天津市靜海區(qū)第一2025屆高三上學(xué)期10月月考試卷數(shù)學(xué)答案

第1頁/共1頁靜海一中2024-2025第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)（10月）學(xué)生學(xué)業(yè)能力調(diào)研試卷考生注意：本試卷分第Ⅰ卷基礎(chǔ)題（132分）和第Ⅱ卷提高題（15分）兩部分，共147分．3分卷面分．第Ⅰ卷基礎(chǔ)題（共132分）一、選擇題:每小題5分，共45分.1.已知集合?，則?（）A.? B.? C.? D.?【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，進而求交集.【詳解】因為集合?，?，所以?．故選：D．2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)分充分性、必要性兩方面進行說明即可求解.【詳解】若，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，充分性成立；當(dāng)時，，滿足，但，不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別利用函數(shù)的定義域、奇偶性與特殊值的正負(fù)排除不符合要求的選項即可得.【詳解】由定義域為，故可排除C；又，故為奇函數(shù)，故可排除D；由，故可排除B；故選：A.4.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷在上的單調(diào)性，再由其為偶函數(shù)將轉(zhuǎn)化為，則可得，從而可求得的取值范圍【詳解】因為和在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．因為是定義在上的偶函數(shù)，所以可化為，所以，解得．故選：D5已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用對數(shù)運算規(guī)則和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得的大小關(guān)系及其取值范圍，再求得c的取值范圍，進而得到三者之間的大小關(guān)系.【詳解】由題意得，，，由，可得，又，則，故又，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合兩角和差的正弦公式以及同角的商數(shù)關(guān)系求出，進而利用二倍角的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，得，顯然，所以，故，故選：C.7.已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)并明確其單調(diào)性，進而可得導(dǎo)數(shù)的不等式，利用參數(shù)分離整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，可得答案.【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，整理可得，令，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，.故選：D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.的圖象向右平移個單位后得到的圖象C.在區(qū)間的最小值為D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】先由圖象求出的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像變換逐一判斷．【詳解】由圖可知，，又，所以，再由圖象知，且，故，解得，即，對于A，由，所以A錯誤；對于B，的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為，故B錯誤；對于C，由，得，當(dāng)即時，在區(qū)間的最小值為，故C錯誤；對于D，是偶函數(shù)，故D正確．故選：D．9.如圖，在平面四邊形中，，，，，，，若點F為邊AD上的動點，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，求得，設(shè)，令，得出，利用數(shù)量積的運算得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】以為原點，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意得，又，在中，由余弦定理得，所以，所以，故，在中，由余弦定理得，所以，所以，因為，，故，因為，，所以，所以在中，，所以為等邊三角形，所以，所以，設(shè)，由題意令，即，解得，所以，所以，設(shè)，可得其對稱軸為，且開口向上，所以時，取得最小值，即的最小值為.故選：B.二、填空題：每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），其共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為____________．【答案】【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，然后求解，進而得出的虛部.【詳解】解：，所以，所以，故的虛部為，故答案為：.11計算：__________．【答案】##3.75【解析】【分析】利用指數(shù)運算、對數(shù)運算及對數(shù)換底公式計算即得.【詳解】.故答案為：12.平面向量，滿足，，，則與的夾角為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，得出，將兩邊同時平方，列式求出，再求出夾角的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得.因為，，所以，即，解得，因為，所以.故答案為：.13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，，，則的面積為_______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和正弦和角公式得cosAsinC=0，進而得，，再計算面積即可【詳解】解：解法1：，又，∴，∴cosA∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，．解法2：由射影定理，，又由題意，，∴，∴，∵，∴，又，∴，．故答案為：14.已知，且，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先利用把化成，利用基本不等式可求的最小值，再根據(jù)不等式的性質(zhì)把目標(biāo)代數(shù)式放縮為與有關(guān)的代數(shù)式，再利用基本不等式可求題設(shè)中目標(biāo)代數(shù)式的最小值.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．又因為，由不等式的性質(zhì)可得.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查多元代數(shù)式的最值，處理這類問題的基本策略是降元處理，降元時要結(jié)合目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，找出能整體處理的部分，本題屬于難題.15.在平面四邊形中，，，若，則_____；若為邊上一動點，當(dāng)取最小值時，則的值為_____．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，是有一個內(nèi)角為60°的直角三角形，又知道它們的邊長，所以可以建立坐標(biāo)系，將問題坐標(biāo)化后進行計算求解．詳解】解：∵平面四邊形中，，，∴是邊長為2的等邊三角，在中，，所以，又，∴是邊的四等分點．