高中數(shù)學(xué)公式

高中數(shù)學(xué)常用結(jié)論及公式大全元素與集合的關(guān)系xAxA,xAxA.德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCUBCUAACUBCUABR1 n集合a,a的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n–11 n非空子集有2n–1個(gè)；非空的真子集有2n–2個(gè).二次函數(shù)的解析式的三種形式f(x)ax2bxc(a0);(2)f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在xb處2a及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：a>0xb2a

p

f(x)

min

f(

b),f(x)2a

maxmax

f(p),f(q)；若xb2a

p,q，f(x)

maxmax

f(p),f(q)，f(x)

minmin

f(p),f(q).a<0xb2a

pqf(x)

min

minf(p),f(q)，若xb2a

pqf(x)

maxf(p),f(q)，f(x)

min

minf(p),f(q).定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)在給定區(qū)間f(xt0t為參數(shù))恒成立的充要f(xt)min0(xL)在給定區(qū)間f(xt0t為參數(shù))恒成立的充要f(xt)man0(xL.a0

a0f(x)ax4bx2c0恒成立的充要條件是b0或 .c

b24ac0四種命題的相互關(guān)系原命題若ｐ則ｑ互否否命題

互逆 逆命題若ｑ則ｐ互 互為 為 互否逆 逆否 否逆否命題若非ｐ則非ｑ 互逆 若非ｑ則非ｐ充要條件pqp是q充分條件.必要條件：若qpp是q必要條件.pq，且qpp是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是增函數(shù)；1 2 1 2

x1x2(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是減函數(shù).1 2 1 2

x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如f(x0f(x為減函數(shù).奇偶函數(shù)的圖象特征yyy

f(x)(xR),f(xa)

f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)xab2xab對(duì)稱.2

;兩個(gè)函數(shù)

yf(xa)與

yf(bx)

的圖象關(guān)于直線兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性y

f(xy

f(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.y

f(mxay

f(bmx)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱.2my

f(x)y

f1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.y

f(x的圖象右移a、上移by

f(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.幾個(gè)常見的函數(shù)方程f(x)cxf(xy

f(x)f(y),fc.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)f(x)logaxf(xy)

f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式alogNbabN(a0,a1,N0).a對(duì)數(shù)的換底公式log

NlogmN

a0,且a1m0,且m

N0).ma logamaloga

bn

nlogm

ba0,且a1mn0,且m1n1

N0).對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則loga(MN)logaMlogaN;MlogaN

aMlogaN;a logMnnlogM(nR)a 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式aa(n1)ddna

d(nN*)；n 1 1其前n項(xiàng)和公式為sn(a1an)nan(n1)dn 2 1 2dn2(a1d)n.2 1 2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式aaqn1a1qn(nN*)；n 1 q其前n項(xiàng)的和公式為a(1qn)s1n 1s1n

,q1na,q1 1常見三角不等式（1）x

(0, 2

，則sinxxtanx.x

(0, 222

，則1sinxcosx .|sinx||cosx1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2cos21，tan=sincos

，tan1.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式和角與差角公式)sincoscossin;)coscossinsin;)tantan1tantana2b2asinbcos= )所在象限由點(diǎn)(a2b2tanb).a二倍角公式sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan2tan.1tan2.三角函數(shù)的周期公式y(tǒng)x，x∈Ryx，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T2；yxxkkZ(A,ω為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)2的周期T.正弦定理asinA

bsin

csin

2R.（R是外接圓的半徑）余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.面積定理S1ah1bh1ch（h、h、ha、b、c）.2 a 2 b 2

a b cS1absinC1bcsinA1casinB.2 2 2三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)C AB 2C2(AB).2 2 2向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：a·bb·a（交換律）;(2)（a·b=（a·b）=a·b=a（(3)（a+b·c=a·c+b·c.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．a(chǎn)b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ．?dāng)?shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)a(x1,b(x2y2a+b(x1x2y2.(2)a(x1,b(x2y2a-b(x1x2y2.(3)A(xy，B(xy,則xxyy.1 1 2

AB OB

2 1 2 1(4)設(shè)a=(x,y),R，則a=(x,y).(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=(x1x2y1y2).xx2y2x2y2 x2y21 1 2 2cos

