人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題12.2角平分線中的幾何綜合(壓軸題專項講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題12.2角平分線中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.二、角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB典例分析典例分析【典例1】已知△ABC，AD是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若AD是∠BAC的角平分線．可得到結(jié)論：ABAC小艷的解法如下：過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，過點A作AP⊥BC于點P，∵AD是∠BAC的角平分線，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴__________________∴S△ABD又∵S△ABD∴__________________【類比探究】如圖2，若CD是∠ACB的外角平分線，CD與BA的延長線交于點D．求證：ACBC【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線且相交于點D，若EDCD=4【思路點撥】探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題干中的解題思路求解即可；類比探究：過點D作DN⊥AC交CA延長線于N，過點D作DM⊥BC延長線于M，過點C作CP⊥BD于點P．利用角平分線的性質(zhì)及等面積法證明即可；拓展應(yīng)用：在BC上取點G，使得BG=BE，連接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性質(zhì)及前面的結(jié)論求解即可．【解題過程】探究發(fā)現(xiàn)：解：過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，過點A作AP⊥BC于點P，∵AD是∠BAC的角平分線，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∴S△ABD又∵S△ABD∴ABAC故答案為：DM=DN，ABAC，AB類比探究：證明：過點D作DN⊥AC交CA延長線于N，過點D作DM⊥BC延長線于M，過點C作CP⊥BD于點P．

∵CD平分∠MCN，∴DN=DM．∴S△ACDS△DBC∴ACBC拓展應(yīng)用：在BC上取點G，使得BG=BE，連接DG，

∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD,CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB=1∴∠BDC=120°，∴∠BDE=60°，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDG，∴∠BDE=∠BDG=60°，∴∠BDG=∠CDG=60°∴DG是∠BDC的角平分線由（1）知，DEDC設(shè)BE=4x，BC=7x，則BG=4x，CG=3x，由（1）知BDDC即BDDC學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：①

A．3 B．2 C．1 D．02．（23-24八年級下·山東青島·期中）如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上一點，BE=BA，過點E作EF⊥AB于點F，則下列結(jié)論：①△EBC可由△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正確的為（

）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④3．（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，在下列結(jié)論中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，則S△ABO=2；③當(dāng)∠C=60°時，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④4．（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在△ABC中，BE，CE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列結(jié)論：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，且交于點F．則下列說法中①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若AE=EB，則CE⊥AB；④CD+AE=AC；⑤

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤6．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點D，OD=4，若△ABC的面積為25，則△ABC的周長為．7．（23-24八年級上·四川德陽·期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是．8．（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，且AD=2CD,BC=4EC，連接BD、AE交于點F,∠BAF的平分線交BD于點G，且AB:AF=2:1，若9．（22-23七年級下·福建福州·期末）如圖，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．則在下列結(jié)論中：①∠AMB=36°，②AC=BD，③若OB平分∠AOM，則△OEC≌△OMD，④AO∥BD．正確的結(jié)論有（填序號）

10．（22-23七年級下·福建福州·期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°∠ABC>∠A，角平分線BD、CE交于點O，OF⊥AB于點F．下列結(jié)論；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②

11．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延長線交BD于點F．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）若∠BAC=∠DAE=50°，請直接寫出∠BFC的度數(shù)；（3）連接AF，過點A作AH⊥BD于點H，求證：FA平分∠DFC；（4）線段DH，EF與HF之間的數(shù)量關(guān)系是：________．12．（22-23八年級上·湖北隨州·期中）如圖，△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°．

（1）求證：AE平分∠CAF；（2）直接寫出∠AEB的度數(shù)______；（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求13．（23-24八年級上·北京海淀·階段練習(xí)）已知：在△ABC中，作∠ABC平分線BM，在BM上找一點D，使得DA＝DC，過點D作DE⊥BC，交直線BC于點（1）依題意補全圖形；（2）用等式寫出AB、BC、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）如果把作∠ABC的平分線BM，改為作∠ABC的外角∠PBA的平分線BM，其他條件不變，直接用等式寫出AB、BC、BE之間的數(shù)量關(guān)系．14．（23-24八年級上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，∠CAB和∠CBA的角平分線AF，BD相交點P，∠C=60°．（1）求∠APB；（2）求證：PD=PF；（3）若∠ABC=80°，求證：AP=BC．15．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的角平分線，點F為AE上一點，連接BF，∠BFE=45°．

