2023教師版 步步高 大二輪 數(shù)學(xué) 新高考專題四 立體幾何

ZHUANTISI

專題四立體幾何

第1講空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

考點(diǎn)一空間幾何體的折展問題

【核心提煉】

空間幾何體的側(cè)面展開圖

1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

2.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

3.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

例1（1）“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩(shī)人楊萬里的作品《過松源晨炊

漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

40折km,8是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)

山觀光公路，這條公路從4出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為（）

A.60kmB.12^/6km

C.72kmD.12仃km

答案C

解析該圓錐的母線長(zhǎng)為N（4（N記）2+402=160,

所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角光笞滑=方的扇形,

如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接4'B,

由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B,A'B=y]SA'2+5B2=^/1602+1202=200,

過點(diǎn)S作A'8的垂線，垂足為H,

記點(diǎn)P為A'8上任意一點(diǎn)，連接PS,當(dāng)上坡時(shí)，P到山頂S的距離PS越來越小，當(dāng)下坡

時(shí)，尸到山頂S的距離PS越來越大,

則下坡段的公路為圖中的“8,

由RtZ\SA'BsRtAHSB,

SB21202

得HB==72(km).

A'『200

（2）（2022?深圳檢測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=b,A8=l,40=1,

AB±AC,ABA-AD,ZCAE=30°,則cosNrC8等于()

1]33

A.]B.gCgDq

答案D

解析由題意知，AE=AD=AB=\,BC=2,

在中，由余弦定理知,

CE2=AE2+AC2-2AEACCOSZG4E

=1+3-2X1X小X竽=1,

:?CE=CF=1,而BF=BD=巾,BC=2,

???在△BC廠中，由余弦定理知，

BG+C產(chǎn)一C產(chǎn)4+1—23

cosZFCB=_2BCCF—=2X2X1=4'

規(guī)律方法空間幾何體最短距離亞題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面

中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.

跟蹤演練1（1）（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中

正確的是（）

A

A.CGGH

B.8與EF是共面直線

C.AB//EF

D.G”與E尸是異面直線

答案ABD

解析由圖可知，還原正方體后，點(diǎn)C與G重合，

即CRGH,

又可知8與E尸是平行直線，即CO與E尸是共面直線，48與E尸是相交直線（點(diǎn)B與點(diǎn)尸

重合），GH與灰是異面直線，故A,B.D正確，C錯(cuò)誤.

⑵如圖，在正三棱錐產(chǎn)一ABC中，ZAPB=ZBPC=ZCM=30°,PA=PB=PC=2f一只蟲

子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（）

A.3^2B.3s

C.2小D.2啦

答案D

解析將三棱錐由布展開，如圖所示，則乙4%尸90。

所求最短距離為AAi的長(zhǎng)度，：以二？,

，由勾股定理可得

A4I=^/22+22=2V2.

，蟲子爬行的最短距離為2啦.

考點(diǎn)二表面積與體積

【核心提煉】

1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

（1）Sfflu?=2?tr/,SKi"=2"（r+/）（r為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）.

（2）S困體制=冗/7,Su理表=”（「+/）（「為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）.

（3）5率先=4兀R2（R為球的半徑）.

2.空間幾何體的體積公式

（l）Vu=S/?（S為底面面積，〃為高）.

（2）丫染=/$〃（5為底面面積，九為高）.

⑶丫臺(tái)斗S上+、S上$+S下冽S上,SF為底面面積，〃為高）.

4

（4匹球=鏟/?3（星為球的半徑）.

例2（1）（2022?全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2心側(cè)

面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.噂=2,則行等于（）

A.小B.2\[2C.y[\0

答案C

解析方法一因?yàn)榧住⒁覂蓚€(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，所以結(jié)合券=2,可知甲、乙兩個(gè)圓錐

3乙

側(cè)面展開圖的圓心角之比是2：1.

不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為/=3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，1,冷，高分別為囪，

力2,

則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6兀的圓，

所以2”|=4兀，2口2=2兀，得門=2,〃=1.

由勾股定理得，

hi=*_R=3,力2=、？_/=2&,

V,"用W5

所以，「輔J?=<10.

