2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2三、填空題11．（2024高三·全國·專題練習）若不等式xex－exlnx＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為．12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍．四、解答題13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)求證：對，恒成立．14．（23-24高二上·陜西榆林·開學考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，證明：當時，.15．（2024·湖南邵陽·二模）設函數(shù).(1)求的極值；(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.B能力提升1．（2022·全國·模擬預測），對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（）A．8 B．6 C．5 D．22．（23-24高二下·湖南永州·開學考試）若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·山西運城·期末）若對任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為．5．（23-24高二下·云南·開學考試）已知函數(shù)，對任意且，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質．①在上的導數(shù)存在；②在上的導數(shù)存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質？并說明理由．(2)設、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(3)設且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．第04講利用導數(shù)研究不等式恒成立問題(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習）若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，不等式對任意實數(shù)x都成立，只需，用導數(shù)法求出，即可求解.【詳解】,當時，，當時，，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，所以取得極小值，也是最小值，，不等式對任意實數(shù)x都成立，所以.故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，意在考查邏輯推理、數(shù)學運算能力，屬于基礎題.2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）函數(shù)，若恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0.【詳解】，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴，∴.故選：C.3．（22-23高三上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的幾何意義，得函數(shù)圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，即函數(shù)的導數(shù)大于1在內恒成立，可得在內恒成立，利用二次函數(shù)的性質可求.【詳解】因為的幾何意義，表示點與點連線斜率，∵實數(shù)，在區(qū)間內，不等式恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導數(shù)大于1在內恒成立，∴在內恒成立，由函數(shù)的定義域知，，所以在內恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調遞減函數(shù)，故，∴，∴．故選：A.4．（22-23高二下·廣東揭陽·階段練習）已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用分類討論、構造函數(shù)求最值和二次函數(shù)的性質，求解實數(shù)的取值范圍【詳解】當時，，由，可得，設，可得，時，，在上單調遞增，可得，，即；當時，，故的解為或，時，要滿足恒成立，只需滿足，即．綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為．故選：C．5．（2024高三·全國·專題練習）若，恒成立，則實數(shù)的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，就、分類討論后可得，利用導數(shù)可求.【詳解】設，則，當時，，故在上為增函數(shù)，而，故當時，即，這與題設矛盾.當時，當時，，在上為增函數(shù)，當時，，在上為減函數(shù)，故，故，故，設，則且恒成立，當時，，在上為增函數(shù)，當時，，在上為減函數(shù)，故，故即，此時，故選：D.6．（2024高三·全國·專題練習）若，恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A． B．1C． D．【答案】C【分析】設，就、分類討論后可求實數(shù)的最大值.【詳解】設，則，當時，，故為上的增函數(shù)，此時當時，，故不恒成立，舍；當時，恒成立，符合要求；當時，當時，，故在上為減函數(shù)；當時，，故在上為增函數(shù)；故，故，故實數(shù)的最大值，故選：C.7．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數(shù)，若對，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對不等式作等價變形，構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調性建立不等式，再分離參數(shù)求解即得.【詳解】函數(shù)，，，令，顯然函數(shù)在上單調遞增，而不等式為，因此，，令函數(shù)，求導得，當時，，遞增，當時，，遞減，因此，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再由分類討論即可得解.【詳解】由，得，令，則，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，所以，滿足題意；當時，則存在，使得，且當，，函數(shù)單調遞減，所以，故不恒成立，綜上所述，的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可得，利用導數(shù)結合分類討論解決恒成立問題.【詳解】若恒成立，則恒成立，構建，則，∵，故，則有：當，即時，則當時恒成立，故在上單調遞增，則，即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；當，即時，令，則，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，構建，則當時恒成立，故在上單調遞減，則，∵，故滿足的整數(shù)；綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.