第12課平行四邊形及其性質(zhì)（教師版）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊《考點題型技巧》精講與精練高分突破（浙教版）

第12課平行線四邊形及其性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平行四邊形的概念.會用符號表示平行四邊形.2.理解“平行四邊形的對角相等”“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì).3.了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實際應(yīng)用.4.掌握平行線的“夾在兩條平行線間的平行線段相等”“夾在兩條平行線間的垂線段相等”的性質(zhì).5.了解兩條平行線間的距離的意義，能度量兩條平行線間的距離.能運用兩條平行線間的距離的意義解決一些簡單的實際問題.知識精講知識精講知識點01平行四邊形及其性質(zhì)1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對角相等（2）平行四邊形的對邊平行且相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。3.夾在兩條平行線間的平行線段相等，夾在兩條平行線間的垂線段相等。4.兩條平行線中，一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等，叫做這兩條平行線之間的距離。能力拓展考點01平行四邊形及其性質(zhì)能力拓展【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，過點C作CF⊥BD，垂足為點F．（1）求證：AE＝CF；（2）若∠AOE＝70°，∠EAD＝3∠EAO，求∠BCA的度數(shù)．【思路點撥】（1）證明△AEO≌△CFO（AAS）可得結(jié)論；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF；（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝70°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝20°，∵∠EAD＝3∠EAO，∴∠EAD＝3×20°＝60°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝60°﹣20°＝40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝40°．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△AEO≌△CFO．【即學(xué)即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC邊上一點，連接AE、AC、ED，AC與ED交于點O，AE＝AB，求證：（1）AC＝DE．（2）OE＝OC．【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義推出AE＝CD，∠AEC＝∠BCD，EC＝CE，利用SAS證明△AEC≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）結(jié)合（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解析】證明：（1）平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∠B＝∠AEB，∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝∠BCD，又∵EC＝CE，∴△AEC≌△DCE（SAS），∴AC＝DE；（2）由（1）得△AEC≌△DCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在?ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，則∠A＝（）A．40° B．60° C．80° D．100°【思路點撥】根據(jù)平行四邊形的對角相等和∠A+∠C＝160°，可以求得∠C的度數(shù)．【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，故選：C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的對角相等．2．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AC＝8，則AO的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【思路點撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD交于點O，∴AO＝OC＝AC，∵AC＝8，∴AO＝4，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．3．如圖，平行四邊形ABCD的周長為40，△BOC的周長比△AOB的周長多10，則AB長為（）A．20 B．15 C．10 D．5【思路點撥】由于平行四邊形的對角線互相平分，那么△AOB、△BOC的周長差，實際是AB、BC的差，聯(lián)立平行四邊形的周長，即可得解．【解析】解：∵，△BOC的周長比△AOB的周長多10，即BC﹣AB＝10，∵平行四邊形ABCD的周長是40，即BC+AB＝20，∴AB＝5．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，比較簡單，關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)解題：平行四邊形的對角線互相平分．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，則平行四邊形ABCD的周長為（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【思路點撥】先求出平行四邊形的一組鄰邊長，再求周長．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD與BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四邊形ABCD的周長為2×（7+4）＝22（cm），故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等角對等邊和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在?ABCD中，AD＝6，∠ADB＝30°．按以下步驟作圖：①以點C為圓心，以CD長為半徑作弧，交BD于點F；②分別以點D，F(xiàn)為圓心，以CD長為半徑作弧，兩弧相交于點G．作射線CG交BD于點E．則BE的長為（）A．3 B． C．4 D．3【思路點撥】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC＝6，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，由題意可得CG⊥BD，∴CE＝BC＝3，BE＝EC＝3，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，基本作圖，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若S△AOB＝4，則平行四邊形ABCD的面積＝16．【思路點撥】由平行四邊形的性質(zhì)可知，S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC，進(jìn)而可求平行四邊形ABCD的面積．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，則△AOB與△BOC等底同高，∴S△AOB＝S△BOC，同理可得：S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC＝4，∴平行四邊形ABCD的面積為：4×4＝16，故答案為：16．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，得到S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△DOC是關(guān)鍵．7．在?ABCD中，∠A＝150°，則∠C＝150°．【思路點撥】利用平行四邊形的對角相等可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A＝150°，∴∠C＝150°，故答案為：150．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在?ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于E，則∠DAE＝20°．