方法二設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為內(nèi)，「2,高分別為加，亞,

側(cè)面展開圖的圓心角分別為加，

rmJ_S中itril27r

則由￡=麗=遜=2，

2n

由題意知〃1+〃2=2兀，

所以〃1=專，〃2=冬，

所以2兀〃=專/,2nr2=^/,

由勾股定理得，小=＜附=乎/,

hi=鄧一區(qū)=42/，

（2）（多選）（2022?新高考全國(guó)II）如圖，四邊形ABC。為正方形，EO_L平面A8CO,FB//ED,

AB=EO=2FB.記三棱錐E—ACO,F-ABC,尸一ACE的體積分別為H，V2,丫3，則（）

答案CD

解析如圖，連接B。交AC于O.連接OE,OF.

A

B

設(shè)43=EQ=2尸4=2,

則AB=BC=CD=AD=2t

FB=\.

因?yàn)镋OJ■平面ABC。，F(xiàn)B〃ED,

所以尸5_L平面ABC。，

所以Vi=METCD=；SMCZTED=gX^ADCD-ED=gX；X2X2X2=',

====

V2VF-J\BC"^SAABCFB2^3XX2X2X1=亍

因?yàn)镋O_L平面A3CO,ACU平面ABC。，

所以。LAC,

又AC_L8。，

且EDCBD=D,ED,BDU平面BDEF,所以AC_L平面BDE尸.

因?yàn)椤?OFU平面8DEF,

所以4C_LOE,ACLOF.

易知AC=80=表48=2限，

OB=OD=/D=巾,

OF=7OB2+FB2=小,

OE^OI^-^ED2=#,

EF'=y/BD2+(ED~F'B)2

=、(2何+(2T)2=3,

所以E產(chǎn)nO/+O尸，所以。ALOE.

XOEOAC=O,0EtACU平面4CE,

所以O(shè)/_L平面ACE,

所以V3=VF-ACE=^ACEOF

=gx14coEOF

=；X3X2mX旗X方=2,

所以Vi^V3,V3=VI4-V2,2V3=3VI,

所以選項(xiàng)A,B不正確，選項(xiàng)C,D正確.

規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法

⑴公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖腦分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不

熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.

（3）等體積法：選擇合適的底面來求體積.

跟蹤演練2（1）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值*,SA與圓錐底面所成

角為45。，若ASAB的面積為5，石，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.8即兀B.40

C.40vLiD.44幾

答案C

7

解析由圓錐的頂點(diǎn)為S,母線S4,SB所成角的余弦值為《

可得sin/ASB=q1一勵(lì)=華,

又ASAB的面積為5代，

可得Ts/PsinNASB=5如，

即上不義誓=5巫，可得SA=4小，

由SA與圓錐底面所成角為45。，

可得圓錐的底面半徑為坐義44=2回，

則該圓錐的側(cè)面積為兀X2#5X4#=4M兀

⑵（2022.連云港模擬）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該

圓臺(tái)的體積是（）

答案B

解析如圖，設(shè)上底面的半徑為幾下底面的半徑為R,高為小母線長(zhǎng)為/,

則2兀/=於1,2花/?=兀?2,

解得r=2fR=L

Z=2-l=l,

上底面面積s'=兀?&=：，

下底面面積5=7ll2=7T,

則該圓臺(tái)的體積為:(S+S'+病")h=

氯若+飄狂驟

考點(diǎn)三多面體與球

【核心提煉】

求空間多面體的外接球半徑的常用方法

⑴補(bǔ)彩法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)

方體中去求解；

(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心,

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

例3(1)(2022?煙臺(tái)模擬)如圖，三棱錐V-4BC中，論J_底面ABC,ZB4C=90°,AB=AC

=VA=2,則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()

A.（2-巾）：IB.（26一3）：I

C.（小一1）:3D.（小一1）:2

答案C

解析因?yàn)槔齙L底面ABC,AB,ACU底面ABC,

所以%_LA8,VA±AC,

又因?yàn)镹B4C=90。，

所以ABJ_AC,而48=AC=%=2,

所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長(zhǎng)、寬、高，因此該三棱錐外

接球的半徑

/?=1X^22+22+22=V3?

設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)镹84C=90°,

所以BC^AB^AC2=^/22+22=2^2,

因?yàn)?_LAB,VALAC,AB=AC=VA=2t

所以VB=VC=yjVA2+AB2=A/22+22=2^2,

由三棱錐的體積公式可得，

3X|X}X2X2.X9X2吸X2小X半?r=；X：X2X2X2=>r

3—

所以r：R=3V:小=（小T）：3.

（2）（2022?新高考全國(guó)H）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為34和4小，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.12阮

C.1447cD.1927r

答案A

解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為，坐X35=3,，坐X45

=4.