（1）求證：BF平分∠ABE；（2）連接CF交AD于點G，若SΔABF=（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE=3，AG=4.5時，求線段AB的長．16．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）【問題情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）【初步探究】如圖1，當(dāng)點A，C，D在同一條直線上時，連接BD、AE，延長AE交BD于點F，則AE與BD的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)點A、C、D不在同一條直線上時，連接AE交DC于點H，連接BD交AE于點F，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么？（3）【衍生拓展】如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG的大小固定嗎？若固定，求出∠AFG的度數(shù)；若不固定，請說明理由．17．（23-24八年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE交于點O．

圖1

圖2（1）如圖1，若∠A=60°．①求∠BOC的度數(shù)；②作OF⊥AB于點F，探究AE、AD、AF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB=18．（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點G．

（1）如圖1，求∠BGC的度數(shù)；（2）如圖2，求證：EG=FG；（3）如圖3，過點C作CD⊥EC交BF延長線于點D，連接AD，點N在BA延長線上，連接NG交AC于點M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長．19．（22-23八年級下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于點E，CD平分∠ACB，交AB于點D，BE與CD交于點O．（1）如圖1，求證：∠BOC=90°+1

（2）如圖2，連接OA，求證：OA平分∠BAC．

（3）如圖3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC

20．（22-23八年級上·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC（1）如圖1，當(dāng)點E在線段AB上時，求證：BC=（2）如圖2，當(dāng)點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN=60°，連接BD，作∠ABD的平分線BP交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG專題12.2角平分線中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.二、角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB典例分析典例分析【典例1】已知△ABC，AD是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若AD是∠BAC的角平分線．可得到結(jié)論：ABAC小艷的解法如下：過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，過點A作AP⊥BC于點P，∵AD是∠BAC的角平分線，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴__________________∴S△ABD又∵S△ABD∴__________________【類比探究】如圖2，若CD是∠ACB的外角平分線，CD與BA的延長線交于點D．求證：ACBC【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線且相交于點D，若EDCD=4【思路點撥】探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題干中的解題思路求解即可；類比探究：過點D作DN⊥AC交CA延長線于N，過點D作DM⊥BC延長線于M，過點C作CP⊥BD于點P．利用角平分線的性質(zhì)及等面積法證明即可；拓展應(yīng)用：在BC上取點G，使得BG=BE，連接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性質(zhì)及前面的結(jié)論求解即可．【解題過程】探究發(fā)現(xiàn)：解：過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，過點A作AP⊥BC于點P，∵AD是∠BAC的角平分線，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∴S△ABD又∵S△ABD∴ABAC故答案為：DM=DN，ABAC，AB類比探究：證明：過點D作DN⊥AC交CA延長線于N，過點D作DM⊥BC延長線于M，過點C作CP⊥BD于點P．

∵CD平分∠MCN，∴DN=DM．∴S△ACDS△DBC∴ACBC拓展應(yīng)用：在BC上取點G，使得BG=BE，連接DG，

∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD,CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB=1∴∠BDC=120°，∴∠BDE=60°，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDG，∴∠BDE=∠BDG=60°，∴∠BDG=∠CDG=60°∴DG是∠BDC的角平分線由（1）知，DEDC設(shè)BE=4x，BC=7x，則BG=4x，CG=3x，由（1）知BDDC即BDDC學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：①

A．3 B．2 C．1 D．0【思路點撥】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)OP平分∠AOB可知PE=PF，結(jié)合OP=OP即可證明△POE≌△POF．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得∠MPE=∠NPF、∠PEM=∠【解題過程】解：如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∴∠EPF+∵∠MPN+∴∠EPF=∴∠EPM=∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F∴PE=PF．在△POE和△POF中PE=PF，OP=OP，∴Rt△POE≌∴OE=OF．在△PEM和△PFN中∠MPE=∴△PEM≌△PFN(ASA∴EM=NF，PM=PN，S∴S四邊形∴OM+ON=OE+ME+OF?NF=2OE=定值，故②正確．故選：C．2．（23-24八年級下·山東青島·期中）如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上一點，BE=BA，過點E作EF⊥AB于點F，則下列結(jié)論：①△EBC可由△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正確的為（

