2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(內(nèi)參版)第十一章 1 1 . 2 用樣本估計(jì)總體

11.2用樣本估計(jì)總體

念核心素養(yǎng)概說(shuō)（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體

會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平

均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、總體百分位數(shù)），理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.理解百分

位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖；理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義

和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差、方差，并作出合理的解釋.會(huì)用樣本的頻率分布估

計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估

計(jì)總體的思想.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的

實(shí)際問(wèn)題.

3.重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

?考試要求（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.本考點(diǎn)是歷年高考的常考內(nèi)容，屬于中低檔題目，選擇題、填空題、解答

題都有考查，命題的重點(diǎn)是社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題、高科技、五育等情境之下的統(tǒng)計(jì)圖表

中數(shù)據(jù)分析問(wèn)題.

2.考查方向有兩個(gè)方面：一是頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)的采集與分析是熱

點(diǎn)；二是樣本的數(shù)字特征，主要考查用樣本估計(jì)總體.

您核心知識(shí)導(dǎo)圖（教師獨(dú)具內(nèi)容）

H5年考頻統(tǒng)計(jì)(教師獨(dú)具內(nèi)容)

|5年考情

爭(zhēng)點(diǎn)分值題型嫣懂核心未養(yǎng)

專(zhuān)題示例5向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2021全國(guó)甲榜.理2,文2就串分布出

頻率分布2019全Sill卷17.文17?率分布方圖,均偵，5選擇題聒數(shù)學(xué)運(yùn)算

直方圖2018全國(guó)Ia.文19白方圖綠率，獨(dú)立性12解答題中數(shù)據(jù)分析

2017全國(guó)|卷.文19檢蛉

2019全國(guó)0&?文19

箕他統(tǒng)計(jì)2018全國(guó)1卷.理3.文3箕他燒汁選擇胭數(shù)學(xué)運(yùn)算

找性到“模型

圖表信見(jiàn)2018全國(guó)||卷18.文18圖表12解答期中數(shù)據(jù)分析

2017全國(guó)M稔.理3.文3.18

2021新*號(hào)1粉.9

2021全國(guó)乙卷.理17.文17凝率計(jì)算、線(xiàn)選擇幽牧學(xué)建模

樣本的數(shù)樣本的數(shù)5易

2020全國(guó)1卷.文17性向VI模型.埴空Ifi數(shù)學(xué)運(yùn)算

字特征字特征12中

2020全國(guó)倡卷.理3.文3正毒分布那密的數(shù)據(jù)分析

2019全國(guó)||辱現(xiàn)5.13.文11

需;基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

O知識(shí)梳理

1.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求求極差差n一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；

(2)決定組距與組數(shù)；

(3)將因數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表；

(5)畫(huà)頻率分布直方圖.

2.其他統(tǒng)計(jì)圖表

統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用

扇形圖回直觀描述各類(lèi)數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例

條形圖和直

直觀描述不同類(lèi)別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

方圖

折線(xiàn)圖因描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

3.百分位數(shù)

(1)定義：一般地，■-組數(shù)據(jù)的回第P百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)

據(jù)中西至少有〃%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且因至少有(100-的％的數(shù)據(jù)大于或

等于這個(gè)值.

(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

第2步，計(jì)算i=〃Xp%；

第3步，若i不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為則第〃百分位數(shù)為第/項(xiàng)

數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第"頁(yè)與第（i+D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

定義特點(diǎn)

體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，

在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)因次數(shù)最多的

眾數(shù)不受極端值的影響，而且可能不

數(shù)

止一個(gè)

續(xù)表

定義特點(diǎn)

將一組數(shù)據(jù)按國(guó)從小到大依次

中位數(shù)不受極端值的影響，僅利

排列（相同的數(shù)據(jù)要重復(fù)列出），

中位數(shù)用了排在中間位置的數(shù)據(jù)的信

處在最中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)（或

息，只有一個(gè)

最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有一

平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的因算術(shù)平均數(shù)

個(gè)

5.總體離散程度的估計(jì)

_1n

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是汨，檢，…，X”，用工表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱(chēng)；;￡

fl1=1

⑶-1）2為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫(xiě)成亶霜

第二F的形式.我們對(duì)方差開(kāi)平方，取它的算術(shù)平方根、^士。二）2,稱(chēng)為這

組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散

程度越小.

