2024-2025學年高中數學第二章函數2.1生活中的變量關系學案含解析北師大版必修1VIP

PAGE其次章函數§1生活中的變量關系內容標準學科素養(yǎng)1.了解生活中兩個變量之間的依靠關系現象．2.了解生活中兩個變量之間的函數關系現象．3.能辨析依靠關系和函數關系的區(qū)分和聯系.精確數學概念加強邏輯推理提升數學運算授課提示：對應學生用書第15頁[基礎相識]學問點一依靠關系eq\a\vs4\al(預習教材P23－25，思索并完成以下問題)某人坐摩天輪一圈用時8分鐘．若摩天輪勻速轉動，則他的海拔高度與摩天輪轉動時間有依靠關系嗎？當他位于摩天輪一半高度時，摩天輪轉了多少分鐘？提示：該人的海拔高度與摩天輪轉動時間有依靠關系．當他位于摩天輪一半高度時，摩天輪轉了2分鐘或6分鐘．學問梳理依靠關系一般地，在某改變過程中有兩個變量，假如其中一個變量的值發(fā)生了改變，另一個變量的值也會隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個變量具有依靠關系．學問點二函數關系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)某人坐摩天輪一圈用時8分鐘．若摩天輪勻速轉動，若把摩天輪的轉動時間t當自變量，他的海拔高度h為因變量，則每取一個t值，有幾個h值與之對應？提示：每取一個t值，有唯一一個h值與之對應．學問梳理函數關系一般地，當變量x每取一個值，另一個變量y總有唯一確定的值與之對應時，變量x、y之間具有函數關系，并且y是x的函數．學問點三依靠關系與函數關系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)在學問點二的思索中，h是t的函數嗎？t是h的函數嗎？h，t有依靠關系嗎？提示：h是t的函數；t不是h的函數；h，t有依靠關系．(2)某天的感冒人數與天氣之間的關系是函數關系嗎？提示：某天的感冒人數與天氣之間有肯定的依靠關系，但不是函數關系，因感冒人數除與天氣有關外還與個人的體質、所處環(huán)境等有關．學問梳理依靠關系與函數關系一般地，函數關系肯定是依靠關系，而依靠關系不肯定是函數關系．要確定變量的函數關系，需先分清誰是自變量，誰是因變量．[自我檢測]1．下列各量間不存在依靠關系的是()A．扇形的圓心角與它的面積 B．某人的體重與其飲食狀況C．水稻的畝產量與施肥量 D．某人的衣著價格與視力答案：D2．一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；圖中與這件事正好吻合的圖像是(其中x軸表示時間，y軸表示路程)()解析：騎著車一路勻速行駛，此時函數圖像為遞增的直線，在途中遇到一次交通堵塞，則這段時間與家的距離必為肯定值，故應選圖像A.答案：A3．給出下列關系：①人的年齡與他(她)擁有的財寶之間的關系；②拋物線上的點與該點坐標之間的關系；③橘子的產量與氣候之間的關系；④某同學在6次考試中的數學成果與他的考試號之間的關系．其中不是函數關系的有________(填序號)．解析：①③中兩者存在依靠關系，但不是函數關系，②中兩者是函數關系；④中兩者不存在依靠關系，更不是函數關系．答案：①③④授課提示：對應學生用書第16頁探究一依靠關系與函數關系的辨析[例1]下列各組中兩個變量之間是否存在依靠關系？其中哪些是函數關系？①球的體積和它的半徑；②速度不變的狀況下，汽車行駛的路程與行駛時間；③家庭收入愈多，其消費支出也有增長的趨勢；④正三角形的面積和它的邊長．[解析]①中球的體積V與半徑r間存在V＝eq\f(4,3)πr3的關系；②中在速度不變的狀況下，行駛路程s與行駛時間t之間存在正比例關系；③中家庭收入與其消費支出間存在依靠關系，但具有不確定性；④中正三角形的面積S與其邊長a間存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的關系．綜上可知①②③④中兩個變量間都存在依靠關系，其中①②④是函數關系．方法技巧推斷兩個變量有無依靠關系，主要看其中一個變量改變時，是否會導致另一個變量隨之改變．而推斷兩個具有依靠關系的變量是否具有函數關系，關鍵是看兩個變量之間的關系是否具有確定性，即考察對于一個變量的每一個值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對應．