2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講基本不等式(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

B．，則的最小值是C．，則的最小值是1D．的最小值為910．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．若且，則 D．三、填空題11．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為12．（2024上·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四、解答題13．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）近年來，“無廢城市”、“雙碳”發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經(jīng)濟(jì)的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺對廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用某企業(yè)響應(yīng)政策號召，引進(jìn)了一個把廚余垃圾加工處理為某化工產(chǎn)品的項(xiàng)目已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾成本單位：元與日加工處理廚余垃圾量單位：噸之間的函數(shù)關(guān)系可表示為：.(1)政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以元的補(bǔ)助，當(dāng)日處理廚余垃圾的量在什么范圍時企業(yè)不虧損(2)當(dāng)日加工處理廚余垃圾量為多少噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低14．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。鐓^(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是，且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè).現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：工程1：在點(diǎn)處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.記這三項(xiàng)工程的總造價為億元.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)問點(diǎn)在何處時，最小，并求出該最小值.B能力提升1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．8 D．163．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．4．（2024上·江西上饒·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若對任意實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.C綜合素養(yǎng)5．（2023上·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）某天數(shù)學(xué)課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：例：求函數(shù)的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.提示：基本不等式，(1)老師請你模仿例題，研究函數(shù)的最小值；(2)求函數(shù)的最小值；(3)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.6．（2024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時滿足下列兩個性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，求數(shù)列的最小項(xiàng)；(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；(3)若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．第03講基本不等式(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)時，的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，故的最小值為2．故選：C．2．（2024上·廣東潮州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】D【分析】利用基本不等式求解可得答案.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為，故選：D.3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.4．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C5．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】不等式對任意恒成立，則，成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因此的最小值為.故選：B．7．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.【詳解】，則有，可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為4.故選：B8．（2024上·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.【詳解】由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，解得，顯然A正確，故選：A二、多選題9．（2024上·河南安陽·高一林州一中?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．，則的最小值是2B．，則的最小值是C．，則的最小值是1D．的最小值為9【答案】BD【分析】根據(jù)選項(xiàng)式子的特點(diǎn)，利用函數(shù)單調(diào)性或者基本不等式可得答案.【詳解】對于A，當(dāng)時，，A不正確；對于B，，令，則，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以的最小值是，B正確；對于C，令，由得，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以的最小值是，C不正確；對于D，由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，D正確.故選：BD.10．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．若且，則 D．【答案】ACD【分析】由已知條件，利用基本不等式驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)論是否正確.【詳解】時有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，A選項(xiàng)正確；，等號成立的條件是，即，顯然不能成立，故的等號取不到，B選項(xiàng)錯誤；若且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立，C選項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D選項(xiàng)正確；故選：ACD三、填空題11．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為【答案】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故答案為：12．（2024上·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】分離參數(shù)得恒成立，即，然后結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以不等式恒成立，只需即可.故答案為：四、解答題13．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）近年來，“無廢城市”、“雙碳”發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經(jīng)濟(jì)的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺對廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用某企業(yè)響應(yīng)政策號召，引進(jìn)了一個把廚余垃圾加工處理為某化工產(chǎn)品的項(xiàng)目已知該企業(yè)日加工處理廚余垃圾成本單位：元與日加工處理廚余垃圾量單位：噸之間的函數(shù)關(guān)系可表示為：.(1)政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以元的補(bǔ)助，當(dāng)日處理廚余垃圾的量在什么范圍時企業(yè)不虧損(2)當(dāng)日加工處理廚余垃圾量為多少噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低【答案】(1)(2)噸【分析】（1）利用題中所給解析式，分兩段討論；（2）當(dāng)時，由函數(shù)單調(diào)性求得最值，當(dāng)時，由基本不等式求得最值，得解．【詳解】（1）法一：當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，解得，綜上：當(dāng)時，該企業(yè)不虧損；法二：由已知得，由得，或，綜上：當(dāng)時，該企業(yè)不虧損；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，“”當(dāng)且僅當(dāng)“”成立綜上：當(dāng)日加工處理廚余垃圾量為噸時，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低．14．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大?。?，社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是，且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè).現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：工程1：在點(diǎn)處修建一座造價0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價為億元；工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價為1億元.記這三項(xiàng)工程的總造價為億元.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)問點(diǎn)在何處時，最小，并求出該最小值.【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)滿足時，最小，最小值為億元.【分析】（1）由直角三角形地塊全部修建為面積至少和直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.（2）由題意可得，由基本不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚貕K全部修建為面積至少的濕地公園，所以，解得：直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，所以，解得：,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）依題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.所以當(dāng)點(diǎn)滿足時，最小，最小值為億元.B能力提升1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.【詳解】因?yàn)榧辞?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，即，解得，故的取值范圍?故選：A2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．8 D．16【答案】D【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】變形為，令，則轉(zhuǎn)化為，即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，可知.故選：D3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)榍?，若恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．(3)【分析】（1）根據(jù)新定義可得，求解即可；（2）根據(jù)新定義可得，求解即可；（3）根據(jù)新定義可得，求解即可．【詳解】（1），，知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值；（2）由，，知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值6；（3）由，，知；當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值.6．（2024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時滿足下列兩個性質(zhì)：①；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若，求數(shù)列的最小項(xiàng)；(2)若，記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；(3)若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)．【答案】(1)最小項(xiàng)為(2)數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析．(3)證明見解析【分析】（1）利用，結(jié)合三個數(shù)的算術(shù)平均不小于它