【思路點撥】由DB＝CD，得∠DBC＝∠C＝70°，則∠ADE＝∠DBC＝70°，而∠AED＝90°，所以∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°．【解析】解：∵DB＝CD，∴∠DBC＝∠C＝70°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，∵AE⊥BD于E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20°．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余等知識，由平行四邊形的性質(zhì)求得∠DBC＝∠C＝70°是解題的關(guān)鍵．9．在平行四邊形ABCD中，，則AD的長為．【思路點撥】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及逆定理分析得出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝2，BD＝4，∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，∵AB＝，∴12+（）2＝22，∴AO2+AB2＝BO2，∴△ABO是直角三角形，∴AD＝＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行四邊的性質(zhì)以及勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．10．如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝57°，則∠ADE＝19°．【思路點撥】設(shè)∠ADE＝x，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出DE＝AF＝AE＝EF，∠DAE＝∠ADE＝x，則DE＝CD，推出∠DCE＝∠DEC＝2x，再由平行四邊形的性質(zhì)得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x，得出方程，解方程即可．【解析】解：設(shè)∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴DE＝AF＝AE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE＝x，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝57°﹣x，∴2x＝57°﹣x，解得：x＝19°，即∠ADE＝19°，故答案為：19°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；根據(jù)角的關(guān)系得出方程是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，DO＝3．求△COD的周長．【思路點撥】由四邊形ABCD是平行四邊形，可求得BD的長，然后由AD⊥BD，AD＝4，OD＝3，利用勾股定理即可求得AB與OA的長，繼而求得△COD的周長．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，OB＝OD，OC＝OA，∴BD＝2OD＝2×3＝6，∵AD⊥BD，AD＝4，∴AB＝＝＝2，OA＝＝＝5，∴CD＝AB＝2，OC＝OA＝5，∴△COD的周長為：OD+OC+CD＝8+2．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且∠EAF＝∠ECF．求證：AE＝CF．【思路點撥】由平行四邊形ABCD，則可得AD∥BC，且AD＝BC，又有BE＝DF，則可得AF∥EC，且AF＝EC，即可得四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而可得出AE＝CF．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC，又BE＝DF，∴AF∥EC，且AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在?ABCD中，E是BC上一點，連接AE交BD于點F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°．（1）∠EAD的度數(shù)；（2）當(dāng)AF⊥BD時，求∠ABD的度數(shù)．【思路點撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，由平行線的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，即可得到∠EAD＝∠CDA＝70°；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠C＝110°，即可求出∠BAF的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出∠ABF的度數(shù)．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠C+∠ADC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠C＝70°，∴∠EAD＝∠CDA＝70°（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠C＝110°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝110°﹣70°＝40°，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝50°．【點睛】本題考查平行四邊性質(zhì)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．15．如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊BA、DC的延長線上，連結(jié)EF，交對角線BD于點O，已知OE＝OF．試猜想線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【思路點撥】BE＝DF，欲證明該結(jié)論，只需通過證明△BOE≌△DOF得到BE＝DF．【解析】解：BE＝DF．理由如下：在?ABCD中，BE∥FD，則∠EBO＝∠FDO．在△BOE與△DOF中，∵．∴△BOE≌△DOF（AAS）．∴BE＝DF．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．題組B能力提升練16．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，過點O作OE⊥AC交AD于點E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，則AC的長為（）A． B．6 C．8 D．【思路點撥】連接CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再由勾股定理的逆定理證明△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，然后由勾股定理即可求解．【解析】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝5，OA＝OC，∵OE⊥AC∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25，∴CE2+DE2＝CD2，∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝4，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△EDC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，若AC＝6，BD＝10，則邊AB的長的取值范圍是（）A．6＜AB＜10 B．4＜AB＜16 C．2＜AB＜8 D．3＜AB＜5【思路點撥】直接利用平行四邊形形對角線互相平分得出AO，BO的長，再利用三角形三邊關(guān)系得出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝6，BD＝10，∴AO＝3，BO＝5，在△ABO中，AB的取值范圍是：5﹣3＜AB＜5+3，即2＜AB＜8．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，得出AO，BO的長是解題關(guān)鍵．18．如圖，點O為?ABCD內(nèi)一點，連接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面積為3，△ABO的面積為5，則陰影部分的面積為（）A．2 B．3 C．3 D．