4.2對(duì)數(shù)（九大題型）（原卷版）

4．2對(duì)數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解對(duì)數(shù)的概念．2、會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．3、掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并能理解推導(dǎo)這些法則的依據(jù)和過(guò)程．4、通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的探素及推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理能力”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識(shí)1、數(shù)學(xué)抽象：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的符號(hào)表示2、邏輯推理：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)、理解指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系3、數(shù)學(xué)運(yùn)算：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用4、數(shù)學(xué)建模：能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（ 且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見(jiàn)a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．【即學(xué)即練1】（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）在b＝log3a－1(3－2a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái)，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．【即學(xué)即練2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問(wèn)題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【即學(xué)即練3】化簡(jiǎn)求值：.題型一：對(duì)數(shù)的定義【典例11】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）對(duì)數(shù)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例12】（2024·高一·福建廈門·期末）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．4【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．【變式11】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【變式12】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）有下列說(shuō)法：①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式13】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在b＝log3a－1(3－2a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式14】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）若，則x的取值范圍是A． B．C． D．題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用【典例21】（多選題）（2024·高一·貴州畢節(jié)·期末）下列四個(gè)命題：①；②若，則；③；④．其中真命題是（

）A．① B．② C．③ D．④【典例22】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題的重要手段.【變式21】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式22】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4).【變式23】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4).【變式24】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【變式25】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值【典例31】（2024·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【典例32】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為真數(shù).【變式31】（2024·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．【變式32】（2024·貴州·遵義四中高一期末）______．題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)【典例41】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求值：（

）A．1 B． C．2 D．【典例42】（2024·高一·青海海東·期中）已知都是正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．【變式41】（2024·高一·陜西西安·階段練習(xí)）（

）A． B．1 C． D．【變式42】（多選題）（2024·高一·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）以下運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式43】（多選題）（2024·高一·江蘇宿遷·期中）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【變式44】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）.【變式45】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：的值是．題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問(wèn)題【典例51】（2024·高一·江蘇·假期作業(yè)）方程的根為（

）A． B．C．或 D．或【典例52】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）方程＝的解是（

）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝9【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法【變式51】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）方程解的個(gè)數(shù)是（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)【變式52】（2024·高一·上?！て谀┓匠痰慕?【變式53】（2024·高一·上海閔行·期末）方程的解是.【變式54】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、，求的值.【變式55】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）解關(guān)于的方程.（1）；（2）.題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【典例61】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【典例62】（2024·高一·上?！ふn堂例題）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái).【變式61】化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式62】（2024·高一·山東臨沂·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值（需要寫出計(jì)算過(guò)程）(1).(2).【變式63】（2024·高二·湖南婁底·期末）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)．【變式64】求下列各式的值：(1)；(2)（a、b、c均為不等于1的正數(shù)）；(3)；(4).題型七：換底公式的運(yùn)用【典例71】（2024·高一·江蘇常州·期中）.【典例72】（2024·高一·上海浦東新·期中）已知，則.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問(wèn)題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．【變式71】（2024·高一·浙江寧波·期末）化簡(jiǎn)求值：.【變式72】（2024·高一·浙江·期中）化簡(jiǎn).【變式73】（2024·高一·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）設(shè)都是非零常數(shù)，且滿足，則.（結(jié)果用表示）【變式74】（2024·高一·上海虹口·期末）若實(shí)數(shù)和滿足，則．題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式【典例81】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）已知，，求（用a，b表示）．【典例82】（2024·高一·上海靜安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，試用表示；（4）已知，試用表示求.【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【變式81】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）（1）設(shè)，試用含有的代數(shù)式表示；（2）設(shè)，，試用、表示；（3）設(shè)，，試用、表示.【變式82】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，求.（用表示）【變式83】（2024·高一·上海靜安·期中）若，用表示【變式84】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知，試用a，b分別表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【變式85】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.題型九：證明常見(jiàn)的對(duì)數(shù)恒等式【典例91】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）證明：（1）；（2）.【典例92】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知在中，，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c．求證：．【方法技巧與總結(jié)】利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.【變式91】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）利用換底公式證明：(1)；(2)．【變式92】（2024·高一·浙江·開(kāi)學(xué)考試）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550年﹣1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為..我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：.理由如下：設(shè)，，所以，，所以，由對(duì)數(shù)的定義得:，又因?yàn)?，所以解決以下問(wèn)題：（1）將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：.（2）仿照上面的材料，試證明：.（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算.1．（2024·高一·安徽·期末）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退：心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的．假設(shè)初始值為1，如果每天的“進(jìn)步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“進(jìn)步者”是“退步者”的倍．照此計(jì)算，大約經(jīng)過(guò)（

）天“進(jìn)步者”是“退步者"的2倍（參考數(shù)據(jù)：，）A．33 B．35 C．37 D．392．（2024·高一·重慶·期末）已知實(shí)數(shù)，且，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．的值為4或8 C． D．的值為3．（2024·高一·江蘇揚(yáng)州·期末）若，，則下列答案不正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·高三·北京大興·期末）已知且，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·廣西·期中）已知，，，則的最小值是（

）A．4 B．10 C．12 D．166．（2024·高一·云南保山·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C．2 D．7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．2 C． D．8．（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）．A．18 B．9 C． D．39．（多選題）（2024·高一·湖南·期末）下列各項(xiàng)不正確的是（

）A． B．C． D．10．（多選題）（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·期末）已知，且，則（

）A． B．C． D．11．（多選題）（2024·高一·安徽阜陽(yáng)·期末）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．12．