2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學案新人教A版

2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)必備學問預案自診學問梳理1.根式(1)根式的概念:式子na叫做根式,n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)(2)根式的性質(zhì):當n為奇數(shù)時,nan=a;當n為偶數(shù)時,n2.實數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras=(a>0,r,s∈Q).

②(ar)s=(a>0,r,s∈Q).

③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).

(3)無理數(shù)指數(shù)冪一般地,無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α為無理數(shù))是一個的實數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪.

3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)0<a<1a>1圖象定義域R值域(0,+∞)性質(zhì)(1)過定點(0,1),即x=0時,y=1(2)減函數(shù)(2)增函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象過三個定點:(1,a),(0,1),-12.y=ax(a>0,且a≠1)的圖象特征:如圖(a1>a2>a3>a4),不論是a>1,還是0<a<1,在第一象限內(nèi)圖象越高,底數(shù)越大;在其次象限內(nèi)圖象越高,底數(shù)越小.3.當a>0,且a≠1時,函數(shù)y=ax與函數(shù)y=1ax的圖象關(guān)于y軸對稱.考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)4(π-4)4=π-(2)nan與(na)n都等于a(n∈N*).((3)(-1)24=(-1)12=(4)函數(shù)y=3·2x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù).()(5)若am>an,則m>n.()2.(2024山東試驗中學月考,3)已知12m<12n<1,則有()A.m>n>0 B.0>m>nC.n>m>0 D.0>n>m3.(2024廣東廣州模擬,4)已知函數(shù)f(x)=12x,則不等式f(a2-4)>f(3a)的解集為()A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)4.(2024天津卷,6)設(shè)a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,則a,b,A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b5.若函數(shù)y=(a2-1)x在R上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是.

關(guān)鍵實力學案突破考點指數(shù)冪的化簡與求值【例1】(1)化簡416x8y4(x<0,y<A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y(2)14-12·(4ab解題心得指數(shù)冪運算的一般原則:(1)有括號的先算括號里面的,沒有括號的先做指數(shù)運算.(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號,底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù),底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù).(4)若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答.(5)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負指數(shù).對點訓練1化簡下列各式:(1)a3b23a(2)-278

-23+(0.002)-12-10(5-2)-考點指數(shù)函數(shù)的圖象及其應用(多考向探究)考向1指數(shù)函數(shù)型圖象的判別【例2】(2024安徽馬鞍山二模,理7)已知函數(shù)f(x)=ex-e-xx2,則f解題心得1.畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),-1,1a.2.已知函數(shù)解析式推斷其圖象一般是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,再結(jié)合一些特殊點,推斷所給的圖象是否符合,若不符合則解除.對點訓練2函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖象大致是()考向2指數(shù)函數(shù)圖象的應用【例3】(1)若函數(shù)y=|3x-1|的圖象與直線y=m有兩個不同交點,則實數(shù)m的取值范圍是.

(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是.

解題心得1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)圖象的應用問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、對稱變換而得到.特殊地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應留意分類探討.2.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.對點訓練3(1)(2024安徽蒙城月考,4)已知0<a<1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的圖象必定不經(jīng)過()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限(2)函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0(3)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是.

變式發(fā)散1若本例(1)的條件變?yōu)?方程3|x|-1=m有兩個不同實根,則實數(shù)m的取值范圍是.

變式發(fā)散2若本例(1)的條件變?yōu)?函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象不經(jīng)過其次象限,則實數(shù)m的取值范圍是.

考點指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用(多考向探究)考向1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用【例4】(1)(2024湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,則()A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a(2)若x0是方程12x=x13的解,則x0屬于區(qū)間(A.23,1 B.12,2C.13,12 D.0,1解題心得比較兩個指數(shù)冪大小時,盡量化同底或同指,當?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時,構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大小;當指數(shù)相同,底數(shù)不同時,構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù),利用圖象比較大小;當?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時,可以利用中間值比較.對點訓練4(1)(2024全國1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a(2)當x∈(-∞,-1]時,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2)考向2解簡潔的指數(shù)方程或指數(shù)不等式【例5】(1)不等式12

x2-3<2-2(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(12)

x-7,x<0,xA.(-∞,-3) B.(1,+∞)C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)解題心得解決簡潔的指數(shù)方程或不等式的問題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性:(1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x);(2)af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0<a<1時,等價于f(x)<g(x).對點訓練5(1)已知函數(shù)f(x)=a+14x+1的圖象過點1,-310,若-16≤f(x)≤0,則實數(shù)x的取值范圍是(2)方程4x+|1-2x|=11的解為.

考向3指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合【例6】(1)函數(shù)f(x)=a+bex+1(a,b∈R)是奇函數(shù),且圖象經(jīng)過點ln3,12,則函數(shù)f(x)的值域為(A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-3,3) D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]時恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

解題心得指數(shù)函數(shù)的綜合問題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問題,應在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點是單調(diào)性,留意利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.對點訓練6(1)函數(shù)y=12

x2+2A.(-∞,4) B.(0,+∞)C.(0,4] D.[4,+∞)(2)函數(shù)y=14x-12x+1在x∈[-3,2]上的值域是.

