第01講 反比例函數(shù)、定義圖像與性質(zhì)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁第01講反比例函數(shù)、定義圖像與性質(zhì)理解反比例函數(shù)的概念和意義；2.掌握反比例的圖像和性質(zhì)，并能解決相關(guān)問題知識1反比例函數(shù)的定義如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).注意：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無交點.（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.知識點2反比例的圖像和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠(yuǎn)不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.注意：（1）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當(dāng)時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；注意：（1）反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.（2）反比例的圖像關(guān)于原點的對稱【題型1反比例函數(shù)的定義】【典例1】（2023春?東臺市期中）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的為（）A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x【變式1-1】（2023春?邗江區(qū)期末）下列式子中，表示y是x的反比例函數(shù)的是（）A．xy＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝【變式1-2】（2022秋?懷化期末）下列函數(shù)不是反比例函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝【典例2】（2022秋?岳陽縣期末）若函數(shù)y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函數(shù)，則m的值為（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0【變式2-1】】（2022秋?惠來縣期末）函數(shù)y＝xk﹣1是反比例函數(shù)，則k＝（）A．3 B．2 C．1 D．0【變式2-2】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）若y＝x2m+1為關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值是（）A．0 B．﹣1 C．0.5 D．1【變式2-3】（2023?雁峰區(qū)校級一模）若函數(shù)y＝（n﹣2）是反比例函數(shù)，則n為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不對【題型2反比例函數(shù)系數(shù)K的幾何意義】【典例3】（2023?和平區(qū)校級三模）如圖，點A在雙曲線上，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積S△AOB＝2，則k的值為（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【變式3-1】（2022秋?懷化期末）如圖，點A在雙曲線y＝上，AB⊥y軸于B，S△AOB＝3，則k＝（）A．3 B．6 C．18 D．不能確定【變式3-2】（2023?海州區(qū)校級二模）若圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為，則陰影面積為2的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2023春?高新區(qū)期末）如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點P在C1上，PA⊥x軸于點A，交C2于點B，已知△POB的面積為4，則k的值為（）?A．16 B．14 C．12 D．10【題型3反比例函數(shù)的圖像】【典例4】（2022秋?南華縣期末）反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝kx+1在同一坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式4-1】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和y＝kx﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【變式4-2】（2023?廬陽區(qū)校級三模）反比例函數(shù)y＝﹣與一次函數(shù)y＝kx﹣3在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【變式4-3】（2023?濟南模擬）函數(shù)y＝﹣kx+k與函數(shù)y＝（k≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A．B． C．D．【題型4反比例函數(shù)圖像的對稱性】【典例5】（2022秋?細(xì)河區(qū)期末）如圖，雙曲線y＝與直線y＝mx相交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則A點坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【變式5-1】（2023??？诙＃┤鐖D，直線與雙曲線相交于A（﹣2，1）、B兩點，則點B坐標(biāo)為（）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1）【變式5-2】（2022秋?新城區(qū)期末）若正比例函數(shù)y＝﹣2x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于（1，﹣2），則另一個交點坐標(biāo)為（）A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【題型5反比例函數(shù)的性質(zhì)】【典例6】（2023?章貢區(qū)校級模擬）對于反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論錯誤的是（）A．函數(shù)圖象分布在第一、三象限 B．函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣3，﹣2） C．函數(shù)圖象在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小 D．若點A（x1，y1），B（x2，y2）都在函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＞y2【變式6-1】（2023春?淮安區(qū)校級期末）反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)≥1【變式6-2】（2022秋?興縣期末）對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列描述不正確的是（）A．圖象位于二、四象限 B．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大 C．圖象必經(jīng)過（﹣2，） D．當(dāng)x＞﹣1時，y＞3【變式6-3】（2023?瑞安市開學(xué)）對于反比例函數(shù)，當(dāng)﹣1＜y≤2，且y≠0時，自變量x的取值范圍是（）A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1【題型6反比例函數(shù)圖像點坐標(biāo)特征】【典例7】（2023?西湖區(qū)校級開學(xué)）若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0）的圖象上，其中y2＜0＜y1＜y3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3【變式7-1】（2023?義烏市校級開學(xué)）以下四個點中，不在反比例函數(shù)y＝圖象上的是（）A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，）【變式7-2】（2023春?沐川縣期末）若點A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1【變式7-3】（2022秋?平度市期末）已知函數(shù)，當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時，y的取值范圍是（）A．1＜y＜2 B． C．﹣2＜y＜﹣1 D．【題型7待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式】【典例8】（2022秋?