）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．可證△ABD≌△EBC，所以△EBC可由△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)而得到；由△ABD≌△EBC可得∠BCE=∠BDA，∠BCD=∠ADE，因為∠BDA+∠ADE=180°，等量代換∠BCE+∠BCD=180°；因為BE=BA，所以∠BAE=∠BEA=12(180°?∠ABE)，因為∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=12(180°?∠DBC)，∠BDC=∠ADE，所以∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，即∠ADE=∠AED=12(180°?∠ABE)，因為∠DAE=180°?2∠AED，可得∠ABE=∠DAE；過E作EM⊥BC，可證Rt【解題過程】解：∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBC，∵BD=BC，BE=BA，∴△ABD≌△EBCSAS∴△EBC可由△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)而得到，故①符合題意，∴∠BCE=∠BDA，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，∴∠BCD=∠ADE，∵∠BDA+∠ADE=180°，∴∠BCE+∠BCD=180°，故②符合題意，∵BE=BA，∴∠BAE=∠BEA=1∵∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=1∴∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，∴∠ADE=∠AED=1∵∠DAE=180°?2∠AED，∴∠ABE=∠DAE，故③符合題意，過E作EM⊥BC，交BC延長線于點M，

，∵BD為△ABC的角平分線，∴EF=EM，∵△ABD≌△EBC，∴CE=DA，∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CE=AE，∴Rt∴AF=CM，∵EF=EM，BE=BE，∴Rt∴BF=BM，∴BA+BC=BF+AF+BM?CM=BF+AF+BF?AF=2BF，故④符合題意，故選：B．3．（22-23七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，在下列結(jié)論中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，則S△ABO=2；③當(dāng)∠C=60°時，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【思路點撥】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進而判定①；過O點作OP⊥AB于P，由角平分線的性質(zhì)可求解OP=1，再根據(jù)三角形的面積公式計算可判定②；在AB上取一點H，使BH=BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，進而判定③正確；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，根據(jù)三角形的面積可證得④正確．【解題過程】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA=12∠CBA∴∠AOB=180°?∠OBA?∠OAB=180°?1過O點作OP⊥AB于P，

∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，∴OP=OD=1，∵AB=4，∴S△ABO∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∵AE，BF分別是∠BAC與∠ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA=1∴∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，∴∠BOE=60°，如圖，在AB上取一點H，使BH=BE，

∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO=∠EBO，在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBO∴△HBO≌△EBOSAS∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠AOH=180°?60°?60°=60°，∴∠AOH=∠AOF，在△HAO和△FAO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∴△HAO≌△FAOASA∴AF=AH，∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正確；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，OD⊥BC，∴ON=OH=OD=a，∵AB+AC+BC=2b，∴S△ABC故選：C．4．（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在△ABC中，BE，CE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列結(jié)論：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【思路點撥】由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得∠BDC=12∠BAC，進而判定①；由角平分線的定義及平角的定義可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可判定②；利用角平分線的定義可判定③；由角平分線的性質(zhì)及判定可得AD為△ABC外角∠MAC【解題過程】解：∵AB∴∠ACD=∠BAC，∠ABC=∠DCF，∵BE平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD=∠DCF=1∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=1∴1∴∠BDC=1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，∵AB∴∠CDB=∠ABD∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正確；∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC∵∠BDC=1∴∠CAB=∠CBA，故③正確；過點D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于G，DH⊥BM于H，如圖，

∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC，∴DN=DG∵BD平分∠ABC，DG⊥AC，DH⊥BM，∴DN=DH∴DG=DH∴AD為△ABC外角∠MAC的平分線，∴∠DAM=∠DAC=∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，∴∠DAC=∠CBD+∠BCE∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE∴∠ADB=∠BCE，∵AB∥∴∠ABC=∠DCF，∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°即∠ADB+∠ABC=90°，故④正確．故選：C．5．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，且交于點F．則下列說法中①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若AE=EB，則CE⊥AB；④CD+AE=AC；⑤