設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為Ol,。2,連接。。2（圖略），則。1。2=1,其外接

球的球心O在直線。Q上.

設(shè)球。的半徑為R,當(dāng)球心O在線段。。2上時(shí)，/?2=32+。0彳=42+（1—。。］）2,

解得00|=4（舍去）；

當(dāng)球心O不在線段as上時(shí)，R2=42+oa=32+（i+05）2,解得05=3,

所以昭=25,

所以該球的表面積為4冗/?2=10（）兀

綜上，該球的表面積為1007T.

規(guī)律方法（1）求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解.

（2）求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.

跟蹤演練3（1）（2022?全國(guó)乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.1B.y

答案c

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)0組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為〃(0</2Vl),底面半徑為,，

則圓錐的體積V=^Ttrh=j7t(1—h2)h,

則V'=%(1—3")，

令V'=1n(l—3/i2)=0,得〃=坐，

所以V=/r(l—〃2)〃在(o,乎)上單調(diào)遞增，

在惇，1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)4=當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積最大.

(2)(2022?衡水中學(xué)調(diào)研)將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱

長(zhǎng)為2,若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為,該組合體的外接球的體

積為.

答案乖耳￡

解析如圖，連接附交底面8。于點(diǎn)O,則點(diǎn)O就是該組合體的外接球的球心.

P

A

設(shè)三棱鏈的底面邊長(zhǎng)為a

則CO=PO=R=^a,

得，3。=2,

所以R=巾,

所以V=T7t-(y/2)3=3^,

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?唐山模擬）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比

值為（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.2：3

答案A

解析設(shè)球的半徑為r,依題意知圓柱的底面半徑也是r,高是2r,圓柱的側(cè)面積為2nr,2r

=4兀3，球的表面積為4加戶，其比例為1:1.

2.（2021?新高考全國(guó)I）已知圓錐的底面半徑為也，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長(zhǎng)為（）

A.2B.2y[2C.4D.4觀

答案B

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為蟲，所以2%又吸=整，解得1=2小.

3.某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，

用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字.該正方體紙盒

水平放置的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體

的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

答案B

解析把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，面“致”與面“美”相對(duì)，若“致”在

正方體的后面，那么在正方體前面的字是“美”.

4.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,則三棱錐的體積為（）

48人,

A.gB.gC.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A-BCG是由正方體截去四個(gè)小三棱錐4一4歷。|,

C-BiCiDi,Bi-ABCtDi-ACD形成的,

又匕8CD~A81Gol=2'3=8,

匕一AUa--%-ACD

1]4

=3x2x23=r

4?

所以匕f3=8—4X§=W?

5.(2022?河南聯(lián)考)小李在課間玩耍時(shí)不慎將一個(gè)籃球投擲到一個(gè)圓臺(tái)狀垃圾簍中，恰好被上

底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5＜而〃，垃圾簍上底面直徑為24a,下

底面直徑為18a,母線長(zhǎng)為13小則該籃球的表面積為()

A.154m2B.6；6M2

C.308m2D.616兀/

答案D

解析球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.根據(jù)題意，設(shè)垃圾簍的高為山則

h==(13a)2—(⑵-9a)2=WT5a.

所以球心到上底面的距離為qiOa.

設(shè)籃球的半徑為一，

則戶=10^2+(12^)2=154^2.

故籃球的表面積為4兀戶=616必2.

6.(2022?湖北聯(lián)考淀義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(〈10mm),

中雨(10mm?25mm),大雨(25mm?50mm),暴雨(50mm?100mm),小明用一個(gè)圓錐形容

器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

>-200mm—H

300mm

150mm

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

答案B

解析由題意知，一個(gè)半徑為第=IOO(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為絆義察=

50(mm),高為150(mm)的圓錐，

所以積水厚度4=^----丫1i—=l2.5(mm),.屬于中雨.

7cxinuAu-

7.(2022?八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體A8CO的棱長(zhǎng)為1,過點(diǎn)B作截面。分別交側(cè)棱

AGA。于E,/兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體A8C。體積的小則E尸的最小值為()

答案D

解析由題知VB-AEF='2VB-ACDI

所以SAA￡/=§SAACD=1X/XIX1X曰

記EF=a,AE=b,AF=ef

則gbcsin60。=書，即6c=g.

則a2=b2-kc2—2bccos60°^2bc—bc=bc=^,

當(dāng)且僅當(dāng)方=c=乎時(shí)取等號(hào)，

所以。即石戶的最小值為坐.

