專題04豬蹄模型與鉛筆模型（原卷版）2022-2023學年七年級數(shù)學下冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

專題04豬蹄模型與鉛筆模型壓軸題真題（原卷版）模型一：豬蹄與鋸齒模型【模型結(jié)論】如圖，直線MA∥NB，則：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P；③∠A+∠B+∠P+…+P＝∠P+∠P+∠P+…+∠P模型二：鉛筆模型【模型結(jié)論】如圖1：AB∥CD，則∠1+∠2＝180°；如圖2：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3＝360°；如圖3：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如圖4：AB∥CD，則∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。1．（雅禮）已知，AB∥CD，分別探討四個圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關(guān)系．（1）請說明圖1、圖2中三個角的關(guān)系，并任選一個加以證明．（2）猜想圖3、圖4中三個角的關(guān)系，不必說明理由．（提示：注意適當添加輔助線?。?．（2021春?天心區(qū)校級月考）如圖，已知直線MN∥EF．C是這兩直線之間一點．（1）如圖1，若∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAM的平分線與∠CBF的平分線所在的直線相交于點D，請直接寫出∠ACB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2022·全國）【閱讀材料】在“相交線與平行線”的學習中，有這樣一道典型問題：如圖①，AB∥CD，點P在AB與CD之間，可得結(jié)論：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：過點P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【問題解決】(1)如圖②，AB∥CD，點P在AB與CD之間，寫出∠BAP，∠APC，∠PCD間的等量關(guān)系；（只寫結(jié)論）(2)如圖③，AB∥CD，點P，E在AB與CD之間，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．寫出∠AEC與∠APC間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖④，AB∥CD，點P，E在AB與CD之間，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，寫出∠AEC與∠APC間的等量關(guān)系．（只寫結(jié)論）4．（2022春·云南玉溪·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，直線，EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，的平分線相交于點M．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，，的平分線相交于點，請寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)在圖2中作的平分線相交于點，作的平分線相交于點，依此類推，作的平分線相交于點，請直接寫出的度數(shù)．5．（2021春·吉林)【閱讀探究】如圖1，已知，分別是上的點，點在兩平行線之間，，，求的度數(shù)．解：過點作,∵,∴,∴，，∴

，從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．進一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系：．【方法運用】如圖2，已知，點分別在直線上，點在兩平線之間，求和之間的數(shù)量關(guān)系．【應(yīng)用拓展】如圖3，在圖2的條件下，作和的平分線、，交于點（交點在兩平行線之間）若，求的度數(shù)．6．（2022春·福建莆田）對于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M=90°，∠N=45°，則∠N為∠M的6系補周角．(1)若∠H=120°，則∠H的4系補周角的度數(shù)為°；(2)在平面內(nèi)AB∥CD，點E是平面內(nèi)一點，連接BE，DE；①如圖1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數(shù)；②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．7．（2022春·湖北十堰）已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

8.（廣益）已知，點為平面內(nèi)一點，于．（1）如圖1，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點作，垂足為，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，作平分，交于點，作平分，交于，連接，若，且，求的度數(shù)．9．（2022春·湖南長沙）如圖，PQMN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點，且∠BAN=45°，若射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點A、點B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足．(1)a=________，b=________；(2)若射線AM、射線BQ同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線BQ互相垂直．(3)若射線AM繞點A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線AM、射線BQ互相平行？10．（2019春·浙江）如圖，，、分別為直線、上兩點，且，若射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點、點不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)運的速度是，秒，射線轉(zhuǎn)運的速度是/秒．（友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向）（1）若射線、射線同時旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線、射線互相垂直．（2）若射線繞點順時針先轉(zhuǎn)動，射線才開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線到達之前，問射線再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線、射線互相平行？（3）如圖，射線和射線同時轉(zhuǎn)動，在射線到達之前．若射線與射線交于點，過作交于點，則在轉(zhuǎn)動過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，說明理由．

11．（師大）如圖1，已知直線PQ∥MN，點A、B分別在直線MN、PQ上，射線AM繞點A以5°/秒的速度按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與AN（或AM）重合后便立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點B以2°/秒的速度按順時針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與BP重合后便停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM'和BQ'．（1）若射線BQ先轉(zhuǎn)動30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達AN之前，射線AM轉(zhuǎn)動幾秒后AM'∥BQ'；（2）若射線AM，BQ同時轉(zhuǎn)動t秒，在射線BQ停止轉(zhuǎn)動之前，記射線AM'與BQ'交于點H，若∠AHB＝90°，求t的值；（3）射線AM，BQ同時轉(zhuǎn)動，在射線AM第一次到達AN之前，記射線AM'與BQ'交于點K，過K作KC⊥AK交PQ于點C，如圖2，若∠BAN＝30°，則在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BAK與∠BKC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

12．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在平面直角坐標系中，，且滿足，過作軸于（1）求三角形的面積．（2）發(fā)過作交軸于，且分別平分，如圖2，若，求的度數(shù)．（3）在軸上是否存在點，使得三角形和三角形的面積相等？若存在，求出點坐標；若不存在；請說明理由．13．（2