專題31圓（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（北師大版）

專題3.1圓（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】點和圓的位置關系：點在圓外，；點在圓上，；點在圓內(nèi)，；【知識點二】圓心角、弧、弦、弦心距的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.【知識點三】垂徑定理及推論：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.【知識點四】圓周角定理：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.【知識點五】直線和圓的位置關系：直線和圓的位置關系：（圓心到直線距離為，圓的半徑為）相交：直線與圓有兩個公共點，；相切：直線與圓有一個公共點，；相離：直線與圓無公共點，.【知識點六】切線定理：切線定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：（1）直線與交點個數(shù)；（2）直線到圓心的距離與半徑關系；（3）切線的判定定理.【知識點七】切線長定理：切線長定理：過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線是這兩條切線的夾角.【知識點八】弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.經(jīng)過兩點可作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在這兩點連線的垂直平分線上.【知識點九】確定圓的條件：不在同一條直線上的三個點確定一個圓.【知識點十】外心：外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點，鈍角三角形的外心在三角形外部。三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與外心連線夾角的一半.【知識點十一】內(nèi)心：內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等。三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..三角形周長為，面積為，內(nèi)切圓半徑為,則.直角三角形兩直角邊分別是，斜邊為，內(nèi)切圓半徑為，則.【知識點十二】相交弦定理：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖1，是的兩條弦且交于點，則.圖1圖2圖3【知識點十三】切割線定理：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖2，是的切線，線段交于兩點，則.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖3，線段交于兩點，交于兩點，則.【知識點十四】正多邊形、弧長與扇形面積：正變形的圓心角為度.弧長計算公式：在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長計算公式為.如果扇形的半徑為，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為.如果扇形的半徑為，弧長為，那么扇形面積的計算公式為.【考點目錄】【考點1】圓的對稱性???圓及其相關概念【考點2】垂徑定理???定理的理解及證明與求值【考點3】圓心角與圓周角???利用定理進行證明與求值【考點4】圓的確定???四點共圓及圓的確定條件的理解【考點5】直線與圓的位置關系???切線性質(zhì)與判定的理解及綜合【考點6】弧長與扇形面積???用公式求值與證明【考點7】正多邊形與圓【考點一】圓的對稱性???圓及其相關概念【例1】（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，的半徑為，一次函數(shù)與相交于點．（1）求點的坐標；（2）判斷點與的位置關系并說明理由；（3）過點作軸的垂線交于點，將直線沿軸向下平移多少個單位，該直線剛好經(jīng)過點．【答案】（1）；（2）點在圓上，理由見分析；（3）8【分析】（1）聯(lián)立兩條直線的解析式，求解即可；（2）求出的長，與的半徑比較大小后，即可得到結(jié)論；（3）對稱性得到點坐標，設直線沿軸向下平移個單位，經(jīng)過點，得到平移后的直線的解析式為，代入點坐標，求解即可．（1）解：聯(lián)立，解得：，∴；（2）∵，∴，∵的半徑為，∴點在圓上；（3）如圖，過點作軸的垂線交于點，

則：關于軸對稱，∴，設直線沿軸向下平移個單位，經(jīng)過點，則平移后的直線為，把，代入得：；∴將直線沿軸向下平移8個單位，該直線剛好經(jīng)過點．【點撥】本題考查兩條直線的交點問題，點與圓的位置關系，圓的對稱性，以及一次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握相關知識點，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東惠州·九年級惠州市惠陽區(qū)崇雅中學?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，以為圓心，2為半徑畫圓，是上一動點，是上的一動點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】本題考查圓外動點最小距離問題，勾股定理及軸對稱最小距離問題，作點的對稱點，連接交圓于一點即為最小距離和的點，根據(jù)勾股定理求解即可得到答案；解：作點關于直線的對稱點，連接交圓于一點即為最小距離和的點，如圖所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：，故選：C．【變式2】（2023上·江蘇宿遷·九年級?？计谥校┮阎闹睆綖?6，點A到圓心的距離為10，則點A與⊙O的位置關系為．【答案】點A在外【分析】本題考查的是點與圓的位置關系．根據(jù)由的半徑為8，而點A到圓心O的距離為10，得到點A到的距離大于圓的半徑，根據(jù)點與圓的位置關系即可判斷點A與的位置關系．解：∵的直徑為16，∴的半徑為8，又∵點A到圓心O的距離為10，∴，∴點A與的位置關系是在圓外．故答案為：點A在外．【考點二】垂徑定理???定理的理解及證明與求值【例2】（2023上·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．《九章算術》中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”．閱讀完這段文字后，小智畫出了一個圓柱截面示意圖，其中于點，問徑就是要求的直徑．再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)寸，寸（一尺等于十寸），通過運用有關知識即可解決這個問題．請幫助小智求出的直徑．【答案】的直徑為寸【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，連接，由垂徑定理可得，設寸，則寸，在中，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．解：連接，垂足為，，設寸，則寸，在中，，∴，∴，解得，∴寸，的直徑為寸．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東江門·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，是弦的中點，是過點的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，弧、弦、圓心角的關系等知識，理解并掌握垂徑定理及其推論是解題關鍵．平分弦的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條?。煌』虻然∷鶎Φ南蚁嗟?，所對的圓心角也相等，據(jù)此即可獲得答案．解：∵是弦的中點，是過點的直徑，∴，，，故選項A正確，不符合題意；∵，∴，，故選項B，C正確，不符合題意；已知條件無法確定，故選項D不正確，符合題意．故選：D．【變式2】（2023上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為的直徑，點D是的中點，過點D作于點E，延長交于點F．若．，求的直徑．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、圓中弧、弦的關系、勾股定理等知識點．連接，根據(jù)垂徑定理可得，；結(jié)合點D是的中點，可推出，；設，根據(jù)勾股定理可得，即可求解．解：如圖，連接，∵，∴，∵點D是弧的中點，∴∴，∴，∴設，∵，∴∴，∴的直徑．故答案為：【考點三】圓的對稱性???弧、圓心角、弦、弦心距的關系【例3】（2023上·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）課本再現(xiàn)如圖1，A，B是上的兩點，，C是的中點．

