2.2基本不等式教學設計件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版

2.2基本不等式課時教學目標（核心素養(yǎng)）必備知識重要不等式；基本不等式；了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景。關鍵能力理解并掌握基本不等式及其變形；會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題。學科素養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理教學重點與難點1.教學重點：從不同角度探索不等式的證明過程，會用此不等式求某些簡單函數(shù)的最值；2.教學難點：基本不等式等號成立條件；教學過程教學內容師生活動設計意圖情境導入情境1：展示第24屆國際數(shù)學家大會的會標，介紹趙爽弦圖歷史淵源.情境2：介紹知名校友國際數(shù)學新秀韋東奕.師：展示部分北京數(shù)學家大會的圖片，介紹發(fā)展史.生：欣賞和感受數(shù)學歷史文化,榜樣就在我們身邊.滲透德育，激發(fā)學生的民族自豪感，調動學生數(shù)學學習積極性.基本不等式問題1：在上一節(jié)我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式，請同學回憶是什么不等式？追問：不等式中的取值范國是什么？特別地，如果，，我們用，分別代替上式中的，可以得到怎樣的式子？師生活動：學生回憶、表述，對于任意實數(shù)，有，當且僅當時等號成立．師生活動：生獨立計算后回答．教師總結：對于任意實數(shù)，，得到，變形為，當且僅當時等號成立．此不等式中涉及的是代數(shù)中的“基本量”和最基本的運算，通常我們稱此不等式為基本不等式．其中叫做正數(shù)的算術平均數(shù)，叫做的幾何平均數(shù)．基本不等式表明兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．通過取上一節(jié)課得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式的定義，同時在兩個不等式之間建立聯(lián)系．通過分析基本不等式的代數(shù)結構特點，得到基本不等式的代數(shù)解釋，初步加深對基本不等式的認識．分析法證明問題2：上節(jié)課我們看到，證明不等關系，還可以運用不等式性質，你能否利用不等式的性質推導出基本不等式呢？追問1：你能否尋找一下此不等式成立的充分條件？也就是要證，只需要明什么，從而形成證明思路．追問2：上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？追問3：上述證明方法叫做“分析法”．你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？追問4：你能說說分析法的證明格式是怎樣的嗎？追問5：基本不等式成立的條件是什么？如果或基本不等式是否成立？追問6：“當時等號成立”“僅當時等號成立”含義分別是什么？學生可能根據(jù)兩個實數(shù)大小關系的基本事實，用作差比較證明上式．教師給予肯定并追問，是否還有其它證法？由于沒有已知條件，學生不知從何入手．師生活動：教師給出教科書第44頁用分析法證明的過程，同時指出，只要把上述過程倒過來，就能用不等式的性質直接推出基本不等式了．師生活動：學生分別回答教科書第44頁證明過程中，由=2\*GB3②=1\*GB3①，由=3\*GB3③=2\*GB3②，由=4\*GB3④=3\*GB3③，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤=4\*GB3④的依據(jù)．師生活動：學生討論后回答．教師總結：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．師生活動：學生思考后回答．教師總結：由于分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當推導到一個明顯成立的條件之后，指出“顯然成立”．師生活動：學生通過證明發(fā)現(xiàn)均為非負數(shù)，如果存在負數(shù)時，該不等式不成立．教師指出基本不等式的定義要求均為正數(shù)．師：結合第一章我們研究的常用邏輯用語，你能否發(fā)現(xiàn)，“”和“等號成立”之間的關系？生：“當時等號成立”是說“”是“等號成立”的充分條件;“僅當時等號成立”是說“”是“等號成立”的必要條件，也就是“”和“等號成立”互為充要條件.師：肯定學生能夠前后知識融會貫通.根據(jù)不等式的性質，用分析法證明基本不等式，同時引導學生認識分析法的證明過程和證明格式，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略．強調基本不等式取等條件，加深學生對于等號是否成立的理性認識.加強學生前后知識間的聯(lián)系和數(shù)學應用意識.幾何解釋問題3：如圖AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b,過點C做垂直于AB的弦DE，連接AD,BD，你能利用這個圖形得到基本不等式的幾何解釋嗎？師：前后4人小組，4分鐘時間討論交流.生：小組討論，選派小組代表上臺為同學展示交流成果，其他同學做補充.師：肯定小組交流成果.師：幾何畫板動態(tài)演示，使學生直觀感受變與不變.師：引導學生總結，半徑即為，，圓中直徑不小于任意一條弦，當且僅當弦過圓心時，二者相等.學生自己發(fā)現(xiàn)基本不等式的幾何解釋相對較困難，給出幾何圖形后，引導學生將和與圖中的幾何元素建立起聯(lián)系，再觀察這些幾何元素在變化中表現(xiàn)的大小關系，從而得到基本不等式的幾何解釋，幾何畫板演示增強視覺直觀，數(shù)形結合.典例練習題組一.對基本不等式的理解1.已知，則的最小值為（）A.1B.2C.4D.82.已知且，則的最大值為（）A.B.1C.2D.43.給出下列條件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)其中能使成立的條件有（）A.1個B.2個C.3個D.4個師：最小值的含義是什么？學生思考后回答，教師總結，即求一個實數(shù)M，使所有值都大于等于M，并且能取到M.生：第一題可以利用基本不等式求得，首先滿足應用條件代入公式，求得，當且僅當=1時等號成立.師：引導學生在該題的基礎之上，對基本不等式進行變形，得到（板書），總結得到“兩個正數(shù)積定和最小”生：第二題符合基本不等式應用條件，代入公式求得，當且僅當=1時等號成立.師：引導學生對基本不等式進行變形得（板書），總結得到“兩個正數(shù)和定積最大”生：分析基本不等式的應用前提，即兩個正數(shù)，將，看作兩個整體，要求a,b同號.師：學生共同總結應用基本不等式的注意事項，教師補充，即“一正，二定，三相等”(板書).題組一是典型而較為簡單能夠用基本不等式求解的問題，通過本例的教學，可以幫助學生理解如何直接應用基本不等式解決問題，設置三個題目，逐漸強化基本不等式的應用條件，并由學生親自發(fā)現(xiàn)和總結公式變形，形成求解最值問題的數(shù)學模型，進一步發(fā)展模型思想，整體思想.由題目出發(fā)，總結易錯和注意事項,加深學生對于基本不等式理解，增加學生獲得感，滿足感.典例練習題組二基本不等式求最值1.已知，求的最小值2.已知，求的最大值師：引導學生觀察求最小值的代數(shù)式結構特點，是否可以利用基本不式？如果可以，如何求？學生：思考后，介紹解題思路.師：板書詳細解題過程師：第二題，你有哪些方法可以求最大值？生：基本不等式法和函數(shù)法可以求得最大值.練習本完成.師：投影講解，強調步驟規(guī)范性.引導學生根據(jù)所求代數(shù)式的形式，判斷能否利用基本不等式解決問題，同時強調代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學生求解代數(shù)式的最值問題提供示范.課堂小結知識要點：

（1）基本不等式的條件及結構特征

（2）基本不等式在幾何、代數(shù)兩方面的意義思想方法：

（1）數(shù)形結合思想

（2）整體與局部（3）模型思想師：引導同學們相互總結本節(jié)課的收獲和注意事項.生：踴躍發(fā)言，從知識層