6.總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差

(1)一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為妨，丫2,…，加，總體平均

數(shù)為y,則稱(chēng)52=而且(匕-丫)2為總體方差，s=W為總體標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(ZWN)個(gè)，不妨記為

1%

匕，…，Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為力(i=1,2,…，k),則總體方差為52=而纖國(guó)

-V)2.

總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=串.

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為V，X，…，力，樣本平均數(shù)為亍，則

1n.—

稱(chēng)S2=7昌0L?)2為樣本方差，5=正為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

7.頻率分布直方圖中的常見(jiàn)結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和.

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

8.平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)平均數(shù)的性質(zhì)

①若給定一組數(shù)據(jù)汨，X2,…，X”的平均數(shù)為工，則0X1,aX2,―,以"的平

均數(shù)為ax；ax\+b,ax-i+b,…，ax*+b的平均數(shù)為回q*+b.

②若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是匕則這(M+AQ個(gè)數(shù)的平均數(shù)

_MX+NY

是M+N?

③若兩組數(shù)據(jù)為，X2,…,X"和V，,%的平均數(shù)分別是工和?,則

x\+y\,x2+y2,—,為+力的平均數(shù)是1+?.

(2)方差的性質(zhì)

①若給定一組數(shù)據(jù)尤1,X2,…，X,,,其方差為$2,則0X1,0X2,—,回,的方

差為屋$2；axi+b,axi+b,…，曲+b的方差為暨昌L特別地，當(dāng)a=l時(shí)，有

x\+b,X2+b,尤”+。的方差為s2,這說(shuō)明將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上

一個(gè)相同的常數(shù)，方差是不變的，即不影響數(shù)據(jù)的波動(dòng)性.

②樣本中一組樣本數(shù)據(jù)有〃2個(gè)，平均數(shù)為方差記為E；另一組樣本數(shù)據(jù)

有〃個(gè)，平均數(shù)為了，方差記為耳；總樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)記為2,方差記為則

+nsj)+x-y)2.

命課前自我鑒定

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.()

(2)一組數(shù)據(jù)1,3,4,5,8,11,14,16,18,19的80%分位數(shù)是17.()

(3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.()

(4)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差

不變.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

2.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和

眾數(shù)的大小關(guān)系是()

A.平均數(shù)〉中位數(shù)〉眾數(shù)

B.平均數(shù)〈中位數(shù)(眾數(shù)

C.中位數(shù)(眾數(shù)(平均數(shù)

D.平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

答案D

解析???平均數(shù)為!X(20+30+40+50+50+60+70+80)=50,中位數(shù)為J

OZ

X(50+50)=50,眾數(shù)為50,??.它們的大小關(guān)系是平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù).故選

3.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是（）

A.14B.17

C.19D.23

答案D

解析因?yàn)?X70%=5.6,所以第70百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)23?故選D.

4.如圖是60名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖，估

計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的及格率(大于等于60分為及格)是()

A.75%B.25%

C.15%D.40%

答案A

解析大于或等于60分的共四組,它們是[59.5,69.5),[69.5,79.5),[79.5,89.5),

[89.5,99.5],故樣本中60分及以上的頻率為(0.015+0.030+0.025+0.005)X10=

0.75.由此可估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的及格率為75%.故選A.

5.已知樣本容量為200,在樣本的頻率分布直方圖中，共有〃個(gè)小矩形.若

中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(〃-1)個(gè)小矩形面積和的：，則該組的頻數(shù)為

答案50

解析設(shè)除中間一個(gè)小矩形外的("-1)個(gè)小矩形面積的和為P，則中間一個(gè)小

1131

矩形的面積為]P.由題意，得p+w=i,所以p=3則中間一個(gè)小矩形的面積為Q

P=\,頻數(shù)為200x1=50,即該組的頻數(shù)為50.

