2024-2025學年高考數(shù)學一輪復(fù)習講義(新高考)第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

二、多選題9．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)，恒有成立，且，則下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個對稱中心 B．C． D．10．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)對于任意實數(shù)，都有成立，當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱C． D．三、填空題11．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.12．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則．四、解答題13．（2024上·福建·高一福建師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)判斷的奇偶性；(2)求不等式的解集.14．（2023·全國·高一隨堂練習）函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點、最大值、最小值；(2)求的值；(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．B能力提升1．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)（）是偶函數(shù)，則（

）A．2023 B．2024 C．2 D．2．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．3．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學校?？计谀┤?，當時，，則.4．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學校?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則；．C綜合素養(yǎng)5．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）如果函數(shù)的定義域為，且存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有恒成立，那么稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”．(1)已知具有“性質(zhì)”，且當時，，求的解析式及在上的最大值；(2)已知定義在上的函數(shù)具有“性質(zhì)”，當時，．若有8個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．6．（2023上·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學?？茧A段練習）對于定義在上的函數(shù)和正實數(shù)若對任意，有，則為階梯函數(shù).(1)分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：①；②.(2)若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對任意，有.若函數(shù)有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為；若時，證明：存在，使得在上有4046個零點，且.第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)得到方程，求出.【詳解】由題意得，即，所以，故，所以，解得.故選：C2．（2024下·上海·高一開學考試）已知函數(shù)，且，那么等于（

）A． B． C．6 D．10【答案】C【分析】令，由可得答案.【詳解】，令，則，即，可得，即.故選：C．3．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】D【分析】通過對已知條件的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)是周期函數(shù).利用函數(shù)周期性轉(zhuǎn)化求值即可.【詳解】因為，所以，且，則，又可得，，故，所以函數(shù)是周期的周期函數(shù)，．故選：D．4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，，則（

）A．0 B． C．2 D．1【答案】B【分析】通過已知計算得出函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，根據(jù)已知得出，即可得出答案.【詳解】函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，，，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，令，則，，故選：B.5．（2023上·山東煙臺·高一校考期末）函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱 C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖像即可判斷.【詳解】根據(jù)如下圖像即可判斷出函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱.故選：C6．（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學?？茧A段練習）函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求值即可.【詳解】設(shè)，因為函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以.故選：A7．（2024下·浙江·高三杭州高級中學校聯(lián)考開學考試）已知是奇函數(shù)，則常數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，且定義域為，所以，解得，此時，，即，滿足奇函數(shù)定義，故選：C8．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)圖象的對稱軸，再結(jié)合單調(diào)性比較大小即得.【詳解】由函數(shù)滿足，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，顯然，，而，在上是增函數(shù)，因此，所以.故選：B二、多選題9．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)，恒有成立，且，則下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個對稱中心 B．C． D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，得到周期，可求函數(shù)值.【詳解】選項A，因為函數(shù)滿足，函數(shù)關(guān)于直線對稱，A錯誤；選項B，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，即，所以，故，函數(shù)是周期為4的函數(shù)，B正確；選項C，，C正確；選項D，，D正確.故選：BCD10．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）已知函數(shù)對于任意實數(shù)，都有成立，當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱C． D．【答案】AC【分析】分析可知，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性可判斷ACD選項，利用函數(shù)對稱性可判斷B選項.【詳解】對任意實數(shù)都有，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當時，，所以，故A選項正確；因為函數(shù)圖象的對稱軸無法確定，所以B選項不正確；由于，故C選項正確；，故D選項不正確．故選：AC．三、填空題11．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】/0.5【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，故，變形后得到，求出答案.【詳解】因為的定義域為R，且為奇函數(shù)，故，即對恒成立，化簡得，故，解得.故答案為：12．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則．【答案】3【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及奇偶性即可求解.【詳解】由可得為周期函數(shù)，且周期為4，又為上的奇函數(shù)，所以，，故答案為：3四、解答題13．（2024上·福建·高一福建師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)判斷的奇偶性；(2)求不等式的解集.【答案】(1)在上是奇函數(shù)(2)【分析】（1）按函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意的定義域為，它關(guān)于原點對稱，且，所以在上是奇函數(shù).（2）由題意，所以，解得，即不等式的解集為.14．（2023·全國·高一隨堂練習）函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點、最大值、最小值；(2)求的值；(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)，.【分析】（1）根據(jù)周期性及已知區(qū)間解析式畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合確定單調(diào)區(qū)間、零點、最值；（2）利用周期性求函數(shù)值即可；（3）由，代入已知解析式，根據(jù)周期性即可得解析式.【詳解】（1）由的周期性及上解析式，得區(qū)間上的圖象如下：

由上圖知：增區(qū)間為，減區(qū)間為；零點為共3個；最大值為1，最小值為0.（2）由題設(shè).（3）令且，則，又，則，即，綜上，在區(qū)間上，.B能力提升1．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)（）是偶函數(shù)，則（

）A．2023 B．2024 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用奇偶函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又是偶函數(shù)，所以，得到或（舍去），得，故選：B2．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意首先得周期為4，由此結(jié)合對數(shù)運算即可進一步求解.【詳解】由是奇函數(shù)，∴，又，∴，所以周期為4．．故選：D.3．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學校?？计谀┤?，當時，，則.【答案】6【分析】先求出是以為周期的周期函數(shù)，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求出結(jié)果即可.【詳解】因為，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，又因為余，故，因為當時，，所以，所以.故答案為：6.4．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學校?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則；．【答案】【分析】在中令，即可得第一空答案；由題意可知的圖象關(guān)于軸對稱，從而得，運用到算式即可得第二空答案．【詳解】在中，令，則有；的圖象關(guān)于直線對稱，則的圖象關(guān)于軸對稱，有，又，則，得，可得，，所以，，，所以．故答案為：；．【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱.C綜合素養(yǎng)如下圖所示：若有8個不同的實數(shù)解，令，則有兩個不等的實數(shù)根，，且，，所以，所以.所以t的取值范圍為.【點睛】思路點睛：第一問，利用是偶函數(shù)，求出的解析式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出最值；第二問，函數(shù)具有“性質(zhì)”，即得圖象關(guān)于對稱，求出的解析式，有8個不同的實數(shù)解，令，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實數(shù)根，，且，，根據(jù)實根分布求解.6．（2023上·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學?？茧A段練習）對于定義在上的函數(shù)和正實數(shù)若對任意，有，則為階梯函數(shù).(1)分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：①；②.(2)若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對任意，有.若函數(shù)有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為；若時，證明：存在，使得在上有4046個零點，且.【答案】(1)①否；②是(2)，(3)證明見解析【分析】（1）利用階梯函數(shù)的定義進行檢驗即可判斷；（2）利用階梯函數(shù)的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）根據(jù)題意得到，，從而取，結(jié)合零點存在定理可知在上有且僅有兩個零點：，，從而得解.【詳解】（1），則；，則，