【例1】若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是()A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)答案D解析不等式2x(x-a)<1可變形為x-a<12x.在同一平面直角坐標系內(nèi)作出直線y=x-a與y=12x的圖象.由題意,在(0,+∞)上,直線有一部分在曲線的下方.由圖可知,-a<1,所以a>-1.【例2】已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案D解析因為f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等價于2x>x+1,在同始終角坐標系中作出y=2x和y=x+1的圖象.如圖,兩函數(shù)圖象的交點坐標為(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解為x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)必備學問·預案自診學問梳理2.(1)③0(2)①ar+s②ars③arbr(3)確定考點自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.A因為指數(shù)函數(shù)y=12x在R上單調(diào)遞減,所以由12m<12n<1=120,得m>n>0,故選A.3.B因為函數(shù)f(x)=12x在R上單調(diào)遞減,所以由不等式f(a2-4)>f(3a),得a2-4<3a,解得-1<a<4,故選B.4.D∵b=13-0.8=30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,∴5.(-2,-1)∪(1,2)由y=(a2-1)x在R上為減函數(shù),得0<a2-1<1,∴1<a2<2,解得1<a<2或-2<a<-1.關(guān)鍵實力·學案突破例1(1)D(2)85(1)416x8y4=(16x8y4)14=[24·(-x=24×14·(-x)=2(-x)2(-y)=-2x2y.(2)原式=2×對點訓練1解(1)原式=(a3b2a1(2)原式=-278

-23+1500

-12-105-2+1=-827

23+50012-10(5+例2A函數(shù)的定義域為{x|x≠0},故解除B,由函數(shù)的解析式易得f(x)=-f(-x),則函數(shù)為奇函數(shù),故解除C,D,故選A.對點訓練2A由題知f(x)=1-e|x|是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,故解除B,D,又e|x|≥1,則f(x)≤0,故解除C,故選A.例3(1)(0,1)(2)[-1,1](1)如圖,函數(shù)y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,而直線y=m的圖象是平行于x軸的一條直線.如圖所示,由圖象可得,假如曲線y=|3x-1|與直線y=m有兩個公共點,則m的取值范圍是(0,1).(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示.由圖象可得,若|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則-1≤b≤1.故b的取值范圍是[-1,1].對點訓練3(1)A(2)D(3)0,12(1)因為0<a<1,b<-1,則函數(shù)y=ax+b的大致圖象如圖.由圖象可知,y=ax+b的圖象必定不經(jīng)過第一象限.故選A.(2)由圖象知f(x)是減函數(shù),所以0<a<1,又由圖象在y軸上的截距小于1,則a-b<1,即-b>0,所以b<0.故選D.(3)①當0<a<1時,y=|ax-1|的圖象如下圖,因為y=2a與y=|ax-1|的圖象有兩個交點,所以0<2a<1.所以0<a<12②當a>1時,y=|ax-1|的圖象如下圖,而此時直線y=2a不行能與y=|ax-1|的圖象有兩個交點.綜上,a的取值范圍是0,12.變式發(fā)散1(0,+∞)作出函數(shù)y=3|x|-1與y=m的圖象如圖所示,數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0,+∞).變式發(fā)散2(-∞,-1]作出函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象如圖所示.由圖象知m≤-1,即m∈(-∞,-1].例4(1)B(2)C(1)因為y=0.3x是減函數(shù),所以0.30.3>0.30.4,即c<b<1,而ab=0.40.30.3=430.3>1,即a>b,則a>b>c,(2)設(shè)f(x)=12x-x13,f(0)=1>0,f13=12

13-13

13,由冪函數(shù)y=x13單調(diào)遞增,得f13=12

13-13

13>0;f12=12

12-12

13,由指數(shù)函數(shù)y=12x單調(diào)遞減,得f12=12對點訓練4(1)B(2)D(1)因為a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20=1,所以a<c<b.故選B.(2)∵(m2-m)·4x-2x<0在區(qū)間(-∞,-1]上恒成立,∴m2-m<12x在區(qū)間(-∞,-1]上恒成立.∵y=12x在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,∴當x∈(-∞,-1]時,y=12x≥2,∴m2-m<2,解得-例5(1){x|x>3,或x<-1}(2)C(1)∵12

x2-3<∴12

x2-3<1∵y=12x在R上單調(diào)遞減,∴x2-3>2x,解得x>3或x<-1,故不等式解集為{x|x>3,或x<-1}.(2)當a<0時,不等式f(a)<1可化為12a-7<1,則12a<8,即12a<12-3,因為y=12x在定義域內(nèi)是減函數(shù),所以a>-3,則-3<a<0;當a≥0時,不等式f(a)<1可化為a<1,所以0≤a<1.故實數(shù)a的取值范圍是(-3,1),故選C.對點訓練5(1)0,12(2)x=log23(1)∵f(x)=a+14x+1的圖象過點1,-310,∴a+15=-310,解得a=-12,即f(x∵-16≤f(x)≤∴-16≤∴13∴2≤4x+1≤3,即1≤4x≤2,∴0≤x≤12(2)當x≥0