<>真題賞析

1.(多選X2021?新高考I卷)有一組樣本數(shù)據(jù)汨，尬，…，X”，由這組數(shù)據(jù)得

到新樣本數(shù)據(jù)其中yi=Xj+c（i=1,2,???,n）,c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

答案CD

=%+c,因?yàn)閏WO,所以A錯(cuò)誤；若樣本數(shù)據(jù).叫，及，…，兒的中位數(shù)

為4,因?yàn)閥=Xi+c,cWO,所以樣本數(shù)據(jù)>1,>2,…，物的中位數(shù)為yk=xk+c^xk,

B錯(cuò)誤；設(shè)Sx表示樣本數(shù)據(jù)Xl,X2,…，尤"的標(biāo)準(zhǔn)差，￡v表示樣本數(shù)據(jù)yi,巾，…，

的標(biāo)準(zhǔn)差，則樣本數(shù)據(jù)>1,J2,…，》的標(biāo)準(zhǔn)差s>=［；￡⑴-5）2=

（即+C）-（1+C）2=Sx,所以C正確；設(shè)樣本數(shù)據(jù)Xl,X2,…，X”中最大的

為X",最小的為XI,因?yàn)閥=M+c,所以樣本數(shù)據(jù)y1,以，…，》中最大的為W,

最小的為yi,極差為yn-yi=（x*+c）-（xi+C）=xn-xi,所以D正確.故選CD.

2.（2021?全國(guó)甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽

樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率/組距

0.04

0.02I無(wú)r~i………,…[1………ill,

V2.53.54.55.56.57.58.59.510.5U.512.513.514.5收入/萬(wàn)元

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

答案C

解析由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率

估計(jì)為(0。2+0.04)X1X100%=6%,故A正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)

戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+

0.02)X1X100%=10%,故B正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入

的平均值約為3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10

+10X0.10+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68(777L),故C錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶(hù)比

率約為(0.10+0.14+0.20+0.20)XlX100%=64%>50%,故D正確.故選C.

3.(2020?全國(guó)川卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)為,小…，X”的方差為0.01,則數(shù)據(jù)

10X1,10X2,…，10%的方差為()

A.0.01B.0.1

C.1D.10

答案C

解析因?yàn)閿?shù)據(jù)例+咐=1,2,…，”)的方差是數(shù)據(jù)雙i=l,2,…，〃)的方差

的4倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為1。2*0.01=1.故選C.

:核心素養(yǎng)例析

一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固

考點(diǎn)1頻率分布直方圖

例1(多選)(2022.山東聊城檢測(cè))在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)4000名考

生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下視為不及格.估

計(jì)平均數(shù)時(shí)，同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表值，則下列說(shuō)法中正確的是

頻率/組距

A.成績(jī)?cè)诳?,80）的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分

答案ABC

解析由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)冢?0,80）的頻率最高，因此考生人數(shù)最

多，故A正確；成績(jī)?cè)冢?0,60）的頻率為0.01X10+0.015X10=0.25,因此不及格

的人數(shù)為4000X0.25=1000,故B正確；考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為45X0.1+

55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5,故C正確；因?yàn)槌煽?jī)?cè)?/p>

［40,70）的頻率為0.45,在［70,80）的頻率為0.3,所以中位數(shù)為70+10X端

仁71.67,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

例2某市為了了解人們對(duì)“經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同

職業(yè)的人舉辦了一次“經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)”知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分為100分（90分及以上為認(rèn)

知程度高）.現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：［20,25）,第二

組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所

示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.

⑴求X；

（2）求抽取的x人的年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.

解（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.01X5=0.05,所以三=

0.05,

所以x=120.

95

(2)設(shè)中位數(shù)為a,則0.01X5+0.07X5+(a-30)X0.06=0.5,解得a=y^32,

則中位數(shù)為32.

，追蹤練，J/1.某學(xué)校為了解本校男、女生的學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)情

況，分別從男生中隨機(jī)抽取60人的成績(jī)得到樣本甲，從女生中隨機(jī)抽取“人的成

績(jī)得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

乙樣本數(shù)據(jù)在方圖

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80)的有10個(gè).

(1)求〃和乙樣本直方圖中a的值；

(2)試估計(jì)該校男生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值和女生本次模擬測(cè)試數(shù)

學(xué)成績(jī)的中位數(shù)(估計(jì)平均值時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表).

解(1)由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80)的頻率為0.020X10=0.20,

而在這個(gè)組的學(xué)生有10人，

則邛=0.20,得〃=50,

由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知(0.006+0.016+0.020+0.040+a)X10=1,故a=

0.018.

(2)甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值為

(55X0.005+65X0.010+75X0.020+85X0.045+95X0.020)X10=81.5.

故乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前三組的頻率之和為(0.006+0.016+0.020)X10=

0.42<0.50,

前四組的頻率之和為(0.006+0.016+0.020+0.040)X10=0.82>0.50,

故乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，則可設(shè)該中位數(shù)為80+x,

由(0.006+0.016+0.020)X10+0.040^=0.50,得x=2,

故乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80+2=82.

根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，可以估計(jì)該校男生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均

值約為81.5,女生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為82.

2.某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2021年11月11日的網(wǎng)購(gòu)

金額，所得數(shù)據(jù)如下表：

網(wǎng)購(gòu)金額(單位：千元)人數(shù)頻率

(0,1]160.08

(1,2]240.12

(2,3]XP

(3,4]yq

(4,5]160.08

(5,6]140.07

合計(jì)2001.00

已知網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)3千元與超過(guò)3千元的人數(shù)比恰為3：2.

⑴試確定x,y,P，4的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖)；

(2)該營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了了解該市網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn)，從這200名網(wǎng)友中，用分層隨

機(jī)抽樣的方法從網(wǎng)購(gòu)金額在(L2］和(4,5］的兩個(gè)群體中確定5人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若

需從這5人中隨機(jī)選取2人繼續(xù)訪(fǎng)談，則此2人來(lái)自不同群體的概率是多少？

解（1）根據(jù)題意有

r16+24+x+y+16+14=200,

x=80,

解虱=5。,

<16+24+尤3

、y+16+14二1

'.p—0.40,q=0.25.

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.

(2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購(gòu)金額在(1,2］內(nèi)的人數(shù)為萬(wàn)了記X5=3,

抽取網(wǎng)購(gòu)金額在(4,5］內(nèi)的人數(shù)為肅正義5=2,

ClCl3

故此2人來(lái)自不同群體的概率尸=*=］

【方法點(diǎn)撥

1.頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

⑴小長(zhǎng)方形的面積=組距X輸|=頻率；

(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；

頻率1

(3)小長(zhǎng)方形的高=函函，所有小長(zhǎng)方形的高的和為萌.

2.分布直方圖的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)表示，即

在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相

等.

(3)百分位數(shù)：第〃百分位數(shù)左邊小長(zhǎng)方形的面積之和占總面積的“％.

（4）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布圖中等于每組的區(qū)間中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的

和.

考點(diǎn)2數(shù)字特征的計(jì)算

例3某學(xué)習(xí)小組在一次知識(shí)問(wèn)答測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1

人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績(jī)

的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分

C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分

答案C

解析由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85,平均

數(shù)為

100+95+90X2+85X4+80+75

故選C.

例4（2022.湖北荊州模擬）下圖是將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考

試所得的成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖，則此班的模擬考試

成績(jī)的80%分位數(shù)是_______.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

答案124.44

解析由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為（0.01

+0.015+0.015+0.03）X10X100%=70%,

分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為（0.01+0.015+0.015+0.03+

0.0225）X10X100%=92.5%,因此，80%分位數(shù)一定位于［120,130）內(nèi).

0.80-0.70

由120+X10E24.44,故此班的模擬考試成績(jī)的80%分位數(shù)約

-U.1\）

為124.44.

例5（2021.全國(guó)乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備

生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，

得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.310.010.29.9

新設(shè)備10.110.410.110.010.1

舊設(shè)備9.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為工和?,樣本方

差分別記為和A.

⑴求X,y,5?,si;

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果9

_Isi+si

-》22飛下一，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提

高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

解(1)由表中的數(shù)據(jù)可得：

_9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7

光=10

=10,

_10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=10

=10.3,

H=-j^X[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0—10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+

(9.8-10)2+(10.0-10)2+(10.1-IO/+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036,

22

^=-^X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)2+(10.0一IO.3)+(1O.1

-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-

10.3)2]=oo4.

(2)由(1)中的數(shù)據(jù)可得y-x=10.3-10=0.3,

愉+0/0.036+0.04,-----

2\~W~=2y―=240。076

=#0.0304,

因?yàn)?.3:yf0X)9>yl0.0304,

所以9-%

所以可以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

「追蹤練習(xí)」3.甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)(單位:

分)如圖所示:

(1)分別求出甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)與方差；

⑵根據(jù)⑴的結(jié)果，對(duì)兩人的成績(jī)作出評(píng)價(jià).

