高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月（上）專題復(fù)習(xí) 專題三 第二講 數(shù)列的綜合應(yīng)用配套限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練

第二講數(shù)列的綜合應(yīng)用（推薦時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k＝ ()A．9 B．8C．7 D．62．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2＋n，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,anan＋1)(n∈N*)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則T9等于 ()A.eq\f(9,19) B.eq\f(18,19)C.eq\f(20,21) D.eq\f(9,40)3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6等于 ()A．3×44 B．3×44＋1C．43 D．43＋14．若兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n,n＋3)，則eq\f(a5,b5)等于()A．7 B.eq\f(2,3)C.eq\f(27,8) D.eq\f(21,4)5．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝eq\f(3,2)＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝eq\f(5,2)，則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項(xiàng)的和為 ()A．305 B．315C．325 D．3356．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S21＝S4000，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，an)，點(diǎn)Q(2011，a2011)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))等于 ()A．2011 B．－2011C．0 D．17．已知數(shù)列{an}，an＝eq\f(3,2n－11)，前n項(xiàng)和為Sn，關(guān)于an及Sn的敘述正確的是 ()A．a(chǎn)n與Sn都有最大值B．a(chǎn)n與Sn都沒有最大值C．a(chǎn)n與Sn都有最小值D．a(chǎn)n與Sn都沒有最小值8．已知數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n，則a2013等于 ()A．2011×2010 B．2013×2012C．2014×2013 D．20132二、填空題9．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝10，S5＝55，則過點(diǎn)P(n，an)，Q(n＋2，an＋2)的直線的斜率是________．10．有下列三角形數(shù)陣：eq\f(1,1)eq\f(2,1)eq\f(1,2)eq\f(3,1)eq\f(2,2)eq\f(1,3)eq\f(4,1)eq\f(3,2)eq\f(2,3)eq\f(1,4)……記三角形數(shù)陣構(gòu)成的數(shù)列為{an}，且a1＝eq\f(1,1)，a2＝eq\f(2,1)，a3＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,1)，a5＝eq\f(2,2)，…據(jù)此推測a2011＝________.11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝____________.12．(·陜西)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為________米．三、解答題13．(·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n項(xiàng)和Tn.14．(·四川)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)設(shè)a1>0，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(10a1,an)))的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最大值．

答案1．B2．D3．A4．D5．D6．A7．C8．B9．410.eq\f(3,29)11．2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－112．200013．解(1)當(dāng)n＝k∈N＋時(shí)，Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－eq\f(1,2)k2＋k2＝eq\f(1,2)k2，故k2＝16，因此k＝4，從而an＝Sn－Sn－1＝eq\f(9,2)－n(n≥2)．又a1＝S1＝eq\f(7,2)，所以an＝eq\f(9,2)－n.(2)因?yàn)閎n＝eq\f(9－2an,2n)＝eq\f(n,2n－1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－2)＋eq\f(n,2n－1)，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(n＋2,2n－1).14．解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a取n＝2，得a22＝2a1＋2a由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③若a2＝0，由①知a1＝0；若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④由①④解得a1＝eq\r(2)＋1，a2＝2＋eq\r(2)或a1＝1－eq\r(2)，a2＝2－eq\r(2).綜上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝eq\r(2)＋1，a2＝eq\r(2)＋2或a1＝1－eq\r(2)，a2＝2－eq\r(2).(2)當(dāng)a1>0時(shí)，由(1)知a1＝eq\r(2)＋1，a2＝eq\r(2)＋2.當(dāng)n≥2時(shí)，有(2＋eq\r(2))an＝S2＋Sn，(2＋eq\r(2))an－1＝S2＋Sn－1.所以(1＋eq\r(2))an＝(2＋eq\r(2))an－1，即an＝eq\r(2)an－1(n≥2)．所以an＝a1(eq\r(2))n－1＝(eq\r(2)＋1)·(eq\r(2))n－1.令bn＝lgeq\f(10a1,an)，則bn＝1－lg(eq\r(2))n－1＝1－eq\f(1,2)(n－1)lg2＝eq\f(1,2)lgeq\f(100,2n－1).所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(公差為－\f(1,2)lg2)).從而b1>b2>…>b7＝lgeq\f(