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【思路點撥】由∠ABC=60°，得∠DAC+∠ECA=12∠BAC+∠ACB=60°，則∠AFC=120°，可判斷①正確；作DG⊥AB于點G，DH⊥AC于點H，則DG=DH，因為AB與AC不一定相等，S△ABD與S△ADC不一定相等，可判斷②錯誤；延長CE到點K，使KE=CE，連接BK，可證明△BKE≌△ACE，得∠K=∠ACE,BK=AC，而∠BCE=∠ACE，所以∠BCE=∠K，則BK=BC，所以AC=BC，則CE⊥AB，可判斷③正確；在AC上截取AL=AE，連接FL，可證明△ALF≌△AEF，得∠AFL=∠AFE=60°，則∠CFL=∠CFD，再證明△FLC≌△FDC，得CL=CD，則CD+AE=CL+AL=AC，可判斷④正確；由④可得△ALF≌△AEF，【解題過程】解：∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°?∠ABC=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠DAC=1∴∠DAC+∠ECA=1∴∠AFC=180°?∠DAC+∠ECA故①正確；如圖1，作DG⊥AB于點G，DH⊥AC于點H，則DG＝

∵AB與AC不一定相等，∴12AB?DG與即：S△ABD與S故②錯誤；如圖1，延長CE到點K，使KE=CE，連接BK，在△BKE和△ACE中，KE=CE∠BEK=∠AEC∴△BKE≌△ACESAS∴∠K=∠ACE,BK=AC，∵∠BCE=∠ACE，∴∠BCE=∠K，∴BK=BC，∴AC=BC，∴CE⊥AB，故③正確；如圖2，在AC上截取AL=AE，連接FL，∵∠AFC=120°，∴∠AFE=∠CFD=180°?∠AFC=60°，在△ALF和△AEF中，AL=AE∠AEF=∠EAF∴△ALF≌△AEFSAS∴∠AFL=∠AFE=60°，∴∠CFL=∠AFC?∠AFL=60°，∴∠CFL=∠CFD，在△FLC和△FDC中，∠LCF=∠DCFCF=CF∴△FLC≌△FDCASA∴CL=CD，∴CD+AE=CL+AL=AC，故④正確；由④可得，△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，

∵S△ALF∴S△AEFS△FDC故⑤正確，正確的結(jié)論為①③④⑤，故選：D．6．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點D，OD=4，若△ABC的面積為25，則△ABC的周長為．【思路點撥】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，過點O作OE⊥AB，垂足為E，過點O作OF⊥AC，垂足為F，連接AO，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OD=OE=OF=4，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：過點O作OE⊥AB，垂足為E，過點O作OF⊥AC，垂足為F，連接AO，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OD=OE=4，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OD=OF=4，∵△ABC的面積為25，∴△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積=25，∴12∴AB·OE+BC·OD+AC·OF=50，∴4AB+BC+AC∴AB+BC+AC=12.5，∴△ABC的周長為12.5，故答案為：12.5．7．（23-24八年級上·四川德陽·期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是．【思路點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，利用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積可得PK=PL=PH=2，根據(jù)△OMN的面積+△PMN的面積=△POM的面積+△PON的面積，進行計算即可求出OM+ON=10，進而得到△OMN的周長，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，∴PL=PH，PK=PH，∴PL=PK，∵MN=2，△PMN的面積=1∴PH=2，∴PK=PL=2，∵△POM的面積=12OM·PL，△PON∴△OMN的面積+△PMN的面積=△POM的面積+△PON的面積=1∴12∴OM+ON=10，∴△OMN的周長=OM+ON+MN=10+2=12，故答案為：12．8．（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，且AD=2CD,BC=4EC，連接BD、AE交于點F,∠BAF的平分線交BD于點G，且AB:AF=2:1，若【思路點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積比，連接CF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點G到AB,AF的距離相等，則可得△ABG的面積，再根據(jù)AD=2CD，求得△CFB的面積，根據(jù)BC=4EC求得△BFE和△CEF的面積，即可求得△ABC的面積，最后求得△CDF的面積，即可求得四邊形CDFE的面積，即可解答，熟練根據(jù)底邊之比進行三角形面積的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：如圖，連接CF，∵∠BAF的平分線交BD于點G，∴點G到AB,AF的距離相等，∵AB:AF=2:1，∴S∵△AGF的面積為4，∴S∴S∵AD=2CD，∴S∴S即S△ABF∴S∵BC=4EC，∴S△FEC=∴S∵3∴S∴S∴S∴陰影部分的面積為32故答案為：1769．（22-23七年級下·福建福州·期末）如圖，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．則在下列結(jié)論中：①∠AMB=36°，②AC=BD，③若OB平分∠AOM，則△OEC≌△OMD，④AO∥BD．正確的結(jié)論有（填序號）

