第03講 菱形的性質(zhì)和判定（知識(shí)解讀+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（解析版）-A4

第頁(yè)第03講菱形的性質(zhì)和判定【題型1菱形的概念和性質(zhì)】【題型2菱形的面積】【題型3菱形的判定】【題型4菱形的性質(zhì)與判定綜合】考點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。※菱形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)且四條邊都相等（3）兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。注意：菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱(chēng)軸。【題型1菱形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2023秋?白銀期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，5），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣2.5） D．（﹣2，0）【答案】B【解答】解：∵A（4，5），∴OD＝4，AD＝5，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝5，在Rt△ODC中，OC＝＝＝3，∴C（0，﹣3）．故選：B．【變式1-1】（2023秋?甘州區(qū)校級(jí)期末）菱形的邊長(zhǎng)為5，它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為6，則菱形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，∴BO＝＝＝4，∴BD＝8故選：A．【變式1-2】（2024?深圳模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，連接AC，若AC＝6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．30 C． D．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為：AB+BC+CD+AD＝6+6+6+6＝24，故選：A．【變式1-3】（2023秋?東河區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠BCD＝40°，則∠OED的度數(shù)是20°．【答案】20°．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝70°，∴∠OED＝90°﹣∠OEB＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20°．考點(diǎn)2：菱形的面積菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半【題型2菱形的面積】【典例2】（2023秋?寶雞期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故選：B．【變式2-1】（2023秋?遼中區(qū)期末）菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm，8cm，則它的面積是24cm2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)對(duì)角線的長(zhǎng)可以求得菱形的面積，根據(jù)S＝ab＝×6×8＝24cm2，故答案為：24．【變式2-2】（2023秋?淄川區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC＝6．若過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為（）A．4 B．2.4 C．4.8 D．5【答案】C【解答】解：連接BD，交AC于O點(diǎn)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∵AC＝6，∴AO＝3，∴BO＝＝4，∴DB＝8，∴菱形ABCD的面積是×AC?DB＝×6×8＝24，∴BC?AE＝24，∵BC＝AB＝5，∴AE＝，故選：C．【變式2-3】（2022秋?渝北區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，若AC＝4，BD＝6，則BE的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝6，∴AO＝2，BO＝3，AB＝BC，AC⊥BD，在Rt△ABO中，，∵，∴，在Rt△ABE中，，故選：B．考點(diǎn)3：菱形的判定※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。【題型3菱形的判定】【典例3】（2023秋?錦州期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，EF，F(xiàn)A，若AE＝AF，CE＝CF．求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵AE＝AF，CE＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∠CEF＝∠CFE，∴∠AEF+∠CEF＝∠AFE+∠CFE，∴∠AEC＝∠AFC，∴∠AEB＝∠AFD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，在△ABE與△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．【變式3-1】（2023秋?榆林期末）如圖所示，已知△ABC，AB＝AC，將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】B【解答】解：由AB＝AC，將△ABC沿BC邊翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形ABDC是菱形．故選：B．【變式3-2】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（）A．點(diǎn)D在∠BAC的平分線上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)【答案】A【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，如圖，連接AD，∴三角形ADE和三角形ADF的面積相等，∴當(dāng)點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，點(diǎn)D到AE，AF的距離相等，∴AF＝AE，∴平行四邊形AFDE是菱形；B，D不能得平行四邊形AFDE是菱形；C能得平行四邊形AFDE是矩形；故選：A．【變式3-3】（2023秋?牡丹區(qū)期中）下列條件能判定四邊形是菱形的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形 C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形 D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形【答案】C【解答】解：根據(jù)菱形的判定定理：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形可直接選出答案，故選：C．【題型4菱形的性質(zhì)與判定綜合】【典例4】（2023秋?市南區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交BO的延長(zhǎng)線于D，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長(zhǎng)線于E．（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形ABCD是菱形，理由見(jiàn)解答．（2）DE的長(zhǎng)為3．【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形，理由：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，∴AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥BE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵BO平分∠ABC，∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝3，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝3，∵BD⊥DE，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BE＝2BD＝6，∴DE＝＝＝3，∴DE的長(zhǎng)為3．【變式4-1】（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD上，且AF＝AB，連接BF交AE于點(diǎn)G，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）菱形ABEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∵AF＝AB，∴BE＝AF，又∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AF＝AB，∴平行四邊形ABEF是菱形；（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，又∵BF＝10，∴BG＝FG＝5，∴＝，∴，∴菱形ABEF的面積．【變式4-2】（2023秋?文山市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E為AD的中點(diǎn)，連接BD，BE，∠ABD＝90°（1）求證：四邊形BCDE為菱形．（2）連接．AC，若AC⊥BE，BC＝2，求BD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ABD＝90°，E是AD的中點(diǎn)，∴BE＝DE＝AE，∵AD＝2BC，∴BC＝DE，∵AD∥BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵BE＝DE，∴四邊形BCDE為菱形；（2）解：由（1）得：四邊形BCDE為菱形，∴BC＝BE，∵AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AC⊥BE，∴四邊形ABCE為菱形，∴BC＝AB＝2，AD＝2BC＝4，∵∠ABD＝90°，∴BD＝＝＝．【變式4-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，且AE＝BD，連結(jié)CE．（1）證明：四邊形ADCE是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面積．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）24．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中點(diǎn)，∴AD＝BC，BD＝CD＝BC，∵AE＝BD，∴AE＝DC，∵AE∥DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AD＝DC，∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）解：∵平行四邊形ADCE是菱形，∴S△ADC＝S△AEC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△ADC＝S△ABD，∴菱形ADCE的面積＝三角形ABC的面積＝AC?AB＝6×8＝24一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?