專題1 長方體和正方體-2023-2024學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)計算大通關(guān)（蘇教版）

專題1長方體和正方體（考點梳理+通關(guān)練習(xí)）【考點梳理】一、長方體和正方體的表面積。1、表面積的含義。物體的表面積：圍成物體表面的圖形的總面積。長方體（正方體）6個面的總面積，叫作它的表面積。2、長方體表面積的計算方法。長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2。假如用S表示長方體的表面積，a表示長，b表示寬，h表示高，那么長方體的表面積的計算公式可以用字母表示為s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。有2個面是正方形的長方體，假如正方形的邊長用a表示，那么長方體的長寬高可以用a，a，h表示，這個長方體的表面積可以表示為2a2+4ah。3、正方體表面積的計算方法。正方體的表面積=棱長×棱長×6，假如用s表示正方體的表面積，用a表示正方體的棱長，那么正方體表面積的計算公式用字母表示為s=6a2二、長方體和正方體的體積。1、長方體體積計算公式。長方體的體積=長×寬×高。長方體體積公式用字母表示為V=abh，a，b，h分別表示長方體的長、寬、高，V表示長方體的體積。2、正方體的體積公式。正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母公式表示為V=a3。長方體（正方體）的體積=底面積×高，用字母表示為V=sh（s表示底面積，h表示高）。長方體和正方體提及的統(tǒng)一公示，不僅在長方體和正方體中可以運用，還在相應(yīng)的規(guī)章立體圖形中也適用。3、運用體積公式解決實際問題。已知長方體（正方體）物體的長、寬、高（棱長）時，可直接利用公式計算物體的體積。二、體積單位及其換算。1、體積和容積。物體所占空間的大小叫作物體的體積。能盛裝其他的物體的物體都可以稱為容器。容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。不同物體所占空間的大小不一樣，體積也不一樣大；相同物體所占空間的大小一樣，體積也一樣大。2、體積單位。計量物體的體積需要統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)就是體積單位。常用的體積單位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。3、容積單位。計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，通常用升或毫升做單位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。4、體積和容積的區(qū)分與聯(lián)系。物體容積的計算方法與體積的計算方法相同，知道長、寬、高或棱長，即可求出物體的容積。5、相鄰體積單位間的進(jìn)率。每相鄰兩個體積單位間的進(jìn)率是1000。1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米由“1立方分米=1升”及學(xué)過的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及學(xué)過的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。6、高級體積單位和低級體積單位之間的換算。單位換算的一般規(guī)律：高級單位換算成低級單位要乘它們之間的進(jìn)率，低級單位換算成高級單位要除以它們之間的進(jìn)率。7、體積單位換算的簡便方法。相鄰的兩個體積單位間的進(jìn)率是1000，高級單位化成低級單位時，只要把小數(shù)點想向右移動3位（相鄰）或6位（不相鄰，1立方米=1000000立方厘米，有6個0，要向右移動6位）即可?！就P(guān)練習(xí)】一、計算題1．計算下圖長方體的表面積和體積。2．計算正方體的體積。

3．如圖，求圖形的體積。（單位：厘米）

4．棱長總和是76厘米，求長方體的高和體積。

5．計算表面積和體積。（1）橫截面是周長為20厘米的正方形，長6分米。（2）（單位：厘米）6．計算長方體下面、左面的面積和。

7．計算下面圖形的表面積和體積。8．求下面立體圖形的表面積和體積。（1）

（2）9．計算下圖的表面積和體積。（單位cm）

10．求長方體的表面積。11．計算下圖的體積。（單位：厘米）12．計算出下面圖形的表面積和體積。13．求出下面組合圖形的表面積和體積（單位：cm）。14．計算下圖的表面積。（單位：厘米）15．計算下面各圖形的體積。（1）

