2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講數(shù)列求和(知識(shí)+真題+10類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 5高頻考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消求和法（等差型）） 5高頻考點(diǎn)二：裂項(xiàng)相消求和法（無理型：形如） 8高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和法（指數(shù)型：形如） 11高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和法 15高頻考點(diǎn)五：分組求和法形如（形如） 19高頻考點(diǎn)六：分組求和法形如（形如） 22高頻考點(diǎn)七：倒序相加求和法 27高頻考點(diǎn)八：通項(xiàng)含絕對值求和 29第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.公式法(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式;(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.①②③④⑤3.錯(cuò)位相減求和法:錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．4.分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法:即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.第二部分：高考真題回顧1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列an前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．2．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消求和法（等差型））典型例題例題1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.例題2．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)的前n項(xiàng)和，且對于任意，都有恒成立，求m的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（23-23高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，其前n項(xiàng)和為，若，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值，并求出相應(yīng)的n值；(3)設(shè)，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（24-25高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an(3)若，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，求．高頻考點(diǎn)二：裂項(xiàng)相消求和法（無理型：形如）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.例題2．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）設(shè)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{}滿足），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，且，則[]=.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，當(dāng)時(shí)，.2．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）我們定義為數(shù)列的“特別數(shù)”．現(xiàn)已知數(shù)列的“特別數(shù)”為，則．高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2023·河北保定·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足：，求．2．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，其中.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和法典型例題例題1．（23-24高二下·安徽馬鞍山）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．例題2．（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川自貢·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（23-24高二下·海南·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.高頻考點(diǎn)五：分組求和法形如（形如）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東·期末）在公差為3的等差數(shù)列中，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．例題2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川宜賓·期末）已知數(shù)列滿足：，點(diǎn)在直線上．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．高頻考點(diǎn)六：分組求和法形如（形如）典型例題例題1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足對任意的成立．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：當(dāng)時(shí)，．例題2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)數(shù)列an中，，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”和對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心．若，則函數(shù)的對稱中心為；．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;(2)若，求；高頻考點(diǎn)八：通項(xiàng)含絕對值求和典型例題例題1．（24-25高三上·湖北·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（24-25高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）在遞減等比數(shù)列中，，公比為，且，2是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 5高頻考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消求和法（等差型）） 5高頻考點(diǎn)二：裂項(xiàng)相消求和法（無理型：形如） 8高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和法（指數(shù)型：形如） 11高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和法 15高頻考點(diǎn)五：分組求和法形如（形如） 19高頻考點(diǎn)六：分組求和法形如（形如） 22高頻考點(diǎn)七：倒序相加求和法 27高頻考點(diǎn)八：通項(xiàng)含絕對值求和 29第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.公式法(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式;(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.①②③④⑤3.錯(cuò)位相減求和法:錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．4.分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法:即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.第二部分：高考真題回顧1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列an前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.2．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用退位法可求an（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：裂項(xiàng)相消求和法（等差型））典型例題例題1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】（1）利用公式，消去，得到關(guān)于數(shù)列an得到遞推關(guān)系式，即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，再證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題設(shè)，解得，因?yàn)棰?，所以，?dāng)時(shí)，②，所以，①②得：，即，因?yàn)椋?，所以，所以，?shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.所以；（2）由（1）知：，所以.例題2．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)的前n項(xiàng)和，且對于任意，都有恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】（1）由求公式解方程得出數(shù)列an（2）由裂項(xiàng)相消法求出，再由單調(diào)性結(jié)合恒成立條件確定m的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，則，解得，即.（2）由題意得，所以，即.練透核心考點(diǎn)1．（23-23高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，其前n項(xiàng)和為，若，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值，并求出相應(yīng)的n值；(3)設(shè)，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，最小；的最小值為(3)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）由已知條條件推導(dǎo)出，解得，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的的性質(zhì)，令，得的取值情況，從而得的最小值；（3）化簡，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求解前n項(xiàng)和即可．【詳解】（1）令數(shù)列公差為，由及，得，解得，．（2）令，即，得．又為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，最?。淖钚≈禐椋?）∵，∴.2．（24-25高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an(3)若，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可；（2）應(yīng)用前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式關(guān)系計(jì)算即可；（3）先求等差數(shù)列的和，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以是首?xiàng)為公比為的等比數(shù)列.（2）,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,（3）因?yàn)?所以，,高頻考點(diǎn)二：裂項(xiàng)相消求和法（無理型：形如）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】變形給定的等式，利用數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．例題2．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）設(shè)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{}滿足），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，且，則[]=.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和【分析】由的關(guān)系可推出{}為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式代入，利用放縮法及裂項(xiàng)相消法可求出的范圍，即可得解.