8.（2022?新高考全國(guó)I）已知正四梭錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,具各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體

積為36冗，且3W/W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A[18,J-]B已用

「27641

C[不—JD.[18,27]

答案C

解析方法一如圖，設(shè)該球的球心為O,半徑為R,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為°,高為小

依題意，得36兀=%/?3,

解得R=3.

卜=今+徐）,

由題意及圖可得彳

R2=（h-R）2+\-

^=2^—-

I1O

所以正四棱稚的體積V-p/7

5戶-獻(xiàn)=&Y）（3W/W3回

所以/=^_g=*（4_￡）（3W/W3V5）.

令V=0,得/=2加，

所以當(dāng)3W/<2#時(shí)，S>0；

當(dāng)2#</W琬時(shí)，V<0,

所以函數(shù)V=g（2一合（3W/W3?。┰赱3,2優(yōu)）上單調(diào)遞增，在（2#,3小]上單調(diào)遞減,

27

又當(dāng)/=3時(shí)，丫=彳；

當(dāng)/=2%時(shí)，V=y；

當(dāng)/=3小時(shí)，丫=停

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是匡y.

方法二如圖，設(shè)該球的球心為。半徑為R,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為m高為〃,

a

I）

4

依題意，得36兀=鏟R3,

解得R=3.

卜=今+信）,

由題意及圖可得彳

[R2=（〃_R）2+凈）,

〃2R6，

解得JM

標(biāo)=2展R

11O

又3W/W36

所以該正四棱錐的體積V=^a2h

=歌一給（=船0

=72X套套（2—給

W72X國(guó)嚏+（2-創(chuàng)號(hào)

L3J

（當(dāng)且僅當(dāng)蕓=2—/，即/=2加時(shí)取等號(hào)），

所以正四棱錐的體積的最大值為號(hào)，排除A,EhD.

方法三如圖，設(shè)該球的半徑為凡球心為。，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為G,高為/2,正四棱錐

的側(cè)核與高所成的角為仇

依題意，得36兀=%/?3,

解得R=3,所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)。=，5/sin。，高力=/cos。

在△。尸。中，作OE_LPC,垂足為E,

I

則可得cosO=1=（￡坐］,

所以/=6cos8,

所以正四棱錐的體積

丫=；〃力=/出公畝【cos0

=§（6cos毋sin2%os0=144（sin^cos202.

設(shè)sin0=t,易得zG坐］,

則y=sinOco^0=t{\—P）=f—P,

則y，=1-3戶.令＜=0,得尸坐，

所以當(dāng)上70亭時(shí)，＜＞0；

當(dāng)拿唐時(shí)，〈〈①

所以函數(shù)），=￡一戶在用上單調(diào)遞增，在停，坐）上單調(diào)遞減.

又當(dāng)尸乎時(shí)，y=2展；當(dāng)f=：時(shí)，y=|；

當(dāng)片當(dāng)時(shí),y=吟,

所以坐W），W挈，所以/竽.

~2764~

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是彳，y.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022.武漢模擬）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等,

下列結(jié)論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為4兀巾

B.圓錐的側(cè)面積為2兀/?2

C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等

D.球的體積是圓錐體積的兩倍

答案ACD

解析對(duì)于A,???圓柱的底面直徑和高都等于2R,

???圓柱的側(cè)面積SI=2TTR2R=4兀心，故A正確；

對(duì)于B,???圓錐的底面直徑和高等于2R,

，圓錐的側(cè)面積為

S2=RR、R2+4R2=島R2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,圓柱的側(cè)面積為$=4兀？，

球的表面積S3=4兀&，即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；

對(duì)于D,球的體積為修=%/已

I?

圓錐的體積為丫2=鏟心2/?=§成\

即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確.

10.設(shè)一空心球是在一個(gè)大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已知

內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上且所有

面均與內(nèi)球相切，則（）

A.該正方體的棱長(zhǎng)為2

B.該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3+小

C.空心球的內(nèi)球半徑為小一1

D.空心球的外球表面積為（12+班）兀

答案BD

解析設(shè)內(nèi)、外球半徑分別為r,R,則正方體的棱長(zhǎng)為2r,體對(duì)角線長(zhǎng)為2R,???/?=巾r,

又由題知R—r=l,

-^3±3

??*2，/12，

，正方體棱長(zhǎng)為小+1,體對(duì)角線長(zhǎng)為3+小，

，外接球表面積為4n/?2=（12+6^3）71.