（2）16．計算下面幾何體的表面積和體積。17．計算下面圖形的表面積和體積。（單位：cm）（1）

（2）18．鐵塊的體積是多少cm3？19．計算下面長方體的體積。20．計算下面圖形的表面積和體積。21．計算下面正方體表面積。

22．計算下面圖形的表面積和體積（單位：分米）。

23．分別計算下面兩個圖形的表面積和體積。（單位：cm）

24．計算下面圖形的表面積和體積。（單位：dm）25．計算下面圖形的表面積和體積。（單位：cm）參考答案1．290cm2；300cm3【分析】把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長方體的體積公式：V＝a×b×h中，計算出長方體的表面積和體積?！驹斀狻浚?2×5＋12×5＋5×5）×2＝（60＋60＋25）×2＝145×2＝290（cm2）12×5×5＝60×5＝300（cm3）即長方體的表面積是290cm2，體積是300cm3。2．125cm3【分析】依據(jù)：正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】5×5×5＝25×5＝125（cm3）3．512立方厘米【分析】正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，把圖中數(shù)據(jù)代入公式計算，據(jù)此解答?！驹斀狻?×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，正方體的體積是512立方厘米。4．3厘米；117立方厘米【分析】已知長方體的長為13厘米，寬為3厘米，棱長總和是76厘米，依據(jù)長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)求出長方體的高；再依據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可得解?！驹斀狻?6÷4－13－3＝19－13－3＝3（厘米）13×3×3＝117（立方厘米）即長方體的高是3厘米，體積是117立方厘米。5．（1）1250平方厘米；1500立方厘米；（2）416平方厘米；448立方厘米【分析】（1）用橫截面的周長除以4，求出長方體的寬和高，統(tǒng)一單位后，把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長方體的體積公式：V＝a×b×h中，計算出長方體的表面積和體積。（2）大正方體挖去一個正長方體，凹下去圖形有4個面的面積，原來缺失的是2個面的面積，所以組合圖形的表面積相比之前大正方體的表面積增加了2個面的面積，依據(jù)正方體的表面積公式求出大正方體的表面積，再加上2個邊長為4厘米的正方形的面積即可。組合體的體積用大正方體的體積減去小正方體的體積即可?！驹斀狻浚?）20÷4＝5（厘米）6分米＝60厘米表面積：60×5×2＋60×5×2＋5×5×2＝600＋600＋50＝1250（平方厘米）體積：5×5×60＝1500（立方厘米）（2）表面積：8×8×6＋4×4×2＝384＋32＝416（平方厘米）體積：8×8×8－4×4×4＝512－64＝448（立方厘米）6．56平方分米【分析】長方體有6個面，有三組相對的面完全相同；長方體6個面的面積就是長方體表面積；前面或后面的面積＝長×高，左面或右面的面積＝寬×高，上面或下面的面積＝長×寬。據(jù)此解答?！驹斀狻?×4＋6×4＝32＋24＝56（平方分米）即長方體下面、左面的面積和是56平方分米。7．左圖：72dm2；36dm3右圖：96dm2；64dm3【分析】把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長方體的體積公式：V＝a×b×h中，計算出長方體的表面積和體積。把正方體的棱長的數(shù)據(jù)代入正方體的表面積公式：S＝6×a2，和正方體的體積公式：V＝a3中，計算出正方體的表面積和體積?！驹斀狻繄D1：表面積：（6×3＋6×2＋3×2）×2＝（18＋12＋6）×2＝36×2＝72（dm2）體積：6×3×2＝36（dm3）圖2：表面積：4×4×6＝96（dm2）體積：4×4×4＝64（dm3）8．（1）384平方厘米；512立方厘米；（2）188平方分米；120立方分米【分析】（1）依據(jù)“正方體表面積＝棱長×棱長×6、正方體體積＝棱長×棱長×棱長”，分別計算即可。（2）依據(jù)“長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2、長方體體積＝長×寬×高”，分別計算即可。【詳解】（1）表面積：8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）體積：8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，這個正方體的表面積是384平方厘米；它的體積是512立方厘米。