2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講一元二次函數(shù)(方程不等式)(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)

第04講一元二次函數(shù)（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 3高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 4高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 6高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 7角度1：上恒成立（優(yōu)選法） 7角度2：上成立（優(yōu)選法） 7角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） 8角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） 8角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） 8高頻考點五：分式不等式 10高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用 11第四部分：典型易錯題型 13備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。 13備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 13第五部分：新定義題（解答題） 13第一部分：基礎(chǔ)知識1、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點：①函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)是方程的實根.②當(dāng)且()時，恒有()；當(dāng)且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根，()有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2).練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為.2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎希?1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；(2)當(dāng)時，求不等式的解集.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)若，求實數(shù)的值；(2)求不等式的解集.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；(2)若，，解關(guān)于的不等式．高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．角度2：上成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠?！じ咭恍Ｂ?lián)考期中）命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為.角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（

） B． C． D．角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)?？计谥校?）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．(1)當(dāng)時，求；(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┰O(shè)全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)（填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？例題2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數(shù)的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值.練透核心考點1．（2024下·西藏·高一開學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為多少米？第四部分：典型易錯題型備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。1．（2023上·湖南永州·高一校考階段練習(xí)）一元二次不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學(xué)校校考階段練習(xí)）不等式的解集為.第五部分：新定義題（解答題）1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┬》f同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動中，定義了一種運等“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，通過研究發(fā)現(xiàn)新運算滿足交換律：.小穎提出了兩個猜想：，，，①；②.(1)請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯誤，請說明理由；（注：兩個猜想都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分）(2)設(shè)且，，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.第04講一元二次函數(shù)（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 4高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 7高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系 10高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 15角度1：上恒成立（優(yōu)選法） 15角度2：上成立（優(yōu)選法） 16角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法） 16角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法） 17角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法） 17高頻考點五：分式不等式 23高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用 25第四部分：典型易錯題型 28備注：一元二次不等式最高項系數(shù)容易忽略化正。 28備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。 29第五部分：新定義題（解答題） 29第一部分：基礎(chǔ)知識1、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點：①函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)是方程的實根.②當(dāng)且()時，恒有()；當(dāng)且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根，()有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，解一元二次不等式即可，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可解.【詳解】設(shè)，則不等式可化為，解得，所以，解得.故選：A例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.（2）對變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當(dāng)時顯然成立；當(dāng)時，對恒成立，令，則，當(dāng)，即時，所以，即．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】（1）由，得，即，所以，所以不等式的解集為；（2）由，得，則，解得或，所以不等式的解集為或.練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）一元二次不等式的解集為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.【詳解】由可得，即，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：2．（2024上·湖南岳陽·高一?？计谀┮阎坏仁降慕饧癁?，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因為不等式的解集為，則和是方程的兩根，所以，解得，所以不等式為不等式，解得，即集合.（2）因為是成立的必要條件，所以.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎希?1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進(jìn)而根據(jù)并集的運算求解，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得A，分以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】（1）解可得，或，所以，或.當(dāng)時，，所以或.（2）由“”是“”的必要不充分條件，所以，.又或，.當(dāng)，有，即，顯然滿足；當(dāng)時，有，即.要使A，則有或，解得或.綜上所述，或.高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；（2）由題意有，討論、、求不等式解集.【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個根，所以.（2）由題意，當(dāng)時，解得或，故解集為；當(dāng)時，解得，故解集為；當(dāng)時，解得或，故解集為；例題2．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；(2)當(dāng)時，求不等式的解集.【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）直接解二次方程即可得解；（2）分類討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，得，解得或，故的零點為或.（2）因為，當(dāng)時，不等式可化為，解得；當(dāng)時，不等式可化為，又，故解得或；綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)若，求實數(shù)的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，因為，可得，解得.（2）因為，可得，即，當(dāng)時，解得，所以不等式的解集為；當(dāng)時，解得或，所以不等式的解集為，綜上可得，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分類討論解不等式，判斷不可能的解集.【詳解】關(guān)于的不等式，若，不等式為，解得，此時解集為；若，方程，解得或，時，不等式解得或，此時解集為；時，，不等式解得，此時解集為；時，，不等式解集為，時，，不等式解得，此時解集為；所以不等式的解集不可能是.故選：B2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式不等式化簡集合，即可根據(jù)并集的運算求解，（2）根據(jù)包含關(guān)系即可列不等式求解.【詳解】（1）由解得，所以，當(dāng)時，，所以．（2）因為，所以，因為，所以，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為．3．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)(2)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求參數(shù)的值；（2）分解因式，對的值進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】（1）由得函數(shù)對稱軸為：，由.（2）由.當(dāng)時，可得：;當(dāng)時，可得：；當(dāng)時，可得：綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為：；當(dāng)時，原不等式的解集為：當(dāng)時，原不等式的解集為：高頻考點三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用二次不等式的解集得方程的兩根為和，結(jié)合韋達(dá)定理得，從而判斷A，再利用基本不等式計算判斷BCD.【詳解】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因為，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為，所以C錯誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以D正確.故選：ABD例題2．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．【答案】/【分析】由題可得a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，進(jìn)而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.【詳解】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時即，等號成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；（2）將是成立的必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，結(jié)合子集的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因為不等式的解集為，則和是方程的兩根，所以，解得，所以不等式為不等式，解得，即集合.（2）因為是成立的必要條件，所以.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為【答案】AC【分析】利用一元二次不等式、二次函數(shù)、一元二次的關(guān)系求參數(shù)一一判定選項即可.【詳解】由題意可知，所以且，，故A正確，B錯誤；不等式，故C正確；不等式，即，所以或，故D錯誤.故選：AC2．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值；(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集與二次方程的根的關(guān)系可得參數(shù)；（2）這個不等式恒成立，首先討論時，能不能恒成立，其次在時，這是二次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）由題意可知，和3是方程的兩根，且，所以，解得.（2）由題可得，即對一切實數(shù)恒成立，當(dāng)時，不等式化為，不符合題意；當(dāng)時，有解得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.3．（2023上·福建三明·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)．(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；(2)若，，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的解集，借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式計算即得.（2）分類討論解一元二次不等式即得.【詳解】（1）由不等式的解集是，得和是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，于是，解得，，所以，.（2），不等式化為，即，當(dāng)，即時，解不等式，得或；當(dāng)，即時，不等式的解為；當(dāng)，即時，解不等式，得或，所以當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┤舨坏仁降慕饧癁镽，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時需滿足，即，求得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：C例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時，，得，與題意矛盾，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，，所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.故選：A.角度2：上成立（優(yōu)選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠?！じ咭恍Ｂ?lián)考期中）命題：，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，利用判別式求解.【詳解】因為命題：，為真命題，所以不等式在上有解，當(dāng)時，不等式可化為，得，符合題意；當(dāng)時，由題意得，即，解得，結(jié)合，得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：角度3：上恒成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】因為，，則，所以，又，可得，令，則原題意等價于，，即，，當(dāng)時，取到最大值，所以實數(shù)m的取值范圍是．故選：C角度4：上成立（優(yōu)選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】先通過分離參數(shù)得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，則的最小值可求.【詳解】因為在上有解，所以在上有解，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，所以，即的最小值為，故選：B.角度5：已知參數(shù)，求取值范圍（優(yōu)選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）關(guān)于的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)最值問題求解，按系數(shù)符號與軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論求解即可.【詳解】（1）時，函數(shù)，不等式即為，即，解得，∴不等式的解集為.（2）設(shè)，，根據(jù)題意知，在上恒成立，①當(dāng)時，解得，若，則在上單調(diào)遞增，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；②當(dāng)，即時，的圖像為開口向下的拋物線，要使在上恒成立，需，即，解得或，又∵，∴此時無解；③當(dāng)，即或時，的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，∴，解得或，∵，，∴此時無解；（ii）當(dāng)，即或時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，此時無解；（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，∴，解得或，∵，，∴此時無解；綜上，不存在符合題意的實數(shù).練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學(xué)?？计谥校?）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）題目轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式計算最值得到答案.（2）變換得到，計算函數(shù)的最小值得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，有解，即在上有解，又，于是等價于，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)即，即時等號成立，所以所以實數(shù)的取值范圍是（2）當(dāng)時，恒成立．因為，且當(dāng)時有最大值為，所以等價于．在區(qū)間上的最小值為，故只需即可，所以實數(shù)的取值范圍是．2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；（2）由題意得，恒成立，對分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)，，不等式即為，解得或，所以的解集為或．（2）因為，所以不等式可化為，依題意對，恒成立．所以當(dāng)時，，不符合要求；

