山西省朔州市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

山西省朔州市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點(diǎn)，在線段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點(diǎn)的位置而定3．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.84．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④6．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.8．據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞9．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.11．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題12．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點(diǎn)與直線平行的直線的方程是________.14．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則______15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點(diǎn)，且，則p的值為______16．已知圓錐的母線長為cm，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為____cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處的切線與軸平行（1）求的值；（2）判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由18．（12分）已知命題p：點(diǎn)在橢圓內(nèi)；命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（12分）某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，全年級(jí)學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為36人，請估計(jì)該校高三學(xué)生的人數(shù)20．（12分）年月初，浙江杭州、寧波、紹興三地相繼爆發(fā)新冠肺炎疫情．疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開始生產(chǎn)口罩，并且對(duì)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量按指標(biāo)測試分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于的為合格品，否則為不合格品，現(xiàn)隨機(jī)抽取件口罩進(jìn)行檢測，其結(jié)果如表：測試分?jǐn)?shù)數(shù)量（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司生產(chǎn)口罩的不合格率；（2）若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產(chǎn)口罩中抽取件，再從這件口罩中隨機(jī)抽取件，求這件口罩全是合格品的概率21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計(jì)產(chǎn)品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對(duì)該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.2、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因?yàn)樵谥比庵?，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，所以∥.因?yàn)槠矫鎯?nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面∥平?又因?yàn)镻點(diǎn)在線段上，所以∥平面.故選：B.3、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A4、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B6、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，則，由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，故.故選：B.7、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D8、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C9、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因?yàn)?，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，?dāng)時(shí)，，故故選：B10、C【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C11、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以命題為假命題因?yàn)椋悦}為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B12、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，而點(diǎn)在直線上，于是得，解得，所以所求的直線的方程為.故答案為：14、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故答案為：215、3【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設(shè)，，，則，∵，所以，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，取..故答案為：3.16、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線長為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由，可得，令，，，，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【小問1詳解】解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；【小問2詳解】由，可得，令，，所以，①當(dāng)時(shí)，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上單調(diào)遞增，又因?yàn)間（0）=0，所以g（x）在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，所以h′（x）=2cosxex＜0，即h（x）在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，h（π）=-eπ-1＜0，所以存在，，所以g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋琯（π）=-π＜0，所以g（x）在上且只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列不等式組求解（2）判斷的真假性后分別求解【小問1詳解】由題意得，解得且故m的取值范圍是【小問2詳解】∵為假命題，∴p和q都是真命題，對(duì)于命題q，由題意得：恒成立，∴，∴，∴，解得故m的取值范圍是19、（1）（2）人【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，結(jié)合，即可求得的值；（2）由頻率分布直方圖求得落在區(qū)間內(nèi)的概率，進(jìn)而求得該校高三年級(jí)的人數(shù)【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，可得，又由，可得解得；【小問2詳解】解：由頻率分布直方圖可得，成績落在區(qū)間內(nèi)的概率為，則該校高三年級(jí)的人數(shù)為（人）20、（1）；（2）.【解析】（1）由題意知分?jǐn)?shù)小于的產(chǎn)品為不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分層抽樣確定抽取的件口罩中合格產(chǎn)品和不合格產(chǎn)品的數(shù)量分別為件和件，再利用古典概型把所有基本事件種都列舉出來，在判斷件口罩全是合格品的事件有種情況，即可得到答案.【小問1詳解】在抽取的件產(chǎn)品中，不合格的口罩有（件）所以口罩為不合格品的頻率為，根據(jù)頻率可估計(jì)該公司所生產(chǎn)口罩的不合格率為【小問2詳解】由題意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件設(shè)件合格口罩記為，件不合格口罩記為而從件口罩中抽取件，共有共種情況，這件口罩全是合格品的事件有共種情況故件口罩全是合格品的概率為21、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式；（2）先求出通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】因，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，又，解得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故【小問2詳解】因?yàn)椋裕?/p>