如圖建立坐標(biāo)系：則：，，所以，再設(shè)，則，∴，顯然時，最小，此時，∴．故答案為：，．【點睛】本題考查平面向量在幾何問題中的應(yīng)用，涉及向量的數(shù)量積和向量夾角的余弦值，通過建系將問題坐標(biāo)化是一種常見的求角或距離的解題方法，同時考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：(本大題共5小題，共72分)16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知，，，．（1）求和的值；（2）求三角形BC邊的中線長；（3）求的值．【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）確定銳角，求得，由余弦定理求得，再由正弦定理得；（2）在中由余弦定理求得中線，（3）確定是銳角，求得，由二倍角公式求得，然后由兩角和的正弦公式求值．【詳解】（1）在中，因為，故由，可得．由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（2）設(shè)BC邊的中點為D，在中，由余弦定理得:，（3）由（1）及，得，所以，．故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，解題時根據(jù)已知條件選用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方關(guān)系求得角的余弦時，先確定角的范圍，然后計算．17.已知函數(shù)，的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式，接著依據(jù)題意求出，進而求出函數(shù)，再令，接著求解不等式即可得解.（2）先由三角變換規(guī)則結(jié)合（1）得，接著由得，再由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求出函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】因為，又由題，所以，所以，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1），故由題意可得，當(dāng)，，故由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可得，所以即，所以函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域為.18.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則在處的切線方程為：；【小問2詳解】由，若，則恒成立，即在上單調(diào)遞增；若，則時，有，即在上單調(diào)遞減，時，有，即在上單調(diào)遞減；綜上：若時，在上單調(diào)遞增；若時，在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】不等式恒成立，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，又，所以時有，時有，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故m的取值范圍.19.（1）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍．（2）已知函數(shù)，其中，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍．（3）已知函數(shù)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍.（4）問題：用數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)零點問題是常用的方法，請總結(jié)此方法使用時需要注意什么問題？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案見解析【解析】【分析】（1）函數(shù)的零點，由條件列不等式求a的取值范圍.（2）畫出分段函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合根據(jù)零點個數(shù)求出參數(shù)即可；（3）先求導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性及最值畫出分段函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合根據(jù)零點個數(shù)求出參數(shù)即可；（4）根據(jù)數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)零點需要構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象得出參數(shù)范圍．【詳解】（1）令，因為函數(shù)有一個零點，函數(shù)?x至多有兩個零點，又有三個零點，所以?x必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，且函數(shù)?x與函數(shù)的零點均為函數(shù)的零點，由gx=0可得，，所以，所以為函數(shù)的零點，即，所以，令，可得，由已知有兩個根，設(shè)，則有兩個正根，所以，且，所以，故，當(dāng)時，有兩個根，設(shè)其根為，，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，，且，，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，為函數(shù)的零點，又也為函數(shù)的零點，且與互不相等，所以當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.（2）如圖，，則的圖象如上，顯然，與不可能有交點，故時不符題意；如圖，，則的圖象如上，顯然，與有三個不同交點時，必有，解得，而時，明顯不符題意；綜上，.（3）解：有四個零點等價于y=fx與有四個不同交點當(dāng)時，，當(dāng)時，f′x<0；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，此時，由此可得圖象如下圖所示：

恒過，由圖象知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點，即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切，當(dāng)與相切時，可得，當(dāng)與相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，又恒過，則，即，解得，故，由圖象知：；（4）判斷函數(shù)零點需要注意：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，構(gòu)造函數(shù)，畫兩個函數(shù)的圖象，利用圖象交點的個數(shù)：看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．第Ⅱ卷提高題（共15分）20.已知函數(shù)，（）.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意恒成立，求整數(shù)a最小值.【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）1【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再利用求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，分離參數(shù)后得，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，所以，設(shè)，則，又因為，所以，即單調(diào)遞增，又因為，所以時，，即；時，，即，綜上可知，函數(shù)的