成都期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝120°，BD＝4，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．8【答案】A【解答】解：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝120°，BD＝4，∴∠BAD＝60°，AD＝AB，則△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°，故AO＝4cos30°＝2，∴AC＝2AO＝4．故選：A．2．（2023春?吉林期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，若對(duì)角線AC＝2，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝2，∴菱形的周長(zhǎng)＝2×4＝8．故選：D．3．（2023春?蕪湖期末）菱形具有而一般平行四邊形所沒(méi)有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別相等 B．兩條對(duì)角線相等 C．四個(gè)內(nèi)角都是直角 D．對(duì)角線平分對(duì)角【答案】D【解答】解：∵菱形具有的性質(zhì)是：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；平行四邊形具有的性質(zhì)是：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；∴菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．故選：D．4．（2023春?高唐縣期末）如圖，在菱形ABCD中，P、Q分別是AD、AC的中點(diǎn)，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．16 D．24【答案】D【解答】解：∵P、Q分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴PQ是△ADC的中位線，∴PQ＝3，∴CD＝2PQ＝6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是6×4＝24．故選：D．5．（2023春?朔州期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若，AC＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝2，∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4，故選：C．6．（2023春?順平縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，AC＝8，BD＝6．則線段OE的長(zhǎng)為（）A． B． C．3 D．5【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝DO＝3，AO＝CO＝4，AC⊥BD，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴OE為△DBC的中位線，∴OE＝CD＝．故選：B．7．（2023春?樊城區(qū)期末）如圖，菱形ABCD面積為24，對(duì)角線AC＝8，DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE＝（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8，∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×8?BD＝24，∴BD＝6，∴OB＝3，∴AB＝＝＝5，又∵S菱形ABCD＝AB?DE＝24，∴5DE＝24，解得：DE＝，故選：D．8．（2023春?樂(lè)東縣期末）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形 D．對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形【答案】A【解答】解：A、四邊相等的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)符合題意；B、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．9．（2023秋?紫金縣期中）如圖，下列條件中，不能使?ABCD成為菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴?ABCD是菱形，故A不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故B不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABD＝∠CBD，∴?ABCD是菱形，故C不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形，不是菱形，故D符合題意；故選：D．10．（2023秋?嶗山區(qū)期中）如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要在對(duì)角線AC上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得四邊形BFDE是菱形，現(xiàn)有如圖2所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲對(duì) B．只有乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都不對(duì)【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，故方案甲正確；∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BDA＝∠BDC，∵DE，BF是∠ADO和∠CBO的平分線，∴∠EDO＝∠FDO，∵∠DOE＝∠DOF＝90°，在△DOE和△DOF中，，∴△DOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵BD⊥EF，∴四邊形BFDE是菱形．故方案乙正確．故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2023春?蒼溪縣期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要使?ABCD成為菱形，還需添加的一個(gè)條件是AB＝AD（答案不唯一）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：添加AB＝AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴?ABCD成為菱形．故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．12．（2023秋?錦州期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AD中點(diǎn)，OE＝4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為32．【答案】32．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD為直角三角形．∵OE＝4，且點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，∴AD＝2OE＝8．∴C菱形ABCD＝4AD＝4×8＝32．故答案為：32．13．（2023?韶關(guān)一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接OE，則OE的長(zhǎng)度為5．【答案】5．【解答】解：∵菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，∴OD＝BD＝6，OC＝AC＝8，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝10，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴OE＝CD＝5，故答案為：5．14．（2023春?中江縣月考）以A點(diǎn)為圓心，5為半徑畫(huà)弧，再以B點(diǎn)為圓心，相同長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交前弧于M、N兩點(diǎn)，已知AB＝6，則以A、B、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是24．【答案】24．【解答】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：AN＝AM＝BM＝BN＝5，∴四邊形AMBN是菱形，∴AB⊥MN于點(diǎn)O，∵AM＝5，OA＝AB＝6＝3，∴OM＝＝4，∴MN＝2OM＝8，∴菱形AMBN的面積＝AB?MN＝6×8＝24．故答案為：24．15．（2023春?望花區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE，分別交AC、AD于點(diǎn)F、點(diǎn)G，連接OG、AE，則下列結(jié)論：①；②四邊形ABDE是菱形；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等．其中正確的結(jié)論有3個(gè)．【答案】3．【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OB＝OD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴BG＝EG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG＝AB，故①正確；②∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD，∴平行四邊形ABDE是菱形，故②正確；③∵四邊形ABDE是菱形，∴S△DGE＝S△AGB，∵OB＝OD，∴S△GOD＝S△GOB，∴S△DGE+S△GOD＝S△AGB+S△GOB，∴S四邊形ODEG＝S四邊形OBAG，故③正確；綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)，故答案為：3．三．解答題（共3小題）16．（2023秋?文山市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E為AD的中點(diǎn)，連接BD，BE，∠ABD＝90°（1）求證：四邊形BCDE為菱形．（2）連接．AC，若AC⊥BE，BC＝2，求BD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ABD＝90°，E是AD的中點(diǎn)，∴BE＝DE＝AE，∵AD＝2BC，∴BC＝DE，∵AD∥BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵BE＝DE，∴四邊形BCDE為菱形；（2）解：由（1）得：四邊形BCDE為菱形，∴BC＝BE，∵AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AC⊥BE，∴四邊形ABCE為菱形，∴BC＝AB＝2，AD＝2BC＝4，∵∠ABD