(a=(x,y),b=(x,y)).1 1 2 2ABABABdA,B(x(xx)2(yy)22 12 1

=|AB|

(A(x,y)，B(x,y)).1 1 2 2向量的平行與垂直a(x1,b(x2y2b0，則a||b

x1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y20.線段的定比分點(diǎn)公式P(xy，P(xy，P(xyPP是實(shí)數(shù)，且1 1

2 2 2 12

1P 2xx1x2

OPOPy

1y21

OP1OP21

（t

1 ）.P t

1三角形的重心坐標(biāo)公式△ABCA(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC心的坐標(biāo)是G(x1x2x3,y1y2y3).3 3OA OB 0O為ABC的重心OA OB 0x'xh

xx'h

y'y

yy'

OP'OPPP'.FP(x，y)FP(xy，且的坐標(biāo)為(hk.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P'(xh,yk).yf(x的圖象C按向量a(hk平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式為yf(xh)k.圖象C'按向量a(hk)平移后得到圖象C,若Cy

f(x),則C'的函數(shù)解析式為yf(xh)k.曲線Cf(xy)0按向量a(hk)平移后得到圖象C',則C'的方程為f(xh,yk)0.m(xya(hkm(xy.常用不等式：abRa2b22aba＝bababRab a＝bab2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.最值定理（積定和最?。﹛yp若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2 ；pxy是定值sxyxy1s2.4推廣已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xyxy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|

|xy|最??；當(dāng)|xy|最小時(shí),

|xy|最大.(1)當(dāng)a1時(shí),af(x)ag(x)

f(x)g(x);f(x)0logaf(x)loga

g(x)g(x)0 .f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1af(x)ag(x)

f(x)g(x);f(x)0logaf(x)loga

g(x)g(x)0f(x)g(x)斜率公式ky2y1（P(x,y)、P(x,y)）.xx

1 1

2 2 22 1直線的五種方程

yk(x

(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．斜截式y(tǒng)kxb(bly

y

x(

y)(P(x,y)P(x,y

(xx

)).yy xx 1 2

1 1

2 2 2 1 2(4)截距式（5）

2 1 2 1xy1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)a bAxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).兩條直線的平行和垂直若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①|(zhì)|l2k2,;②l2k1k21.到l2的倒角公式tan

k2k1.1k2k1(:yx，l2:yk2x,k1k21)兩種常用直線系方程平行直線系方程：與直線AxByC0AxBy0(0)，λ是參變量．

平行的直線系方程是AxByC0方程是BxAy0,λ是參變量．

(A≠0，B≠0)垂直的直線系|Ax|Ax0By0C|A2B2d

(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).AxByC0或0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l:AxByC0，則AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：B0BAxByC同號(hào)時(shí)，表示直線lB與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.B0AAxByC同號(hào)時(shí)，表示直線lA與AxByC異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.圓的四種方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程圓的參數(shù)方程圓的直徑式方A(x1,y1)、B(x2,y2)).

(xa)2(yb)2r2.x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).xarcosybrsin.(x)(xx2yyy20(圓的直徑的端點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種:dr0dr相切0dr0AaBbCAaBbC A2B2x2 y2

xacos橢圓 a2

1(ab0)的參數(shù)方程是ybsin.yx2 2yx橢圓 b0)焦半徑公式a2 b2

e(x

a2c)，

e(ax).2c2橢圓的的內(nèi)外部

x2 y2

x2 y2（1）點(diǎn)P(x,y)在橢圓 b0)的內(nèi)部001.0 0 a2 b2x2 y2

a2 b2x2 y2（2）點(diǎn)P(x,y)在橢圓 b0)的外部001.0 0 a2 b2 a2 b22x2a2

y2 b2 0 PF1

e(x

a2c)|，

a2|e(c

x)|.雙曲線的內(nèi)外部

x2 y2

x2 y2(1)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線 0,b0)的內(nèi)部001.0 0 a2 b2x2 y2

a2 b2x2 y2(2)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線 0,b0)的外部001.0 0 a2 b2 a2 b2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x2 y2 x2 y2 b(1）若雙曲線方程為 a2 b2