11.如圖，已知四棱臺(tái)ABCO-ABiG。的上、下底面均為正方形，其中48=啦,

AAi=BB\=CC\=DD\=2,則下列敘述正確的是（）

A.該四棱臺(tái)的高為小

B.AAi.LCC]

C.該四棱臺(tái)的表面積為26

D.該四棱臺(tái)外接球的體積為竽

答案AD

解析將四棱臺(tái)補(bǔ)為如圖所示的匹棱錐P—ABCO,分別取BC,SG的中點(diǎn)E,昂,

記四棱臺(tái)ABCO-A/iG。的上、下底面中心分別為5,O,連接4C,AiG,3。，BiD）,

A。，OE,OP,PE,

由條件知4,B1,Ci,Oi分別為四棱錐的側(cè)棱以，PB,PC,PD的0點(diǎn)，

則B4=2A4i=4,OA=^4B=0iBi=2,

所以001=滎0=^\/^^^^=\5，

故該四棱臺(tái)的高為小，故A正確；

由必=PC=4,AC=4,得△附C為正三角形，

則AAi與CG所成角為60。，故B錯(cuò)誤；

四棱臺(tái)的斜高/?'=^PE=^IPO2-^-OE2

=以（242+（何=卑

所以該四棱臺(tái)的表面積為

（2低2+（的2+4X、彳2,X羋

=10+6＞「，故C錯(cuò)誤；

由△孫（；為正三角形，易知O4=OA=OC=OG,O8i=OOi=OB=。力，

47t

所以。為四棱臺(tái)外接球的球心，且外接球的半徑為2,所以該四棱臺(tái)外接球的體積為了X23

=苧，故D正確.

12.（2022?聊城模擬）用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀,

則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之

間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短

半軸長(zhǎng)乘積的幾倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個(gè)平行平面去截該圓

柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為乎

B.側(cè)面積為24啦幾

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為367r

D.底面積為4&兀

答案ABD

解析不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)8作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾

何體是圓柱，如圖，矩形ABCO是圓柱的軸截面，平行四邊形8尸DE是斜圓柱的過底面橢圓

的長(zhǎng)軸的截面，

由圓柱的性質(zhì)知NAB尸=45。，

則BF=pAB,

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m短軸長(zhǎng)為幼，

則竊=也-2兒即°=尤瓦

c=y1a2—b2=\j^~^^^2=2G1

所以離心率為e=m=除,A正確；

C44

作EGLBF,垂足為G,則EG=6,

易知NEBG=45。，則85=地，

又CE=AF=AB=4,

所以斜圓柱側(cè)面積為S=2兀X2X（4+N5）-2%X2X4=24&mB正確；

由于斜圓柱的兩個(gè)底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半

徑為2,球的表面積為47cx22=16n,C錯(cuò)誤；

易知2b=4,則力=2,。=2/，

所以橢圓面積為nab=4y[2it,D正確.

三、填空題

13.（2022?湘潭模擬）陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示,

由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別為

h\,如，「，且hi=h2=r,設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為$和S2,則費(fèi)=，

答案坐

解析由題意知,

圓錐的母線長(zhǎng)為1=7城+產(chǎn)=小八

則圓錐的側(cè)面積為S\=nrl=y[2Ttr,

根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為

S2=2nrh2=2nr2,所以3=乎.

022

14.（2022?福州質(zhì)檢）在正三棱柱HBC—481G中，AB=AAi=2,尸是線段AS上的動(dòng)點(diǎn)，

則AF+FCi的最小值為.

答案乖十小

解析依題意，把正三棱柱ABC-AiBtQ的上底面△4EC與側(cè)面矩形ABBiAt放在同一平

面內(nèi)，連接AG,設(shè)AG交4閏于點(diǎn)E如圖，

此時(shí)點(diǎn)/可使AF+尸G取最小值，大小為4G,而NA4Ci=150。，

則ACi=^/AA?+AiC?-2A4IA1CicosZAAiCi

=、22+22-23cos150°

=、8+45=#+啦,

所以4尸+尸G的最小值為#

15.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)實(shí)心工藝品（如圖所示）.該工藝品可以

看成是一個(gè)球體被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的6個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重

合），其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為3〃，則該球的半徑為：現(xiàn)給出定義：球面被平面所

截得的一部分叫做球冠.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠

的高.如果球面的半徑是R,球冠的高是心那么球冠的表面積計(jì)算公式是S=2兀股.由此可

知，該實(shí)心工藝品的表面積是_______.