【思路點撥】由題意易證△AOC≌△BODSAS，即得出∠A=∠B，AC=BD，故②正確；結(jié)合∠OEA=∠MEB，即可求出∠AMB=∠AOB=36°，故①正確；由角平分線的定義可知∠AOB=∠BOM，從而可證∠COD=∠BOM，進而可證∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”證明△OEC≌△OMD故③正確；過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥BD于點H，易證△AOG≌△BOHAAS，即得出OG=OH，說明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假設(shè)AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，從而可求出∠AMD=144°，進而可證OB平分∠AOM．因為不確定OB平分∠AOM，【解題過程】解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴∠A=∠B，AC=BD，故②正確；∵∠OEA=∠MEB，∴∠AMB=180°?∠B?∠MEB=180°?∠A?∠OEA=∠AOB=36°，故①正確；∵若OB平分∠AOM，∴∠AOB=∠BOM．∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠COD=∠BOM，∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．∵△AOC≌△BOD，∴∠D=∠C．又∵OD=OC，∴△OEC≌△OMDASA如圖，過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥BD于點H，在△AOG和△BOH中，∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBH∴△AOG≌△BOHAAS，∴OG=OH，∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假設(shè)AO∥BD成立，∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，∴∠AMD=180°?∠AMB=144°，∴∠AMO=∠DMO=1∴∠AOM=180°?∠MAO?∠AMO=72°，∴∠EOM=∠AOM?∠AOB=36°，∴∠AOB=∠EOM，即OB平分∠AOM．∵不確定OB平分∠AOM，∴AO∥BD不一定成立，故④錯誤．故答案為：①②③．10．（22-23七年級下·福建福州·期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°∠ABC>∠A，角平分線BD、CE交于點O，OF⊥AB于點F．下列結(jié)論；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②

【思路點撥】過點O作OG⊥BC于點G，由角平分線的性質(zhì)定理可得OF=OG，然后結(jié)合三角形面積公式即可判斷結(jié)論①；首先求得∠BOE=60°，假設(shè)∠ABC=80°，則∠OBA=40°，可求得∠EOF=10°，再根據(jù)∠ABC?∠A=20°，即可判斷結(jié)論②；在BC上截取BM=BE，連接OM，分別證明△BOE≌△BOM和△COD≌△COM，由全等三角形的性質(zhì)可得CD=CM，即可判斷結(jié)論③；由全等三角形的定義和性質(zhì)易得S△BOE=S△BOM，【解題過程】解：如下圖，過點O作OG⊥BC于點G，

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，OG⊥BC，∴OF=OG，∴S△BOC故結(jié)論①正確；∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180?∠A=120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=1∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=1設(shè)∠ABC=80°，則∠OBA=1∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°?∠OBA=50°，∴∠EOF=∠BOE?∠BOF=60°?50°=10°，又∵∠ABC?∠A=80°?60°=20°，∴∠EOF≠∠ABC?∠A，故結(jié)論②錯誤；在BC上截取BM=BE，連接OM，

