2023-2024學(xué)年北京十三中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京十三中高一（上）期中數(shù)學(xué)2023年11月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1頁至第2頁；第Ⅱ卷第3頁至第5頁，答題紙第1頁至第3頁．共150分，考試時間120分鐘．請在答題紙規(guī)定處書寫班級、姓名、準(zhǔn)考證號．考試結(jié)束后，將本試卷的答題紙按頁碼順序一并交回．一、選擇題1.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.2.若，則一定有（）A. B. C. D.3.函數(shù)零點所在的一個區(qū)間是（）A. B. C. D.4.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.1 D.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.6.命題，，則p是q的______條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要7.已知命題“，使得”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.8.設(shè)集合，，若?，則對應(yīng)的實數(shù)對有A.對 B.對 C.對 D.對9.設(shè)常數(shù)a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，則a的取值范圍為（）A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞）10.如圖為某商鋪、兩種商品在2022年前3個月的銷售情況統(tǒng)計圖，已知商品賣出一件盈利20元，商品賣出一件盈利10元.圖中點、、的縱坐標(biāo)分別表示商品2022年前3個月的銷售量，點、、的縱坐標(biāo)分別表示商品2022年前3個月的銷售量.根據(jù)圖中信息，下列四個結(jié)論中正確的是（）①2月、兩種商品的總銷售量最多；②3月、兩種商品的總銷售量最多；③1月、兩種商品的總利潤最多；④2月、兩種商品的總利潤最多.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題11.函數(shù)的定義域是______．12.方程組的解集是______．13.已知，則_______．14.已知不等式的解集為，則不等式的解集為___________．15.已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則的解集為______．16.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.（1）若中有且只有一個元素，則的值為___________；（2）若且，則的取值范圍是___________.17.已知函數(shù)若，則的值域是____；若的值域是，則實數(shù)的取值范圍是____．18.某廠商為推銷自己品牌的可樂，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個該品牌的可樂空罐換1罐可樂.對于此促銷活動，有以下三個說法：①如果購買10罐可樂，那么實際最多可以飲13罐可樂;②欲飲用100罐可樂，至少需要購買67罐可樂：③如果購買罐可樂，那么實際最多可飲用可樂的罐數(shù).（其中表示不大于x的最大整數(shù)）則所有正確說法的序號是__________.三、解答題19.已知a，，試比較與的大小，并證明．20.已知函數(shù).（Ⅰ）證明：是奇函數(shù)；（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.21.已知函數(shù)定義在區(qū)間上，其中.（1）若，求的最小值；（2）求的最大值.22.已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）己知，且在上恒成立，求a的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，，求的取值范圍．23.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130噸該農(nóng)產(chǎn)品.以x（單位：噸，）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，y（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（I）將y表示為x的函數(shù)：（II）求出下一個銷售季度利潤y不少于57000元時，市場需求量x的范圍.24.已知集合的元素個數(shù)為且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓戏殖稍貍€數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合、、，即，，，，其中，，，且滿足，，、、、，則稱集合為“完美集合”.（1）若集合，，判斷集合和集合是否為“完美集合”？并說明理由；（2）已知集合為“完美集合”，求正整數(shù)的值；（3）設(shè)集合，證明：集合為“完美集合”的一個必要條件是或.參考答案一、選擇題1.【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合間的運算求解.【詳解】因為，則，所以．故選：D.2.