【詳解】由可得，兩式相減得：，化簡得，又由正項(xiàng)數(shù)列{}可知，，所以，又，解得所以{}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，故，，，又，，,.故答案為：5練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知數(shù)列，當(dāng)時(shí)，.【答案】99【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和【分析】裂項(xiàng)相消求和，再解方程即可.【詳解】，則.解得.故答案為：99.2．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）我們定義為數(shù)列的“特別數(shù)”．現(xiàn)已知數(shù)列的“特別數(shù)”為，則．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、數(shù)列新定義【分析】根據(jù)“特別數(shù)”的概念可得，利用相減法求得數(shù)列通項(xiàng)，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得結(jié)論即可.【詳解】由于為數(shù)列的“特別數(shù)”，又?jǐn)?shù)列的“特別數(shù)”為，所以，則①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①減去②可得：，又符合該式，所以，則，所以.故答案為：.高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2023·河北保定·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）結(jié)合題意，利用與的關(guān)系式及等比數(shù)列的概念即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，化簡得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列an所以；（2）由（1）知，所以，所以.例題2．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，然后由已知條件列方程組求出，從而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，解得；（2）由（1）可知，.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足：，求．【答案】(1)，(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差和首項(xiàng)后，即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解；（3）利用裂項(xiàng)相消法即可得解．【詳解】（1）設(shè)an公差為d，bn公比為∵，，∴，解得或，∵，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∵，，∴，，解得，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）根據(jù)題意，，則，①，②①-②：，所以；（3）根據(jù)題意，，則.2．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，其中.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）首先求出，再計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）可得，則，利用錯(cuò)位相減法求和即可；（3）由（2）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可說明，再判斷的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，則①，，①②得，所以；（3）由（2）可得，所以，又，所以數(shù)列單調(diào)遞增，所以，綜上可得．高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和法典型例題例題1．（23-24高二下·安徽馬鞍山）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用的關(guān)系式即可得出數(shù)列是等比數(shù)列，即可得；（2）由（1）即可得，再利用錯(cuò)位相減法即可求出.【詳解】（1）由，得，①當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，．②，得，即，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；所以．（2）由，得，則，，兩式相減得，所以．例題2．（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用數(shù)列的遞推式作差可得，從而得解；（2）由（1）求得，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，所以，所以，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2）設(shè)，則，故.，兩式作差得，即，所以.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川自貢·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，即可解出，則可寫出其通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合第（1）問，即可求得；（3）利用錯(cuò)位相減，化簡解可得出答案.【詳解】（1）設(shè)公差為d，中，令得，又，則，解得，故；（2）；（3），則①，故②，故①－②得，故．2．（23-24高二下·海南·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系求解即可；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減的方法求和即可.【詳解】（1），.當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，.數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，.（2），，，兩式相減得，，即.高頻考點(diǎn)五：分組求和法形如（形如）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東·期末）在公差為3的等差數(shù)列中，，數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)分組求和法可求的前項(xiàng)和．【詳解】（1）∵等差數(shù)列滿足，公差為3，所以，所以，則，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，，∴所以?，所以例題2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式求出公比及即可得出通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，利用分組求和得解.【詳解】（1）∵等比數(shù)列an滿足，∴，∴，∴，又．∴，∴.（2）由（1）知，∴

=.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·四川宜賓·期末）已知數(shù)列滿足：，點(diǎn)在直線上．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義求通項(xiàng)公式；（2）分組求和法求前項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線，所以，即．所以an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為3．于是，．（2）因?yàn)椋?．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列新定義、分組（并項(xiàng)）法求和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）由“生成數(shù)列”的定義證明即可；（2）由分組求和求解即可.【詳解】（1）由題意可知，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．（2）當(dāng)時(shí)，．，又，，當(dāng)時(shí)，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．當(dāng)時(shí)，又符合上式，所以．高頻考點(diǎn)六：分組求和法形如（形如）典型例題例題1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足對任意的成立．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】（1）根據(jù)得到首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到，先得到當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，作差法得到當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，再考慮當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，作差法得到當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或0，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，故，①，當(dāng)時(shí)，②，則①-②得，故，因?yàn)?，所以，則，則的公差為1，則，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故通項(xiàng)公式為；（2），，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，．例題2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項(xiàng)數(shù)列an中，，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等差中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】（1）利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)可得數(shù)列為等比數(shù)列，從而得解；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）成等差數(shù)列，，即，而，為等比數(shù)列，又，得.（2），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】（1）根據(jù)題意，利用得，進(jìn)而得，再把兩式相減得，然后因式分解解方程可得，從而由等差數(shù)列的定義得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）為了確定第項(xiàng)的符號(hào)，對進(jìn)行分類，然后每相鄰兩項(xiàng)分一組，利用平方差公式因式分解，從而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到答案.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以，兩式相減可得，整理得，即.因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，且，所以，則，即，所以數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列，即，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)成立，則.（2）由（1）知.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.2．（23-24高二上·山東臨沂·期末）已知為等差數(shù)列，，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的方程組，列式求解；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與的關(guān)系，利用分組轉(zhuǎn)化的方法，即可求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，整理得，解得；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，上式也成立；.高頻考點(diǎn)七：倒序相加求和法典型例題例題1．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前16項(xiàng)的和為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16項(xiàng)的和.【詳解】，①，②兩式相加，又因?yàn)?，故，所以，所以的?6項(xiàng)的和為故答案為：例題2．（23-24高三·全國·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.【答案】11【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.【詳解】因，設(shè)，則，故.故答案為：11練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)