3.5【思路點撥】設(shè)△COD的面積為x，根據(jù)S平行四邊形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S平行四邊形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，設(shè)△COD的面積為x，∴S平行四邊形ABCD＝2（5+x）＝2（S陰影△BOD+x+3），∴S陰影△BOD＝5+x﹣x﹣3＝2，即陰影部分的面積為2，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，弄清平行四邊形的面積與三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4），點D為平面直角坐標(biāo)系中的點，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標(biāo)（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1）．【思路點撥】分三種情況：①BC為對角線時，②AB為對角線時，③AC為對角線時；由平行四邊形的性質(zhì)容易得出點D的坐標(biāo)．【解析】解：分三種情況：①BC為對角線時，CD平行且等于AB，可知點D的坐標(biāo)為（4，7）②AB為對角線時，AC平行且等于BD，可知點D的坐標(biāo)為（0，﹣1），③AC為對角線時，AB平行且等于CD，可知點D的坐標(biāo)為（﹣4，1），綜上所述，點D的坐標(biāo)可能是（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1），故答案為：（4，7）或（0，﹣1）或（﹣4，1）．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，?ABCD中，DE平分∠CDA，且點E是線段BC的中點，BC＝10，AE＝6，則DE的長為8．【思路點撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，BC＝AD＝10，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠CDA，∴∠ADE＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴EC＝CD，∵點E是線段BC的中點，BC＝10，∴EC＝CD＝5，BE＝EC＝5，∴AB＝CD＝5，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴△AED是Rt△，∵AE＝6，AD＝10，∴DE＝．故答案為：8．【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理解答．21．如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．（1）猜想∠BAO＝90°，并證明你的猜想．（2）求平行四邊形ABCD的周長．（3）求點A到BC邊的距離．【思路點撥】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（2）先利用勾股定理可得，再根據(jù)平行四邊形的周長公式即可得；（3）過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝AB?AC即可得．【解析】解：（1）猜想∠BAO＝90°，證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝2，BD＝4，∴，∵，∴OA2+AB2＝4＝OB2，∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，故答案為：90°；（2）∵，∴，則平行四邊形ABCD的周長為；（3）如圖，過點A作AE⊥BC于點E，∵，∴S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝AB?AC，即，解得，即點A到BC邊的距離為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的長．【思路點撥】（1）由平行四邊形性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，由平行線的性質(zhì)得∠ABE＝∠CDF，再由垂線性質(zhì)得∠AEB＝∠CFD＝90°，然后由AAS即可證得△ABE≌△CDF；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD，再由勾股定理得BO＝2，即可得出結(jié)果．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO＝AC＝×2＝，BO＝DO＝BD，∵∠BAC＝90°，∴△BAO是直角三角形，在Rt△BAO中，由勾股定理得：BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝2×2＝4．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，平行四邊形ABCD的周長為36cm，由鈍角頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且DE＝4cm，DF＝5cm．（1）猜想：∠1與∠B的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求這個平行四邊形的面積．【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)等積法和平行四邊形的周長，求出平行四邊形的邊長，然后再求出平行四邊形的面積即可．【解析】解：（1）∠1＜∠B；理由如下：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ADC＝∠B，∵D為平行四邊形ABCD的鈍角頂點，∴∠1＜∠ADC，∴∠1＜∠B；（2）∵DE、DF為平行四邊形的兩條高線，∴S平行四邊形ABCD＝AB?DE＝BC?DF，∴，∴設(shè)AB＝5xcm，則BC＝4xcm，∵平行四邊形ABCD的周長為36cm，∴2（4x+5x）＝36，解得：x＝2，∴AB＝5×2＝10（cm），∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．題組C培優(yōu)拔尖練24．如圖，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且△PAB和△PAD的面積分別為5和2，則△PAC的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路點撥】過P作MN⊥BC，分別交AD、BC于M、N，易證，其中S平行四邊形ABCD＝a，則，由S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC即可求解．【解析】解：過P作MN⊥BC，分別交AD、BC于M、N，則＝＝＝，設(shè)S平行四邊形ABCD＝a，即，∴，∴S△PAC＝S△PAB+S△PCB﹣S△ABC＝＝＝3．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及等積法求不規(guī)則圖形的面積；解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)求得．25．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OA＝OB．其中成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明△ABE為等邊三角形，由BC＝AD＝2AB，可判斷①，證明∠BAC＝90°，可判斷②；由平行四邊形的面積公式可判斷③；利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判斷④，由平行四邊形的對角線性質(zhì)即可判斷⑤，即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正確；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②錯誤；∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中點，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8，∵S△AOD：S?ABCD＝1：4，∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．∵平行四邊形的對角線互相平分，AC≠BD，∴OA≠OB，故⑤錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在?ABCD，點F是BC上的一點，連接AF，AE平分∠FAD，交CD于中點E，連接EF，若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，則EF＝4．【思路點撥】延長AE，BC交于點G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根據(jù)三線合一即可得到FE⊥AG，進(jìn)而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【解析】解：如圖，延長AE，BC交于點G，∵點E是CD的中點，∴D