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例逐項檢驗后可得正確的選項.【詳解】取，則，，，故A、B、C均錯誤，由不等式的性質(zhì)可得，故D正確.故選：D.3.【答案】C【分析】利用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間即可.【詳解】由解析式知：在上恒負(fù)，故不存在零點，在上遞減，而，，內(nèi)趨向于0時，趨向正無窮，而趨向于正無窮時，趨向負(fù)無窮.綜上，零點所在的一個區(qū)間是.故選：C4.【答案】B【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選:B.5.【答案】A【分析】由偶函數(shù)、增函數(shù)的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以不是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，的定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：A.6.【答案】A【分析】解分式不等式和絕對值不等式，進而求出p是q的充分不必要條件.【詳解】，解得，，即，解得，因為，但，故p是q的充分不必要條件.故選：A7.【答案】D【分析】由題設(shè)，使得為真，結(jié)合一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立列不等式組求參數(shù)范圍，注意討論的情況.【詳解】由題設(shè)，，使得為真，所以.又時恒成立，綜上，.故選：D8.【答案】D【分析】先解出，再討論包含關(guān)系（注意集合元素互異性），解出數(shù)對．【詳解】解：因為集合，所以，，因為，，，，所以，或，或，①當(dāng)時，即，，，此時可知，，，成立，即，；②當(dāng)時，即，，，此時可知，，，成立，即，；③當(dāng)時，則或當(dāng)時，即，，，此時可知，，，成立，即，；當(dāng)時，即，，，此時可知，，，成立，即，；綜上所述：，，或，，或，，或，，共4對．故選：．【點睛】本題考查集合關(guān)系，綜合集合元素互異性，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】B【詳解】試題分析：當(dāng)時，，此時成立，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，恒成立，所以的取值范圍為，故選B.考點：集合的關(guān)系10.【答案】C【分析】對①②，根據(jù)統(tǒng)計圖的相關(guān)點縱坐標(biāo)高低判斷即可；對③④，根據(jù)利潤是的兩倍，根據(jù)賣得更多的商品判斷利潤高低即可【詳解】對①②，根據(jù)統(tǒng)計圖可得，，的縱坐標(biāo)之和顯然最大，故3月、兩種商品的總銷售量最多；故②正確；對③④，因為商品賣出一件盈利20元，商品賣出一件盈利10元，根據(jù)統(tǒng)計圖，若用對應(yīng)的點表示對應(yīng)點的縱坐標(biāo)，則易得，故③正確綜上②③正確故選：C.二、填空題11.【答案】【分析】根據(jù)二次根式的意義和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.【答案】【分析】解方程求方程組的解，進而寫出解集.【詳解】由，可得或，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；所以原方程的解集為.故答案為：13.【答案】4【分析】應(yīng)用換元法求的解析式，再求即可.【詳解】令，則，∴，即.∴.故答案為：414.【答案】【分析】由題意可知，和2是方程的兩根，再結(jié)合韋達(dá)定理以及十字相乘法，即可得解．【詳解】解：由題意可知，和2是方程的兩根，且，，，，，不等式為，即，解得或．即不等式的解集為故答案為：．15.【答案】或【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】由題意知，奇函數(shù)在單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，如圖，由圖可知，的解集為或.故答案為：或.16.【答案】①.1②.【分析】（1）由題意，不等式的解集只有一個元素，利用開口方向和判別式控制，列出不等關(guān)系，即得解；（2）由且，列出不等關(guān)系，求解即可【詳解】（1）由題意，不等式的解集只有一個元素故，解得（2）由題意，且故，解得故答案為：1，17.【答案】①.②.【詳解】若，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，的值域為，若值域為，時，且時，，要使的值域為，則，得，實數(shù)的取值范圍是，故答案為.18.【答案】②③.【分析】①罐可樂有個可樂空罐，第一次可換罐可樂還剩個空罐，第二次可換罐可樂還剩個空罐，由此算出最多可飲用的可樂罐數(shù)；②：先分析購買罐可樂的情況，再分析購買罐可樂的情況，由此確定出至少需要購買的可樂罐數(shù)；③：先分析購買到罐可樂分別可飲用多少罐可樂以及剩余空罐數(shù)，然后得到規(guī)律，再分奇偶罐數(shù)對所得到的規(guī)律進行整理，由此計算出的結(jié)果.