解(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

_10+13+12+14+16

元甲=5=13,

_13+14+12+12+14

x乙=c=[3,

4=|x[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,

22222

5^=1X[(13-13)+(14-13)+(12-13)+(12-13)+(14-13)]=0.8.

(2)由宿＞s＞可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定.

從題圖看，甲的成績(jī)基本呈上升趨勢(shì)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，因此甲的成績(jī)

在不斷提高，而乙的成績(jī)則無(wú)明顯提高.

4.甲、乙、丙三人去某地務(wù)工，其工作受天氣影響，雨天不能出工，晴天才

能出工(不考慮其他天氣情況).其計(jì)酬方式有兩種，方式一：雨天沒(méi)收入，晴天

出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元.三人要選擇

其中一種計(jì)酬方式，并打算在下個(gè)月(30天)內(nèi)的晴天都出工，為此三人作了一些

調(diào)查，甲以去年此月的下雨天數(shù)(1。天)為依據(jù)作出選擇；乙和丙在分析了當(dāng)?shù)亟?/p>

9年此月的下雨天數(shù)⑺的頻數(shù)分布表(見(jiàn)下表)后，乙以頻率最大的〃值為依據(jù)作

出選擇，丙以〃的平均值為依據(jù)作出選擇.

n8910111213

頻數(shù)312021

(1)試判斷甲、乙、丙選擇的計(jì)酬方式，并說(shuō)明理由；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)范圍的大小，你覺(jué)得三人中誰(shuí)的依據(jù)更有指導(dǎo)意義？

(3)以頻率作為概率，求未來(lái)三年中恰有兩年此月下雨不超過(guò)11天的概率.

解(1)按計(jì)酬方式一、二的收入分別記為八〃)，g(〃)，

.7(10)=250X(30-10)=5000,

g(10)=120X10+200X(30-10)=5200,

所以甲選擇計(jì)酬方式二；

由頻數(shù)分布表知頻率最大的"=8,

^8)=250X(30-8)=5500,

g(8)=120X8+200X(30-8)=5360,

所以乙選擇計(jì)酬方式一；

n的平均值為、X(8><3+9X1+10X2+12X2+13X1)=10,

所以丙選擇計(jì)酬方式二.

(2)甲統(tǒng)計(jì)了1個(gè)月的情況，乙和丙統(tǒng)計(jì)了9個(gè)月的情況，但乙只利用了部分

數(shù)據(jù)，丙利用了所有數(shù)據(jù)，所以丙的統(tǒng)計(jì)范圍最大，三人中丙的依據(jù)更有指導(dǎo)意

義.

(3)此月下雨不超過(guò)11天的頻率為號(hào)=|,以此作為概率，則未來(lái)三年中恰有

兩年此月下雨不超過(guò)11天的概率為ax

1.中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的應(yīng)用要點(diǎn)

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”；平均數(shù)反

映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用；方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平

1n

均數(shù)波動(dòng)的幅度，應(yīng)用時(shí)注意其公式的簡(jiǎn)化形式：工2.

2.頻率分布直方圖中第〃百分位數(shù)的計(jì)算

(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間［a,by,

(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為入％,力,％,則第p百分位

“％

數(shù)為a元/

+J7h^/O—-Ja/oXS-a).

考點(diǎn)3統(tǒng)計(jì)圖表

例6已知某市某居民小區(qū)戶(hù)主人數(shù)和戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意率分別如圖1

和圖2所示，為了解該小區(qū)戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取30%的戶(hù)主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為

()

滿(mǎn)意率/%

40

30

三居室戶(hù)20

上400人

:居室三居室四居室戶(hù)型

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

答案A

解析樣本容量〃=(250+150+400)X30%=240,抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意

的人數(shù)為150X30%X40%=18.故選A.

例7(多選)(2022?山東濟(jì)南模擬)小明根據(jù)2021年1月至11月期間每月跑步

的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線(xiàn)圖.根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)

論正確的是（）

A.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小

答案ACD

解析由折線(xiàn)圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；月跑步

里程不是逐月增加的，故B不正確；月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8

月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，故5

月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；由圖可知，1月至5月的月跑步里程相

對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選ACD.

