,并使一直角邊與半徑OP
重合;為什么畫出來的直線l是⊙O的切線呢?例1如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)A,且AB=OA,∠OBA=45°,求證:直線AB是⊙O的切線.證明:∵AB=OA,∠OBA=45°,∴∠AOB=∠OBA=45°(等邊對等角)∴AB⊥OA.∵
點(diǎn)A在圓上∴直線AB是⊙O
的切線(經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線))ABO●∴∠OAB=180°-∠OBA-∠AOB=90°,
已知:直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB.求證:直線AB是⊙O的切線.OBAC分析:由于AB過⊙O上的點(diǎn)C,所以連結(jié)OC,只要證明AB⊥OC即可.
證明:連結(jié)OC.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.
∴AB⊥OC.
∵
OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.
練一練2.切線的性質(zhì)定理問題:如圖,如果直線l是⊙O
的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),那么OA與l垂直嗎?AlO如果直線l是⊙O
的切線,A是切點(diǎn),那么直線l⊥OA.總結(jié):切線的性質(zhì)定理
圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.符號表示:如圖,直線CD與⊙O相切,求證:⊙O的半徑OA與直線CD垂直.證明:(1)假設(shè)AB與CD不垂直,過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足為M;(2)則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾;CDBOA(3)所以⊙O的半徑OA與直線CD垂直.M反證法證明切線的性質(zhì)例2如圖,△ABC
為等腰三角形,AB
=AC
,O是底邊BC的中點(diǎn),腰AB與⊙O
相切于點(diǎn)D.求證:AC
是⊙O的切線.BOCDA分析:根據(jù)切線的判定定理,要證明AC是⊙O的切線,只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OE是⊙O的半徑就可以了,而OD是⊙O的半徑,因此只需要證明OE=OD成立即可.E證明:如圖,過點(diǎn)O作OE⊥AC,垂足為E,連結(jié)OD,OA,∵⊙O與AB相切于點(diǎn)E
,∴OD⊥AB.又∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點(diǎn).∴AO平分∠BAC,EBOCDA∴OE=OD,
即OE是⊙O半徑.∴AC是⊙O的切線.隨堂訓(xùn)練1.判斷下列命題是否正確.
⑴
經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.
⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.
⑶過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是
圓的切線.
⑷與圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.
⑸過直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.()()()(
)()××
CC5證明:連結(jié)OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB,∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE為⊙O的切線.5.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交邊BC于P,PE⊥AC于點(diǎn)E.
求證:PE是⊙O的切線.OABCEP課堂小結(jié)切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個公共點(diǎn),則相切d=r,則相切經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性
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