解析設(shè)截面圓半徑為「，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半，即此距離為2,根

3

據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得3兀=2”,得『家

故中=3+22=年25，得R’5，

所以球的表面積S=25兀

如圖，OA=OB=y且。0]=2,

則球冠的高h(yuǎn)=R—OO\=^,

得所截的一個(gè)球冠表面積S=2TTR力=2兀乂京3=:，且截面圓的面積為九X.三當(dāng)

所以工藝品的表面積為4瓦/?2—6（S—引=25兀一竽=效3

16.（2022?開封模擬）如圖，將一塊直徑為2小的半球形石材切割成一個(gè)正四棱柱，則正四棱柱

的體積取最大值時(shí)，切割掉的廢棄石材的體積為.

答案2小兀一4

解析設(shè)正四棱柱的底面正方形邊長(zhǎng)為。，高為h,則底面正方形的外接圓半徑

:./+戶=力2+52=3,

：.a2=6-2h\

，正四棱柱的體積V=標(biāo)力=（6—2h2）h=一2〃+6/:（0</?<^3）,

：.V'=-6今+6=—6（力+1）（人一1）,

???當(dāng)0<%<1時(shí)，V>0；當(dāng)1</?<小時(shí)，Vr<0；

，丫=-2〃+6/?在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,?。┥蠁握{(diào)遞減,

***Vmax=V（1）=4,

7

又半球的體積為鏟x（小）3=25兀，

，切割掉的廢棄石材的體積為2小兀一4.

第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

［考情分析］高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空

題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一

般以選擇題、填空題或解答題的第（D問的形式考查，屬中檔題.

考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判定

【核心提煉】

判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

（D根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并

結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.

例1（1）（多選）己知加，〃是兩條不同的直線，Q,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的

是（）

A.若?！ā?“UQ,〃u夕，則機(jī)//〃

B.若機(jī)_La,m//n,nA-p,則

C.若a_L4,〃zUa,〃u￡,則m_L〃

D.若加_La,〃?〃〃，n〃仇則0_1_夕

答案BD

解析A選項(xiàng)，兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若w±a,nA.p,則直線m,n對(duì)應(yīng)的方向向量m,n可看作a,/?的法向量，由于m//n,

又a,夕是兩個(gè)不同的平面，則夕，故B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，若兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩個(gè)平面交線的直線才垂直于另一個(gè)平

面，從選項(xiàng)中無法判斷〃和交線的位置關(guān)系，因此〃，?〃可能相交但不垂直，平行，異面

但不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若mU0,又m±a,根據(jù)面面垂直的判定定理，即有a邛、若由于m//n,〃〃小

則〃?〃人過加任作一個(gè)平面，使其和￡相交于直線C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，〃2〃C,

又m工a,則c_La,結(jié)合cU仇即a_L4故D選項(xiàng)正確.

（2）（多選）（2022?金麗衢十二校聯(lián)考）每個(gè)面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點(diǎn)

G,H,M,N分別是正八面體A8CQE產(chǎn)的棱。七，BC,ADfA產(chǎn)的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.四邊形AECF是平行四邊形

B.G”與MN是異面直線

C.G”〃平面EAB

D.GHLBC

答案AC

解析連接AC,EF,RD,MH,EH,EM,則AC與所相交且相互平分，故四邊形AECF

為平行四邊形，故A正確；

所以AE〃。尸.又G,H,M,N分別是正八面體ABCDE/的棱OE,BC,AD,8尸的中點(diǎn)，

所以GM〃AE,NH//CF,

且GM=：AE,NH=：CF,

所以GM〃NH,且GM=NH,

所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

易證平面MNHG〃平面EAB,

又G"u平面MNGH,

所以G”〃平面E48,故C正確；

因?yàn)镋//_LBC,MHA.BC,EHCMH=H,

所以平面EMH,

而GHQ平面EMH,GHC\EH=H,

所以GH與BC不垂直，故D錯(cuò)誤.

規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線

面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；

若得出矛盾，則假設(shè)不成立.