道縣期末）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，6）．（1）求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若（1，y1），（3，y2）是這個反比例函數(shù)圖象上的兩個點，請比較y1，y2的大?。咀兪?-1】（2023?高陽縣校級模擬）y與x成反比例，當(dāng)x＝2時y＝1，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝2x B．y＝2﹣x C． D．【變式8-2】（2023春?灌云縣期末）已知y與x+2成反比例函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝3．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x＝0時，求y的值．【變式8-3】（2023春?東陽市期末）已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點（3，﹣2）．?（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支．（2）求當(dāng)y≤4，且y≠0時自變量x的取值范圍．【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題】【典例9】（2023?西山區(qū)二模）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝x+1與雙曲線y2＝相交于點A（1，2）和點B（﹣2，﹣1），則當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是（）?A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1【變式9-1】（2022秋?樂亭縣期末）一次函數(shù)y1＝k1x+b和反比例函數(shù)y2＝（k1?k2≠0）的圖象如圖所示，若y1＞y2，則x的取值范圍是（）A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【變式9-2】（2023春?高新區(qū)期末）反比例函數(shù)y＝與正比例函數(shù)y＝2x一個交點為（1，2），則另一個交點是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）【變式9-3】（2022秋?遼陽期末）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x（k1為常數(shù)，且k1≠0）和反比例函數(shù)（k2為常數(shù)，且k2≠0）的圖象相交于A（2，m）和B兩點，則不等式的解集為（）A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜﹣2【題型9反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合】【典例10】（2022秋?朝陽期末）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式k1x+b的x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．【變式10-1】（2023?開陽縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（m≠0）的圖象相交于第一，三象限內(nèi)的A（3，5），B（a，﹣3）兩點，與x軸交于點C．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上找一點P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．【變式10-2】（2023春?清江浦區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（﹣3，n），B（2，3）．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；（2）請結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b≥的解集；（3）若點P為x軸上一點，△ABP的面積為10，求點P的坐標(biāo)．1．（2023?臨沂）正在建設(shè)中的臨滕高速是我省“十四五”重點建設(shè)項目．一段工程施工需要運送土石方總量為105m3，設(shè)土石方日平均運送量為V（單位：m3/天），完成運送任務(wù)所需要的時間為t（單位：天），則V與t滿足（）A．反比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系2．（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數(shù)的圖象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．3．（2023?泰安）一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C．? D．4．（2023?濟南）已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y15．（2023?武漢）關(guān)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．圖象位于第二、四象限 B．圖象與坐標(biāo)軸有公共點 C．圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D．圖象經(jīng)過點（a，a+2），則a＝16．（2023?永州）已知點M（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k＞0，則點M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣8．（2023?廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023?福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．310．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．11．（2022秋?新泰市期中）若是反比例函數(shù)，則k必須滿足（）A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠02．（2022?西城區(qū)校級模擬）若反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，則k的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．03．（2021秋?榆陽區(qū)期末）正比例函數(shù)y＝2x和反比例函數(shù)的一個交點為（1，2），則另一個交點為（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）4．（2022秋?歷下區(qū)校級月考）如圖為反比例函數(shù)y＝的圖象，則k等于（）A． B． C．10 D．﹣105．（2022春?臥龍區(qū)期末）已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是（）A．圖象位于第一、第三象限 B．圖象必經(jīng)過點 C．圖象與坐標(biāo)軸無交點 D．y隨x的增大而減小6．（2021秋?通道縣期末）已知點P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y17．（2023秋?碑林區(qū)校級月考）函數(shù)y＝ax﹣a與y＝（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．8．（2021?金鄉(xiāng)縣一模）如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）兩點，若，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞19．（2021?成都自主招生）如圖，是一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象，則關(guān)于方程的解為（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣110．（2021?儀征市一模）如圖，菱形AOBC的邊BO在x軸正半軸上，點A（2，2），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，則k的值為（）A．12 B． C． D．11．（2021秋?姜堰區(qū)校級月考）如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y＝圖象上兩點，連接AB并延長，交y軸于C．若AB：BC＝3：1，S△AOC＝10，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣412．（2022春?朝陽區(qū)校級月考）正比例函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝的一個