「追蹤練習(xí)』5.（2021.湖南永州高三質(zhì)量檢測(cè)）小王于2017年底貸款購(gòu)置了一

套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式,

且截止2021年底，他沒(méi)有再購(gòu)買(mǎi)第二套房子.下圖是2018年和2021年小王的家

庭收入用于各項(xiàng)支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是

)

2021年各項(xiàng)支出

A.小王一家2021年用于飲食的支出費(fèi)用與2018年相同

B.小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用是2018年的3倍

C.小王一家2021年的家庭收入比2018年增加了1倍

D.小王一家2021年用于房貸的支出費(fèi)用比2018年減少了

答案B

解析因?yàn)樾⊥趺吭逻€款數(shù)額相同，2018年占比60%,2021年占比40%,說(shuō)

明2021年收入大于2018年收入，設(shè)2018年收入為x,2021年收入為y,0.6x=0.4y,

X2

即；;=1.對(duì)于A,2018年和2021年，雖然飲食占比都是25%,但收入不同，所以支

出費(fèi)用不同，所以A不正確；對(duì)于B,2018年的其他方面的支出費(fèi)用是0.06羽2021

年其他方面的支出費(fèi)用是012y,向=3,所以B正確；對(duì)于C,因?yàn)閈=3=1.5,

所以小王一家2021年的家庭收入比2018年增加了0.5倍，所以C不正確；對(duì)于

D,房貸占收入的比例減少了，但支出費(fèi)用是不變的，所以D不正確.故選B.

6.（多選）2020年全球“新冠”疫情暴發(fā)，嚴(yán)重影響了人們的常態(tài)生活.某市

據(jù)統(tǒng)計(jì)得到5月份居民消費(fèi)的各類(lèi)商品及服務(wù)價(jià)格環(huán)比（與4月份相比）變動(dòng)情況

如圖：

0.5

0.4

().3

0.2

0.1口。加…頌nOR.,一II……FT

煙酒用品和通信文化保健用品

及服務(wù)娛樂(lè)服務(wù)

則下列敘述正確的是（）

A.八大消費(fèi)價(jià)格環(huán)比呈現(xiàn)四漲四平

B.其他用品服務(wù)價(jià)格環(huán)比漲幅最大

C.生活用品及服務(wù)和醫(yī)療保健價(jià)格環(huán)比漲幅相同

D.5月份居民消費(fèi)平均價(jià)格環(huán)比持平

答案ABC

解析對(duì)于A,由題圖可知，飲食煙酒、衣著、居住、交通和通信價(jià)格環(huán)比

持平，生活用品及服務(wù)、教育文化娛樂(lè)、醫(yī)療保健、其他用品服務(wù)價(jià)格環(huán)比上漲,

所以A正確；對(duì)于B,由題圖可知，八大消費(fèi)價(jià)格中，其他用品服務(wù)價(jià)格環(huán)比漲

幅最大，所以B正確；對(duì)于C,由題圖可知，生活用品及服務(wù)和醫(yī)療保健價(jià)格環(huán)

比漲幅相同，所以c正確；對(duì)于D,由于八大消費(fèi)價(jià)格環(huán)比呈現(xiàn)四漲四平，所以

5月份居民消費(fèi)平均價(jià)格環(huán)比上漲，所以D不正確.故選ABC.

統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題的解決方法

(1)首先要準(zhǔn)確地識(shí)圖，即要明確統(tǒng)計(jì)圖表中縱軸、橫軸及折線(xiàn)、區(qū)域等所表

示的意義，尤其注意數(shù)字變化的趨勢(shì)等.

(2)其次要準(zhǔn)確地用圖，會(huì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)字計(jì)算樣本的數(shù)字特征，會(huì)用

統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體.

二、核心素養(yǎng)提升

例1甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如

圖所示，貝4()

u一口

5678910環(huán)數(shù)678910環(huán)數(shù)

甲

A.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)

B.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)

C.甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差

D.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差

答案C

4+5+6+7+8

解析甲的平均數(shù)是-----c------=6,中位數(shù)是6,極差是4,方差是

(―l)~+(—1)~+(—1)~+0^+3~12

5,極差是4,方差是~_---------=5，比較可得C正確.故

選C.