跟蹤演練1（1）（多選）（2022.湖南師大附中模擬）在長(zhǎng)方體ABC。一A由iGd中，直線AC與

平面45。的交點(diǎn)為M,O為線段5。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線

B.M,O,A，4四點(diǎn)共面

C.B,Bi，。，"四點(diǎn)共面

D.A,O,C,M四點(diǎn)共面

答案ABD

解析如圖，因?yàn)?h〃CG,則A,Ai,Ci,。四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸￡AC,所以平面ACC1A1,又平面人小。，則點(diǎn)M在平面ACG4與平面

的交線上，

同理，。，A也在平面ACGA］與平面ASA的交線上，

所以4,M,。三點(diǎn)共線，從而M,。，Ai,4四點(diǎn)共面，4,O,C,"四點(diǎn)共面.

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，0M,85是異面直線，即8,Bi,O,M四點(diǎn)不共面.

(2)設(shè)點(diǎn)E為正方形ABC。的中心，M為平面AB8外一點(diǎn)，AMAB為等腰直角三角形，且

NMAB=90。，若尸是線段MB的中點(diǎn)，則()

A.ME于DF,且直線ME,。〃是相交直線

B.ME=DF,且直線ME,。r是相交直線

C.MEWDF,且直線ME,。尸是異面直線

D.ME=DF,且直線ME,。尸是異面直線

答案B

解析連接E凡

如圖所示，

由題意知48_LA￡>,

AM=AD,

AB=ABt

則Rt^BAM^Rt^BAD,

所以BM=BD,

因?yàn)镋,尸分別為B。，8M的中點(diǎn)，貝UE尸〃OM,

因?yàn)镕M=^BM=^BD=DE.

故四邊形FMOE是等腰梯形，

所以ME=OF,且直線ME,。產(chǎn)是相交直線.

考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系

【核心提煉】

平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

1~~I

線線|段面平行的判定J線面［面面平行的判定J面面

平行&面平行的性質(zhì)行|,面面平行的性看平行

~T^

面面平行的性質(zhì)

面面套直的判定

例2如圖，四邊形44GC為矩形，四邊形CG818為菱形，且平面CG8|8"L平面AACiC,

D,E分別為邊4囪，GC的中點(diǎn).

(1)求證：BGJ_平面48C；

(2)求證：OE〃平面ABC.

證明(I)二?四邊形A4CC為矩形，

AAC1C1C,

又平面CGBB_L平面AAiCiC,

平面CGB/C平面AA}C\C=CC\,

???AC_L平面CCi&B,

〈GBU平面CC歸山，Z.AClCiB,

又四邊形CG88為菱形，???SC_LBG,

VBiCnAC=C,ACU平面AB1C,

BiCU平面ABC,

.,.BGJ■平面AB\C.

(2)如圖，取A4]的中點(diǎn)F,連接Z)凡EF,

???四邊形AAiGC為矩形,E,尸分別為GC,AAi的中點(diǎn),

.\EF//ACt又EPQ平面ABC,平面ABC,

???EF〃平面ABC,

同理可得。尸〃平面ABiC,

???EFCDF=F,E尸u平面OE尸，D尸u平面OE尸，,平面。即〃平面ABC,

?：DEU平面DEF,:.DE//平面AB\C.

規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

跟蹤演練2(2022?西安模擬)如圖，在直三棱柱4BC—4BiG中，M,N分別是線段A],

AG的中點(diǎn).

(1)求證：MALLA41；

(2)在線段8儲(chǔ)上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面MNP〃平面A4C’?若存在，指出點(diǎn)尸的具體位

置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(I)證明連接4C,如圖，因?yàn)樵谥比庵鵄8C-AICi中，"CC為平行四邊形，

故4c和AG相交，且交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)N,

又因?yàn)镸為48的中點(diǎn)，

所以MN為△48C的中位線，

所以MN〃8C.

因?yàn)锳4i_L平面ABC,BCU平面ABC,

所以AAi_L8C,所以A4]_LMN,

即MNLAAi.

⑵解存在，當(dāng)尸為8G的中點(diǎn)時(shí)，

平面MNP〃平面48c.

連接PN,PM,如圖，

因?yàn)镹為AG的中點(diǎn)，P為BCx的中點(diǎn),

所以PN〃A8,

又PNQ平面ABC,

ABU平面ABC,

所以PN〃平面ABC,

又由(1)知MN〃BC,8CU平面ABC,

MNQ平面ABC,故MN〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,

所以平面MNP〃平面ABC.

考點(diǎn)三翻折問題

【核心提煉】

翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圍形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”

同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位

置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化：對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖

形中解決.