在△BOE和△BOM中，BE=BM∠OBE=∠OBM∴△BOE≌△BOM(SAS∴OE=OM，∠BOM=∠BOE=60°，∵∠COD=∠BOE=60°，∠COM=180°?∠BOE?∠BOM=60°，∴∠COD=∠COM，∴在△COD和△COM中，∠OCD=∠OCMOC=OC∴△COD≌△COM(ASA∴CD=CM，∴BE+CD=BM+CM=BC，故結(jié)論③正確；∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE=S∴S△BOE∴S四邊形故結(jié)論④正確．綜上所述，結(jié)論正確的為①③④．故答案為：①③④．11．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延長線交BD于點F．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）若∠BAC=∠DAE=50°，請直接寫出∠BFC的度數(shù)；（3）連接AF，過點A作AH⊥BD于點H，求證：FA平分∠DFC；（4）線段DH，EF與HF之間的數(shù)量關(guān)系是：________．【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“邊角邊”證明三角形全等即可；（2）根據(jù)△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再利用∠BFC=180°?(∠BCF+∠ABD+∠ABC)，將∠ACE=∠ABD代入，即得答案；（3）過點A作AG⊥CF于點G，利用面積法證明AG=AH，再根據(jù)角平分線的判定定理，即可證明結(jié)果；（4）先證明△AGE≌△AHD，得到GE=HD，再證明△AGF≌【解題過程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠EAC=∠DAB，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ACE≌（2）∠BFC=50°；理由如下：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠BAC=130°，∵△ACE≌∴∠ACE=∠ABD，∴∠BFC=180°?(∠BCF+∠ABD+∠ABC)=180°?(∠BCF+∠ACE+∠ABC)=180°?(∠ACB+∠ABC)=180°?130°=50°；（3）過點A作AG⊥CF于點G，∵△ACE≌∴CF=BD，S△ACE∵AH⊥BD，∴1∴AG=AH，∴FA平分∠DFC；（4）EF+DH=FH；理由如下：∵△ACE≌∴∠AEG=∠ADH，又∵∠AGE=∠AHD=90°，∴△AGE≌∴GE=HD，∴EF+DH=EF+GE=FG，∵∠AGF=∠AHF=90°，AG=AH，∴△AGF≌∴FG=FH，∴EF+DH=FH．12．（22-23八年級上·湖北隨州·期中）如圖，△ABC中，點D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°．

（1）求證：AE平分∠CAF；（2）直接寫出∠AEB的度數(shù)______；（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求【思路點撥】（1）過E點分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證得EM=EN，進而可證明結(jié)論；（2）設(shè)∠ABE=x，分別表示出∠BAC=80°?2x，∠CAE=x+50°，求出∠BAE=130°?x，再利用三角形內(nèi)角和定理計算；（3）利用三角形的面積公式可求得EM的長，再利用三角形的面積公式計算可求解．【解題過程】（1）解：∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°?100°=80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°?50°=40°，∴∠ACE=80°?40°=40°；過E點分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，

∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF；（2）設(shè)∠ABE=x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2x，∵∠ACH=∠ACE+∠ECD=80°，∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=80°?2x，∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF，∴∠CAE=1∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=80°?2x+x+50°=130°?x，∴∠AEB=180°?∠BAE?∠ABE=180°?130°?x故答案為：50°；（3）∵AC+CD=14，S△ACD=21，∴S即12解得EM=3，∵AB=8.5，∴S13．（23-24八年級上·北京海淀·階段練習(xí)）已知：在△ABC中，作∠ABC平分線BM，在BM上找一點D，使得DA＝DC，過點D作DE⊥BC，交直線BC于點（1）依題意補全圖形；（2）用等式寫出AB、BC、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）如果把作∠ABC的平分線BM，改為作∠ABC的外角∠PBA的平分線BM，其他條件不變，直接用等式寫出AB、BC、BE之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意畫出圖形即可；（2）過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得DE=DF；根據(jù)斜邊及另一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解；（3）過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得DE=DF；根據(jù)斜邊及另一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解．【解題過程】（1）解：依題意補全圖形如下：（2）解：AB=2BE?BC．證明：過點D作DF⊥AB于點F，如圖：∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DF，∵AD=CD，∴Rt△ADF∴AF=CE，∵DE=DF，BD=BD，∴Rt△BDF∴BF=BE，∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE?BC=2BE?BC．（3）解：AB=BC+2BE．證明：過點D作DF⊥AB于點F，如圖：∵BM是∠ABC外角的角平分線，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DF，∵AD=CD，∴Rt△ADF∴AF=CE，∵DE=DF，BD=BD，∴Rt△BDF∴BF=BE，∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC．14．（23-24八年級上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，∠CAB和∠CBA的角平分線AF，BD相交點P，∠C=60°．（1）求∠APB；（2）求證：PD=PF；（3）若∠ABC=80°，求證：AP=BC．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB=12∠CAB，∠PBA=（2）過P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PH=PG，再證∠PGD=∠PHF，∠DPG=∠FPH，根據(jù)ASA證明△PDG≌△PFH即可得（3）作∠CBD的平分線交AC于點N，由AF平分∠CAB，BD和平分∠CBA，BN平分∠CBD，可得∠PAD=∠CBN=20°．易證∠DPA=∠C=60°，由等邊對等角可得DA=DB，BD=BN，由此得DA=BN，根據(jù)AAS可證△APD≌△CBN，因此可得【解題過程】（1）∵AF，BD分別平分∠CAB和∠CBA，∴∠PAB=12∠CAB∴∠APB=180°?(∠PAB+∠PBA)=180°?=180°?=120°．（2）