例2在第二次高考模擬市統(tǒng)測(cè)結(jié)束后，某校高三年級(jí)一個(gè)班級(jí)為預(yù)估本班

學(xué)生的高考成績(jī)水平，登記了全班同學(xué)的卷面成績(jī).經(jīng)查詢(xún)得知班上所有同學(xué)的

學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)22分加分均已取得，則學(xué)業(yè)水平考試加分22分前后相比，不

變的數(shù)字特征是()

A.平均數(shù)B.方差

C.中位數(shù)D.眾數(shù)

答案B

解析學(xué)業(yè)水平考試加分22分前后相比，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都在原來(lái)的

基礎(chǔ)上加上了22,而全班的成績(jī)波動(dòng)性未發(fā)生變化，即方差不變.故選B.

例3某校為了解高三年級(jí)學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，

利用分層隨機(jī)抽樣分別抽取50名男生和30名女生，測(cè)量他們的身高，所得數(shù)據(jù)

如下：

性別人數(shù)平均數(shù)(cm)方差

男生50174191

女生30162110

試估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生身高的平均數(shù)和方差.

解由題意可得樣本平均數(shù)工=ix(50X174+30X162)=169.5.

OU

方差52=^X{50X[191+(174-169.5)2]+30X[110+(162-169.5)2])=

194.375.

可以估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生身高的平均數(shù)為169.5cm,方差為194.375.

例4(2019?全國(guó)II卷)某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，

隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)

率y的頻數(shù)分布表.

y的分組企業(yè)數(shù)

[-0.20,0)2

[0,0.20)24

[0.20,0.40)53

[0.40,0.60)14

[0.60,0.80]7

(1)分別估計(jì)這類(lèi)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企

業(yè)比例;

(2)求這類(lèi)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)

附：加心8.602.

解(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不

14+7

低于40%的企業(yè)頻率為一^-=0.21.

產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為高=0.02.

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類(lèi)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比

例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.

_1

(2)y=而又(一0.10X2+020*24+0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

15_J

?=—X-5)2=而X[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+義53+0.202X14

i=1

+0.402義7]=0.0296,s=V^^=0.02xM^0.17.所以這類(lèi)企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的

平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30,0.17.

t

估計(jì)總體的數(shù)字特征

通常我們用樣本的平均數(shù)和方差(標(biāo)準(zhǔn)差)來(lái)近似代替總體的平均數(shù)和方差(標(biāo)

準(zhǔn)差)，以呈現(xiàn)總體數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)及波動(dòng)大小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)總體的估計(jì).

(1)一般情況下，需要將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合，得到更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息,

從而對(duì)總體作出較好的估計(jì).因?yàn)槠骄鶖?shù)容易掩蓋一些極端情況，使我們作出一

些對(duì)總體的片面判斷，而標(biāo)準(zhǔn)差較好地避免了極端情況.

(2)若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)差別很大，也可以?xún)H比較平均數(shù)，估計(jì)總體的平均水

平，從而作出判斷.

注意：通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖表和數(shù)字特征，我們能夠估計(jì)總體的信息，而

且樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確.

課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.某鞋店試銷(xiāo)一新款女鞋，銷(xiāo)售情況如下表:

鞋號(hào)3435363738394041

數(shù)量/雙259169532

如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)你來(lái)說(shuō)最重要的是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)

C.中位數(shù)D.方差

答案B

解析鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪種鞋號(hào)的鞋銷(xiāo)量最大，即數(shù)據(jù)的眾數(shù).故選B.

2.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為〃的樣

本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在［50,60）的同學(xué)有30人，則〃的值

為（）

A.100B.1000

C.90D.900

答案A

解析由頻率分布直方圖可知，支出在［50,60）的同學(xué)的頻率為0.03X10=

30

0.3,二〃==100.故選A.

3.（2021.山東青島高三模擬）在樣本的頻率分布直方圖中，共有5個(gè)小長(zhǎng)方形,

2

若中間一個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于其他4個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的彳且樣本容量為140,

則中間一組的頻數(shù)為（）

A.10B.20

C.40D.70

答案C

解析因頻率分布直方圖中，各小矩形面積是該小矩形對(duì)應(yīng)組的頻率，且各

小矩形面積和為1,設(shè)中間一組的頻率為x,則其他4組的頻率和為1-x,由題

222

意知x=￡l-x）,解得x=T所以中間一組的頻數(shù)為亍x140=40.故選C.

4.甲組數(shù)據(jù)為5,12,16,21,25,37;乙組數(shù)據(jù)為1,6,14,18,38,39廁