跟蹤探究1.下列過程中，各變量之間是否存在依靠關系？若存在依靠關系，則其中哪些是函數關系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，視察溫度計示數的改變，冷卻時間與溫度計示數的關系；(2)家庭的食品支出與電視價格之間的關系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系．解析：(1)冷卻時間與溫度計示數具有依靠關系，依據函數定義知，二者之間是函數關系(一一對應)；(2)家庭的食品支出與電視價格之間沒有依靠關系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依靠關系，且具有確定性，是函數關系(一一對應)．綜上可知，(1)(3)中的變量間具有依靠關系，且是函數關系；(2)中兩個變量不存在依靠關系．探究二變量關系的表示[例2]聲音在空氣中傳播的速度簡稱音速，試驗測得音速與氣溫的一些數據如下表：氣溫x/℃05101520音速y(米/秒)331334337340343(1)依據表內數據作圖，由圖可看出變量________隨________的改變．(2)用x表示y的關系式為________．(3)氣溫為22℃[答案](1)音速氣溫(2)y＝eq\f(3,5)x＋331(3)1721方法技巧本類題目主要考查學生接受信息及學問的遷移實力．解答此類題目的關鍵在于借助變量間的圖像，分析實際問題中所隱含的東西，然后結合已學學問加以綜合分析，從而把問題解決．跟蹤探究2.心理學家發(fā)覺，學生對概念的接受實力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間有如下關系：(其中0≤x≤20)提出概念所用時間(x)257101213141720對概念的接受實力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)當提出概念所用時間是10分鐘時，學生的接受實力是多少？(3)依據表格中的數據，你認為提出概念幾分鐘時，學生的接受實力最強？(4)從表格中可知，當時間x在什么范圍內時，學生的接受實力逐步增加？當時間x在什么范圍內時，學生的接受實力逐步降低？解析：(1)畫出圖如圖所示：反映了提出概念所用的時間x和對概念接受實力y兩個變量之間的關系；其中x是自變量，y是因變量．(2)由題中表格可知，當提出概念所用時間為10分鐘時，學生接受實力是59.(3)由題中表格可知，提出概念所用的時間為13分鐘時，學生的接受實力最強．(4)當x在2分鐘至13分鐘的范圍內時，學生的接受實力逐步增加；當x在13分鐘至20分鐘的范圍內時，學生的接受實力逐步降低.授課提示：對應學生用書第16頁[課后小結]1．依靠關系和非依靠關系在某改變過程中有兩個變量，假如其中一個變量的值發(fā)生了改變，另一個變量的值也會隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個變量具有依靠關系．在某改變過程中有兩個變量，假如其中一個變量的值發(fā)生了改變，另一個變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個變量具有非依靠關系．2．函數關系假如變量x，y具有依靠關系，對于其中一個變量x的每一個值，另一個變量y都有唯一確定的值時，那么稱變量y是變量x的函數，即這兩個變量之間具有函數關系．3．借助圖表可使兩個變量間的關系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)覺規(guī)律．[素養(yǎng)培優(yōu)]對變量關系理解不透致誤易錯案例：下列關系是函數關系的是()A．乘坐出租車時，所付車費和乘車距離的關系B．某同學學習時間與其學習成果的關系C．人的睡眠質量與身體狀況的關系D．樹木的高度與土壤的關系易錯分析：對改變過程中的兩個量，假如其中一個變量的值發(fā)生了改變，另一個變量的值也會隨之改變，則這兩個變量存在依靠關系，進一步說，假如這兩個的值的改變存在一一對應，就構成了函數關系．關鍵在理解依靠關系和