如圖，過P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分別平分∠CAB和∠CBA，∴PE=PG，PE=PH，∴PH=PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC=∠PHC=90°，∴∠GPH=360°﹣∴∠GPH=∠APB=120°=∠DPF，∴∠DPG=∠FPH，在△PDG和△PFH中，∠PGD=∠PHFPG=PH∴△PDG≌∴PD=PF．（3）

如圖，作∠CBD的平分線交AC于點N，則∠CBN=∠DBN=1∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=1∵BN平分∠CBD，∴∠CBN=∠DBN=1∵△ABC中，∠ABC=80°，∠C=60°，∴∠CAB=180°﹣∵AF平分∠CAB，∴∠DAP=∠PAB=1∴∠CBN=∠DAP，∴∠DPA=∠PAB+∠PBA=20°+40°=60°，∴∠DPA=∠C，∵∠CAB=∠ABD=40°，∴AD=BD，∵∠BDC=∠CAB+∠ABD=80°，∴∠ANB=∠C+∠CBN=60°+20°=80°，∴∠ANB=∠BDC，∴BD=BN，∴AD=BN，在△APD和△BCN中，∠PAD=∠CBN∠APD=∠C∴△APD≌∴AP=BC．15．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的角平分線，點F為AE上一點，連接BF，∠BFE=45°．

（1）求證：BF平分∠ABE；（2）連接CF交AD于點G，若SΔABF=（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE=3，AG=4.5時，求線段AB的長．【思路點撥】（1）根據(jù)AE是∠BAD的角平分線和∠BFE=45°得2∠FBA+2∠BAF=90°，再結(jié)合AD為BC邊上的高得出∠EBF=∠FBA即可證明；（2）過點F作FM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥AB于點N，證明△ABF?△CBF，得出∠AFB=∠CFB，再根據(jù)∠BFE=45°，解出∠AFB=∠CFB=135°即可證明；（3）根據(jù)△ABF?△CBF及AD為BC邊上的高證明△AFG?△CFE，得出AG=EC=4.5，再根據(jù)BE＝3，解得BC=BE+EC=7.5，結(jié)合△ABF?△CBF即可求出【解題過程】（1）證明：∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°，∴∠FBA+∠BAF=45°.∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵AD為BC邊上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.∴∠EBF=∠FBA.

∴BF平分∠ABE.（2）過點F作FM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥AB于點N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，∴FM=FN.∵S∴AB=BC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=BC∴△ABF?△CBF(SAS)，∴∠AFB=∠CFB，∵∠BFE=45°，∴∠AFB=∠CFB=135°，∴∠AFC=90°，（3）∵△ABF?△CBF，∴AF=FC，∠AFC=90°，∴∠AFC=∠EFC，∵AD為BC邊上的高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD+∠AEC=∠FCE+∠AEC，∴∠EAD=∠FCE.在△AFG和△CFE中，∠EAD=∠FCE∴△AFG?△CFE（∴AG=EC=4.5，∵BE＝∴BC=BE+EC=7.5，∵△ABF?△CBF，∴AB=BC=7.5.16．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）【問題情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）【初步探究】如圖1，當(dāng)點A，C，D在同一條直線上時，連接BD、AE，延長AE交BD于點F，則AE與BD的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)點A、C、D不在同一條直線上時，連接AE交DC于點H，連接BD交AE于點F，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么？（3）【衍生拓展】如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG的大小固定嗎？若固定，求出∠AFG的度數(shù)；若不固定，請說明理由．【思路點撥】（1）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由對頂角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，證明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以【解題過程】（1）證明：如圖1，