1漸近線方程： a2 b2

0

y x.ab x y

x2 y2若漸近線方程為y xa

0雙曲線可設(shè)為 a b a2 b

.2x2a2

yb2

1有公共漸近線，可設(shè)為x2a22

yb2

（0，焦點(diǎn)在x軸上，0，焦點(diǎn)在y軸上）.y22px的焦半徑公式y(tǒng)22pxp0)CFxp.0 2過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CDxpxpxxp.1 2 2 2 1 2直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB

|xx|

|yy|(1k(1k2)(xx)22 11tan21cot2（A(xyB(x

)，由方程ykxb

消去y得到ax2bxc0，1 1 2

F(x,y)00,為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率）.證明直線與直線的平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；轉(zhuǎn)化為線面平行；轉(zhuǎn)化為線面垂直；轉(zhuǎn)化為面面平行.證明直線與平面的平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為線線平行；轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為線面平行；轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明直線與直線的垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為相交垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直；轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.證明直線與平面垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.證明平面與平面的垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；轉(zhuǎn)化為線面垂直.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．、、B三點(diǎn)共線AP||ABAPtABOP1t)OAtOB.ABCDAB AB||CD、、CD不共線、CDABCDAB 共面向量定理pa、b共面的xypaxby．推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì)xyMPxMAyMB，或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使 OP OM xMA yMB.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C

OP xOA yOB zOC（xyzk，則當(dāng)k1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)OPABC當(dāng)k1時(shí)，若OPABCOPAB、C四點(diǎn)共面

與、

、C、D

AD AB

AD xAByACOD1xy)OAxOByOC（OABC）.空間向量基本定理abcx，y，z，p＝xa＋yb＋zc．推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的OP xOA yOB x，y，z，使OP xOA yOB

.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算a＝(a1a2，b＝則(1)a＋b＝a2；(2)a－b＝a2；(3)λa＝(a1,a2,a3

(λ∈R)；(4)a·b＝；A(x1，B(x2y2z2，則

(xx,yy,zz).AB OB

2 1 2 1 2 1空間的線線平行或垂直設(shè)a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，則x1x2a||bab(b0)yy；1 2zz1 2abab0

x1x2y1y2z1z20.夾角公式a2a2a2 b2a2a2a2 b2b2b21 2 3 1 2 3cos〈a，b〉= .推論(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2)，此即三維柯西不等式.11 22 33 1 2 3 1 2 3異面直線所成角rrcos|cosa,b|rr x2 x2y2z2 x2y2z21 1 12 2 2=r r|a||b|

|x1x2y1y2z1z2|（其中（0o90o為異面直線ab分別表示異面直線的方向向量）AB與平面所成角ABmarcsin(m為平面的法向量).|AB||m|70..二面角l的平面角mn

mn

arccos或arccos（mn為平面的法向量）.|m||n| |m||n|空間兩點(diǎn)間的距離公式ABABA(x1，B(x2y2ABABdA,B

(xx)2(y(xx)2(yy)2(zz)22 12 12 11|a|(|a1|a|(|a||b|)2(ab)2hb=PQ).異面直線間的距離||CDn|

P在直線l上，直線la，向量d l2是兩異面直線，其公垂向量為n、D分別是l2上任一|n|點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).B到平面的距離|ABn|d （n為平面AB是經(jīng)過面A）.|n|hhmn2mncosEA,AF2 2 2'd .(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA'的長(zhǎng)度為h.在直線a、bE、F，AEmAFnEFd). (ab

2 2 2|a|2|a||b|a,b2|b||c|b,c2|c||a|c,

2ab2bc2caaa

2

面積射影定理S'SS .cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S'，它們所在平面所成銳二面角的為).歐拉定理(歐拉公式)VFE2(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：E1nF；2（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E1mV.2R，則其體積V4R3,3其表面積S4R2．

1Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.3.組合數(shù)公式mAmmC=n=

n(n1)(nm

n！ n∈N*mN，且mn).Amn m 12Am

(nm！性質(zhì)：(1)CmCnm;n nCm+Cm1=Cm.n n n1n注:規(guī)定C01.nnnnnn(3)C0C1C2CrCn2n.nnnnn81.nkn P(k)CkPk(1P)nkn 離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）0(i;（2）1.數(shù)學(xué)期望1122nn數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):（1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,pnp.若P(kg(k,pqkp1.p84.方差x2px2px