當(dāng)時，由一元二次函數(shù)性質(zhì)，可知，即，解得，因此實數(shù)的取值范圍是．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.（2）對變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當(dāng)時顯然成立；當(dāng)時，對恒成立，令，則，當(dāng)，即時，所以，即．4．（2024上·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱性和最小值設(shè)頂點式，代入零點即可得到解析式；（2）分和討論即可；（3）通過分離參數(shù)法和基本不等式即可求出的范圍.【詳解】（1）因為對都有，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又因為二次函數(shù)的最小值為，所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又因為是其一個零點，所以，解得，所以的解析式為.（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.（3）因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，即不等式在上有解，所以，記，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4，所以，即，故存在實數(shù)符合題意，所求實數(shù)的取值范圍為.5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域為的奇函數(shù)，（其中為實數(shù)）．(1)求的值；(2)是否存在實數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗證.（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，而，所以符合題意.（2），因為函數(shù)且在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.因為在上單調(diào)遞減.所以設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，所以在上的最小值為，在上的最大值為.所以存在.高頻考點五：分式不等式典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）由題意可得，分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，由可得，解得，則，因此，.（2）解：因為，所以.當(dāng)時，，得，滿足題意；當(dāng)時，則，解得，綜上所述，的取值范圍是.例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┮阎?，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解；（2）由，得到，分，，，討論集合A求解.【詳解】（1）當(dāng)時，集合,，，所以；（2）因為，所以，當(dāng)時，，則，解得，此時；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，則，解得，此時無解；綜上：實數(shù)的取值范圍是.練透核心考點1．（2024上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，分別求出集合、，即可求出；（2）根據(jù)是的充分條件，課確定，然后分和分別確定的取值范圍，再合并在一起.【詳解】（1）由，即解得：，所以.當(dāng)時，，所以.（2）因為是的充分條件，所以.當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，要滿足題意需，解之得：.綜上：實數(shù)的取值范圍為.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┰O(shè)全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的交集運算得解；（2）討論，由建立不等式求解即可.【詳解】（1），，所以.（2）由（1）知，因為，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，則或，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.高頻考點六：一元二次不等式的應(yīng)用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)（填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？【答案】51~59【分析】依據(jù)題意列出不等關(guān)系，解不等式再根據(jù)實際意義即可求出需生產(chǎn)51~59輛摩托車.【詳解】根據(jù)題意可知，轉(zhuǎn)化為不等式，即可得，解得；所以應(yīng)該生產(chǎn)51~59輛摩托車.故答案為：51~59例題2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設(shè)到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數(shù)的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數(shù)）最大？并求出最大值.【答案】(1)，該項目到第4年年底純利潤第一次能達(dá)到232萬元.(2)到第6年年底，該項目年