（2）表面積：（12×2＋12×5＋2×5）×2＝（24＋60＋10）×2＝94×2＝188（平方分米）體積：12×2×5＝24×5＝120（立方分米）所以，這個長方體的表面積是188平方分米，它的體積的120立方分米。9．392cm2；504cm3【分析】觀看圖形可知，該立體圖形的表面積等于大正方體的表面積加上小正方體兩個面的面積，依據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，據(jù)此進(jìn)行計算即可；該立體圖形的體積等于大正方體的體積減去小正方體的體積，依據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此計算即可?！驹斀狻?×8×6＋2×2×2＝64×6＋4×2＝384＋8＝392（cm2）8×8×8－2×2×2＝64×8－4×2＝512－8＝504（cm3）10．148平方分米【分析】長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，把長6分米、寬5分米、高4分米代入長方體表面積計算公式計算即可?！驹斀狻浚?×5＋6×4＋5×4）×2＝（30＋24＋20）×2＝74×2＝148（平方分米）11．109立方厘米【分析】觀看題意可知，立體圖形的體積＝一個棱長為5厘米的正方體體積－一個長是4厘米、寬是2厘米、高是2厘米的長方體的體積，依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)解答?！驹斀狻?×5×5－4×2×2＝125－16＝109（立方厘米）立體圖形的體積是109立方厘米。12．長方體的表面積是220平方厘米；長方體的體積是200立方厘米；正方體的表面積是216平方厘米；正方體的體積是216立方厘米【分析】依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，用（5×4＋5×10＋4×10）×2即可求出長方體的表面積；依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用5×4×10即可求出長方體的體積；依據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，用6×6×6即可求出正方體的表面積；依據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，用6×6×6即可求出正方體的體積。【詳解】（5×4＋5×10＋4×10）×2＝（20＋50＋40）×2＝110×2＝220（平方厘米）長方體的表面積是220平方厘米；5×4×10＝200（立方厘米）長方體的體積是200立方厘米；6×6×6＝216（平方厘米）正方體的表面積是216平方厘米；6×6×6＝216（立方厘米）正方體的體積是216立方厘米。13．表面積428cm2；體積365cm3【分析】觀看圖形可知，正方體與長方體有重合的部分，把正方體的上面對下平移，補給長方體的上面；這樣長方體的表面積是6個面的面積之和，而正方體只需計算4個面（前后面和左右面）的面積；組合圖形的表面積＝長方體的表面積＋正方體4個面的面積，依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體4個面的面積＝棱長×棱長×4，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出這個組合圖形的表面積。組合圖形的體積＝長方體的體積＋正方體的體積，依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出這個組合圖形的體積。【詳解】表面積：（12×10＋12×2＋10×2）×2＋5×5×4＝（120＋24＋20）×2＋5×5×4＝164×2＋25×4＝328＋100＝428（cm2）體積：12×10×2＋5×5×5＝240＋125＝365（cm3）組合圖形的表面積是428cm2，組合圖形的體積是365cm3。14．150平方厘米【分析】在長方體上面放一個小正方體，則表面積比長方體多了4個正方形面，依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方形的面積＝邊長×邊長，用（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4即可求出這個立體圖形的表面積?！驹斀狻浚?×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4＝（24＋24＋9）×2＋3×3×4＝57×2＋3×3×4＝114＋36＝150（平方厘米）立體圖形的表面積是150平方厘米。15．（1）24dm3（2）56cm3【分析】（1）依據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計算即可；（2）該立體圖形的體積等于大正方體的體積減去小正方體的體積，依據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此進(jìn)行計算即可?！