例3(1)(2022?南寧模擬)已知正方形ABC。中七為AB中點(diǎn)，”為AD中點(diǎn)，尸，G分別為

BC,CO上的點(diǎn)，CF=2FB,CG=2GD,將△A8O沿著B。翻折得到空間四邊形ABCO,則

在翻折過程中，以下說法正確的是()

A.EF//GHB.E尸與G”相交

C.E尸與GH異面D.EH與FG異面

答案B

解析如圖，由。F=2FB,CG=2GD,

得FG//BD且FG=|BD,

由E為AB中點(diǎn)，”為AO中點(diǎn)，

得EH//BD且EH=^BD,

所以EH〃FG,且EH于FG,

所以四邊形EFG”為梯形.

梯形EFG”的兩腰所，“G延長(zhǎng)必交于一點(diǎn),

所以E尸與GH相交，EH與FG平行,

故選項(xiàng)A,C,D不正確，選項(xiàng)B正確.

（2）（多選）（2022?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形A8CO中，AB=2AD,E為邊A8的中點(diǎn)，將

△ADE沿直線。石翻折成△4OE.若M為線段4C的中點(diǎn)，則在△4OE翻折的過程中，下面

四個(gè)命題中正確的是（）

A.BM的長(zhǎng)是定值

B.點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上

C.存在某個(gè)位置，使OE_L4C

D.4不在底面8co上時(shí)，M3〃平面

答案ABD

解析如圖所示，取CO的中點(diǎn)尸,

連接MF,BF,AC,

AEB

易得M尸〃40,BF//DEt

???MR平面AQE,AiOu平面AIDE,

???M尸〃平面4OE,

同理可得BF〃平面AiDE,

又MFCBF=F,MF,B尸u平面BME

???平面3MF〃平面AiOE,

「BMU平面BMF,

???BM〃平面4OE,D選項(xiàng)正確；

又NBFM=NAiDE,

M/=：AiO=定值，B/=OE=定值，

由余弦定理知,

MB2=MF2+8產(chǎn)一IMF-BFcosZMFB,

?,.8M為定值，A選項(xiàng)正確；

，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項(xiàng)正瑜;

〈AC在平面ABCO中的射影在直線AC上，且AC與力E不垂直，

，不存在某個(gè)位置，使DE_L4CC選項(xiàng)錯(cuò)誤.

易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變

的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置

與數(shù)量關(guān)系.

跟蹤演練3（多選）如圖，在矩形A3。中,BC=1,AB=x,3。和AC交于點(diǎn)。，將△84。

沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是（）

A.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得4B_L0C

B.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得4C_L8。

C.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得AB_L平面ACO

D.存在居在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得4C_L平面48。

答案ABC

解析當(dāng)A8=%=1時(shí)，此時(shí)矩形ABC。為正方形，則AC_LBO,

將△84。沿直線翻折，當(dāng)平面48￡>_1平面質(zhì)?。時(shí)，

因?yàn)镺C_L8O,OCU平面BCD,平面ABOn平面8C0=B力，

所以O(shè)UL平面AB。，又ABU平面4B。，

所以AB_LOC,故A正確；

又0C1BD,OALBD,且04n0C=0,0AtOCU平面OAC,

所以8O_L平面OAC,又4CU平面04C,所以ACJ_8。，故B正確；

在矩形4BCO中，A3_LAD,AC=W+/,

所以將△B4。沿直線8。翻折時(shí)，總有4B_LA。，

取x=g,當(dāng)將△84。沿直線B。糊折到AC=孚時(shí)，有Aj^+AC^BC2,

即AB_LAC,且ACAAO=A,AC,4DU平面ACO,則此時(shí)滿足4B_L平面ACO,故C正確;

若AC_L平面ABO,

又AOU平面48Q,則AC_LAO,

所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC=OA相矛盾，故D不正確.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

I.（2022.龍巖質(zhì)檢）已知三條直線a,b,c,若。和。是異面宜線，。和c是異面直線，那么

直線a和c的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行、相交或異面

答案D

解析畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確.

2.（2022?湖北八市聯(lián)考）設(shè)a,尸為兩個(gè)不同的平面，則a〃夕的一個(gè)充要條件可以是（）

A.〃內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行

B.a,4垂直于同一個(gè)平面

C.a,尸平行于同一條直線

D.a,/?垂直于同一條直線

答案D

解析對(duì)于A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行不能得出a〃夕，以內(nèi)的所有直線與萬平行才能得

出，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于