在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠ECD=90°∴△ACE≌△BCDSAS∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AE⊥BD；故答案為：AE=BD,AE⊥BD；（2）解：成立，證明：如圖2，

∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD；（3）∠AFG=45°，如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S∵S∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．17．（23-24八年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE交于點O．

圖1

圖2（1）如圖1，若∠A=60°．①求∠BOC的度數(shù)；②作OF⊥AB于點F，探究AE、AD、AF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB=【思路點撥】①利用三角形內(nèi)角和及角平分線的定義求出即可；②過點O作OM⊥AC于點M，ON⊥BC于點N，連接AO，證明△OEF≌△ODMAAS，得到EF=DM．再證明Rt△AFO≌Rt（2）在BC取點G、F，使BF=BA，CG=CD，過F作FM⊥BD于M，F(xiàn)N⊥OG于N，先證明△OCD≌△OCG，得出S△OCD=S△OCG，∠COD=∠GOC，OD=OG，同理S△BOE=S△BOF，∠BOE=∠BOF，由ODOB=47，得出S△OCDS△OCB=4【解題過程】（1）解：①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB②過點O作OM⊥AC于點M，ON⊥BC于點N，連接AO．

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，ON⊥BC，∴OF=ON，∠OFA=90°．∵CE平分∠ACB，OM⊥AC,ON⊥BC，∴ON=OM，∠OMA=∠OMD=90°．∴OF=OM，∠OFE=∠OMD．由（1）得：∠BOC=120°．∴∠EOD=∠BOC=120°．在四邊形AEOD中，∠AEO+∠ADO=360°?∠EAD?∠EOD=360°?60°?120°=180°．∵∠AEO+∠FEO=180°，∴∠OEF=∠ODA．在△OEF和△ODM中，∠OEF=∠ODM,∴△OEF≌△ODMAAS∴EF=DM．在Rt△AFO和RtAO=AO,∴Rt△AFO≌∴AF=AM．∴AE+AD=AF?EF+AM+MD=2AF．（2）解：在BC取點G、F，使BF=BE，CG=CD，過F作FM⊥BD于M，F(xiàn)N⊥OG于N，

∵BD平分∠ABC，∴∠OCD=∠OCG，又CG=CD，OC=OC，∴△OCD≌△OCG，∴S△OCD=S△OCG，同理S△BOE=S∵ODOB∴S△OCD設(shè)S△OCD=4x，則∴S△OCD∴S△BOG在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?90°=90°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB∴∠COD=∠BOE=45°，∴∠GOC=∠BOF=45°，∴∠GOF=45°=∠BOF，又FM⊥BD，F(xiàn)N⊥OG，∴FM=FN，∴S△OFG∴S△OEB∴OEOC∵OE=kOC，∴k=OE18．（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點G．

（1）如圖1，求∠BGC的度數(shù)；（2）如圖2，求證：EG=FG；（3）如圖3，過點C作CD⊥EC交BF延長線于點D，連接AD，點N在BA延長線上，連接NG交AC于點M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長．【思路點撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12（2）作GH平分∠BGC交BC于點H，證明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，證明△CGF≌（3）作DP⊥BC交BC延長線于點P，作DQ⊥AB交BA延長線于點Q，作DR⊥AC于點R，證明CD平分∠ACP，根據(jù)DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根據(jù)BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，證明DR=DQ，證明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，證明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于點L，F(xiàn)K⊥CG于點K，GW⊥MC于點W，根據(jù)S△MGF=1【解題過程】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∵∠BAC=60°∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．（2）解：作GH平分∠BGC交BC于點H，如圖所示：

∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌∴FG=