驹斀狻浚?）6×2.5×1.6＝15×1.6＝24（dm3）（2）4×4×4－2×2×2＝16×4－4×2＝64－8＝56（cm3）16．左圖：600平方厘米；900立方厘米右圖：1220平方厘米；2445立方厘米【分析】長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體體積＝長×寬×高；組合體的表面積＝完整的大長方體表面積＋小長方體前后左右4個面的面積，組合體的體積＝大長方體體積＋小長方體體積，據(jù)此列式計算?！驹斀狻浚ㄆ椒嚼迕祝⒎嚼迕祝ㄆ椒嚼迕祝⒎嚼迕祝?7．（1）表面積：136cm2，體積：96cm3（2）表面積：150cm2，體積：125cm3【分析】（1）（長×寬＋長×高＋寬×高）×2＝長方體表面積，長×寬×高＝長方體體積；（2）正方體表面積＝棱長×棱長×6，正方體體積＝棱長×棱長×棱長。【詳解】（1）表面積：（8×3＋8×4＋3×4）×2＝（24＋32＋12）×2＝68×2＝136（cm2）體積：8×3×4＝24×4＝96（cm3）（2）表面積：5×5×6＝25×6＝150（cm2）體積：5×5×5＝25×5＝125（cm3）18．120cm3【分析】水面上升的體積就是鐵塊的體積，長方體容器的長×寬×上升的水的高度＝鐵塊體積，據(jù)此列式計算?！驹斀狻?0×8×（9.5－8）＝80×1.5＝120（cm3）19．105立方分米【分析】依據(jù)長方體體積公式：長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答。【詳解】7×3×5＝105（立方分米）長方體的體積是105立方分米。20．表面積：210dm2，體積：200dm3；表面積：1350cm2，體積：3375cm3【分析】（1）依據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計算即可；（2）依據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此進(jìn)行計算即可。【詳解】（1）0.5m＝5dm表面積：（8×5＋8×5＋5×5）×2＝（40＋40＋25）×2＝105×2＝210（dm2）體積：8×5×5＝40×5＝200（dm3）（2）表面積：15×15×6＝225×6＝1350（cm2）體積：15×15×15＝225×15＝3375（cm3）21．384平方厘米【分析】依據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，用8×8×6即可求出正方體的表面積。據(jù)此解答?！驹斀狻?×8×6＝384（平方厘米）正方體的表面積是384平方厘米。22．184平方分米，160立方分米；294平方分米，343立方分米【分析】依據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高，正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；代入數(shù)據(jù)計算求解?！驹斀狻浚?）（8×4＋8×5＋4×5）×2＝（32＋40＋20）×2＝92×2＝184（平方分米）8×4×5＝32×5＝160（立方分米）長方體的表面積是184平方分米，體積是160立方分米。（2）7×7×6＝49×6＝294（平方分米）7×7×7＝49×7＝343（立方分米）長方體的表面積是294平方分米，體積是343立方分米。23．表面積為526，體積為669；表面積為230，體積為165【分析】看圖1可知，一個長方體和正方體疊加之后，削減了兩個正方形的表面積，組合圖形的表面積等于長方體的表面積加上正方體四個面的表面積，利用表面積公式分別代入計算即可；疊加后體積不變，組合圖形的體積等于長方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計算即可?？磮D2可知，一個長方體和正方體疊相鄰放齊之后，削減了兩個長方體側(cè)面的表面積，組合圖形的表面積等于正方體的表面積加上長方體上、下、前、后四個面的表面積，表面積公式分別代入計算即可；組合圖形的體積等于長方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計算即可?！驹斀狻繄D1：長方體表面積：11×5×4＋11×11×2＝55×4＋121×2＝220＋242＝462（）正方體四個面的表面積：4×4×4＝16×4＝64（）圖1的表面積：462＋64＝526（）長方體體積：11×11×5＝121×5＝605（）正方體體積：4×4×4＝16×4＝64（）圖1的體積：605＋64＝669（）圖2：正方體的表面積：5×5×6＝25×6＝150（）長方體四個面的表面積：10×2×4＝20×4＝80（）圖2的表面積：150＋80＝230（）正方體的體積：5×5×5＝25×5＝125（）長方體的體積：10×2×2＝20×2＝40（）圖2的體積：1