【詳解】①：購買罐可樂時，第一次可換罐還剩個空罐，第二次可換罐還剩個空罐，所以最多可飲用罐可樂，故錯誤；②：購買罐時，第一次可換罐可樂，第二次可換罐可樂還剩個空罐，第三次可換罐可樂還剩個空罐，第四次可換罐可樂還剩個空罐，所以一共可飲用罐；購買罐時，第一次可換罐可樂還剩個空罐，第二次可換瓶可樂還剩個空罐，第三次可換罐可樂，第四次可換罐可樂還剩個空罐，所以一共可飲用罐；所以至少需要購買罐可樂，故正確；③：購買到罐可樂分別可飲用可樂罐數(shù)以及剩余空罐數(shù)如下表所示：購買數(shù)飲用數(shù)剩余空罐數(shù)由表可知如下規(guī)律：（1）當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為奇數(shù)時，此時剩余空罐數(shù)為，當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為偶數(shù)時，此時剩余的空罐數(shù)為；（2）實際飲用數(shù)不是的倍數(shù)；（3）每多買罐可樂，可多飲用罐可樂，（4）實際飲用的可樂罐數(shù)要比購買的可樂罐數(shù)的倍少或；設(shè)購買了罐可樂，實際可飲用的可樂罐數(shù)為，所以，即，即，又因為可看作，即不大于的最大整數(shù)，所以成立，故正確；故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題時，一方面需要通過具體購買的可樂罐數(shù)去分析實際飲用的可樂罐數(shù)，另一方面需要對實際的購買情況進行歸納，由此得到購買的可樂罐數(shù)與實際飲用的可樂罐數(shù)的關(guān)系，從而解決問題.三、解答題19.【答案】答案及證明見解析【分析】利用作差法比較代數(shù)式的大小，注意分類討論.【詳解】當(dāng)時；當(dāng)時，證明如下：，當(dāng)時，，，故；當(dāng)時，，，故；20.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，證明見解析.【分析】（Ⅰ）先求定義域，再用奇函數(shù)的定義，證明為奇函數(shù)；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③變形，④判號，⑤下結(jié)論，這5個步驟證明.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，對于任意，因為，所以是奇函數(shù).（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).證明：在上任取，，且，則.由，得，，，，所以，即.所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).21.【答案】（1）；（2）詳見解析【分析】（1），首先判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，，單調(diào)遞增求函數(shù)的最大值，當(dāng)時，分情況討論函數(shù)的對稱軸和定義域的關(guān)系，求函數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，所以的最小值為.（2）①當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為.當(dāng)時，函數(shù)圖象的對稱軸方程是.②當(dāng)，即時，的最大值為，③當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為.綜上，當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最大值為.【點睛】本題考查二次函數(shù)求最值，意在考查分類討論的思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.22.【答案】（1）或（2）（3）【分析】（1）由題意得，求解即可得出答案；（2）函數(shù)，可得二次函數(shù)圖象的開口向上，且對稱軸為，題意轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理，即可得出答案．【小問1詳解】當(dāng)時，，，即，解得或，∴不等式的解集為或；【小問2詳解】，則二次函數(shù)圖象的開口向上，且對稱軸為，∴在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，∴，解得，故實數(shù)的取值范圍為；【小問3詳解】關(guān)于x的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，∵，，，∴且，解得，，令（），在上單調(diào)遞減，，，故的取值范圍為．23.【答案】（I）；（II）.【分析】（I）分情況考慮：，分別求解出每一種情況下的表示，由此可得到關(guān)于的分段函數(shù)；（II）根據(jù)條件分段列出不等式，求解出每一個不等式的解集，由此求解出市場需求量的范圍.【詳解】（I）當(dāng)時，此時噸的該農(nóng)產(chǎn)品售出噸，未售出噸，所以，即；當(dāng)時，此時噸的該農(nóng)產(chǎn)品全部售出，所以，即，綜上可知：；（II）當(dāng)時，令，解得，當(dāng)，此時符合，所以市場需求量的范圍是.24.【答案】（1）是完美集合，不是完美集合；（2）可能值為：、、中任一個；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)完美集合的定義，將分為集合、、符合條件，將分成個，每個中有兩個元素，根據(jù)完美集合的定義進一步判斷即可；（2）根據(jù)完美集合的概念直接求出集合，從而得到的值；（3）中所有元素之和為，根據(jù)，等號右邊為正整數(shù)，可得等式左邊可以被整除，從而證明結(jié)論.【詳解】（1）將分為、、滿足條件，則是完美集合.將分成個，每個中有兩個元素，則，，中所有元素