故選：ABC.10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對稱性，再結合導數(shù)判斷單調性，根據(jù)對稱性和單調性得出答案.【詳解】因為，所以，即函數(shù)的圖象關于直線對稱.當時，為增函數(shù)；令，則，時，，，所以，所以為增函數(shù)，所以當時，為增函數(shù).由對稱性可知，當時，為減函數(shù).因為恒成立，所以恒成立，即，解得.故選：BCD.三、填空題11．（2024高三·全國·專題練習）若不等式xex－exlnx＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為．【答案】5【詳解】由題意可知xex－exlnx＋ex＞mx，即x－lnx＋1＞恒成立．令f(x)＝x－lnx＋1，f′(x)＝1－＝.當x∈(0，1)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．∴當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極小值，即最小值，f(x)min＝f(1)＝2.令g(x)＝，則g′(x)＝＝，當x∈(0，1)時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減．∴當x＝1時，函數(shù)g(x)取得極大值，即最大值，g(x)max＝g(1)＝.∴{f(x)－mg(x)}min＝f(1)－mg(1)＝2－＞0，得m＜2e∈(5，6)，∴正整數(shù)m的最大值為5.12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意知，令，求出即可.【詳解】由題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，從而得對任意的恒成立，設，，則，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故答案為:.四、解答題13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)求證：對，恒成立．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)判斷單調性即可；（2）由（1）得函數(shù)的最小值，再利用換元法即可證明；【詳解】（1），令，則；令，則．所以的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，即，令，代入可得，即，所以對，恒成立．14．（23-24高二上·陜西榆林·開學考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，證明：當時，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論即可得解；（2）構造函數(shù)，利用二次導數(shù)，結合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.【詳解】（1）因為的定義域為，所以，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，令，得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，，令，則，令，則，因為，所以，所以當時，恒成立，所以在上單調遞減，即在上單調遞減，所以，所以在上單調遞減，所以，即.【點睛】結論點睛：恒成立問題：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．15．（2024·湖南邵陽·二模）設函數(shù).(1)求的極值；(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求導，判斷函數(shù)單調性即可確定極值;（2）分離參數(shù)并構造新函數(shù)，求導，判斷函數(shù)單調性求出最小值即可求解.【詳解】（1）.令，得，令，得.故在單調遞減，在單調遞增.在處取得極小值，無極大值.（2）對恒成立，即對恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調遞增，故在上單調遞增且.當時，單調遞減；當時，單調遞增..故，故的最大值為.B能力提升1．（2022·全國·模擬預測），對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】B【分析】將在上恒成立，轉化為在上恒成立求解.【詳解】由在上恒成立，可得，即在上恒成立，只需求出的最小值，的最大值.設，則，∴在上單調遞減，得.再設，易得在上單調遞減，∴，故有.若存在，則必有，即，又，且n為整數(shù)，故滿足要求，的整數(shù)都不成立，故整數(shù)n的最大值為4，最小值為2，∴最大值與最小值之和為6.故選：B.2．（23-24高二下·湖南永州·開學考試）若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】A【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉化為在上單調遞增，利用導數(shù)可求得單調性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調遞增，所以，令，則,當時，，此時在上單調遞增；當時，，此時在上單調遞減；所以，故.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關系的比較問題，通過構造函數(shù)的方式，將問題轉化為函數(shù)在區(qū)間內單調的問題.3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分，，三種情況討論，將恒成立問題分參轉化為最值問題，借助導數(shù)及函數(shù)的性質計算即可.【詳解】當時，不等式恒成立；當時，此時，即，即對任意恒成立，令在上單調遞減，則，故.當時，此時，即，即，對任意恒成立，令，其中，則，令，則，所以在上單調遞減，又，要使在恒成立，則在恒成立，即在恒成立，令，則在上單調遞減，，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結合導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值.4．（23-24高二上·山西運城·期末）若對任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為．即在上恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質．①在上的導數(shù)存在；②在上的導數(shù)存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質？并說明理由．(2)設、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(3)設且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上具有性質；(2)存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質，的取值范圍是；(3)的最大值為.【分析】（1）令，按照題目所給定義，求出和，并判斷是否恒成立即可；（2）先利用為奇函數(shù)且在處取得極值求出實數(shù)，的值，再按照題目所給定義，求出，即可求出的取值范圍；（3）分離參數(shù)得，構造函數(shù)，通過的最小值，即可確定正整數(shù)的最大值.【詳解】（1）令，，則，，，，當時，恒成立，∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質；