（1）求證：四邊形是菱形．拓展延伸（2）如圖2，將線段繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，交于點E，連接，若，求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，則，同理，得到，即可得出結(jié)論；（2）連接，求出，，則平分，得到，則，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可．解：（1）證明：連接，

∵，C是的中點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，同理，∴，∴四邊形是菱形；（2）連接，

∵是等邊三角形，∴，∵將線段繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，∴，，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．【點撥】此題考查了垂徑定理、菱形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識，熟練掌握菱形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在半圓O中，C是半圓上一點，將沿弦折疊交直徑于點D，點E是的中點，連結(jié)，若的最小值為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的相關知識點的應用，圖形折疊及三角形三邊關系的性質(zhì)是解題關鍵．連接，，由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當、、共線時最小，設的弧度為，求出的弧度為，再設半徑為r，列方程求解即可．解：連接，，

由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當、、共線時最小，即，設的弧度為，的弧度為：，，的弧度為：，由折疊得，的弧度為，的弧度為：，點為弧中點，的弧度為：，的弧度為：，即所對圓心角為，設半圓的半徑為r，，，解得：半徑為2，故選：C．【變式2】（2023上·北京朝陽·九年級校考期中）如圖，是的直徑，，若，則．

【答案】【分析】先求得的度數(shù)，由可求得，繼而可求得的度數(shù)．熟練掌握同圓或等圓中等弧所對的圓心角相等是解題的關鍵．解：∵，∴．∵，∴．故答案為：．【考點四】圓心角與圓周角???利用定理進行證明與求值【例4】（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，，為線段上一動點，與過，，三點的圓交于點，連結(jié)．（1）求證：；（2）隨著點的運動，探索的值是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論．【答案】（1）見分析；（2）的值不變，理由見分析【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題關鍵．（1）根據(jù)各點坐標求出三角形的邊長利用即可證明結(jié)論；（2）連接，根據(jù)，得到，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，從而得到，即可證明，利用即可得出結(jié)論．解：（1）證明：，，，，，，，，，，，；（2）的值不變，理由如下：如圖，連接，，，，，，，，，的值不變．【舉一反三】【變式1】（2023上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，是直徑，是弦，，過點作弦為垂足，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，由圓周角定理即可求解．由垂徑定理得到，由圓心角、弧、弦的關系推出，由圓周角定理求出，即可作答．關鍵是由圓心角、弧、弦的關系得到，解：連接，∵直徑，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．【變式2】（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A、B、C在上，，連接BO并延長，交于點D，連接AC、DC、若，則的大小為°．

【答案】/54度【分析】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)．利用平行線的性質(zhì)求出，再利用圓周角定理求出，利用平行線的性質(zhì)可得，再證明，進而可得結(jié)論．解：，，，，，是直徑，，，故答案為：．【考點五】圓的確定???四點共圓及圓的確定條件的理解【例5】（2023上·九年級課時練習）“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．

提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么A，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，，的，在劣弧上取一點（不與A，重合），連接，，則（依據(jù)1），∵，∴，∴點A，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓），∴點，在點A，，所確定的上（依據(jù)2），∴點A，，，四點在同一個圓上．反思歸納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________________________________________________；依據(jù)2：__________________________________________________．（2）如圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．拓展探究：（3）如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，，．求證：A，，，四點共圓．【答案】（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；（2）45°；（3）見分析【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過不在同一直線上的三點確定一個圓解答即可；（2）根據(jù)四點共圓、圓周角定理解答；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，，，進而得到，即可證明結(jié)論．解：（1）依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓．故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補

過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓（2）∵，∴點A，，，四點在同一個圓上，∴，∵，∴．答案：45°（3）證明：∵，∴，∵點與點關于對稱，∴，，∴，，∴，∴，∴A，，，四點共圓．【點撥】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點共圓的條件是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是，的外接圓，，若，，則的半徑為（）

A． B．5 C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識．連接，過點O作，交于點F，交于點E，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系求出，根據(jù)勾股定理計算即可．解：如圖，連接，過點O作，交于點F，交于點E，

則，∵，∴，∴，∴，∴，設的半徑為在中，，即，解得：，故選：B．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第四十一中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是點點、點，則的外心的坐標為．【答案】【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格作，的垂直平分線，兩條線交于點，可得點是的外心．解決本題的關鍵是掌握外心定義．解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格作，的垂直平分線，兩條線交于點，點是的外心，的外心的坐標為，故答案為：．【考點六】直線與圓的位置關系???切線性質(zhì)與判定的理解及綜合【例6】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的邊上一點，以為直徑的切于點，交延長線于點，且．（1）求證：是的切線；（2）若．①求的半徑；②連接，求的長．【答案】（1）證明見分析；（2）①3；②【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，只要證明即可得證；（2）根據(jù)題意，由勾股定理可得，連接，由切線長定理及切線性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)切線性質(zhì)，利用三角形全等的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理即可得到答案．解：（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）解：①∵，∴，連接，如圖所示：

∵與都為的切線，∴，∴，在中，設，則有，由勾股定理得，解得，即圓的半徑為3；②延長相交于點，如圖所示：

，，與都為的切線，，，在和中，，，∴，∴，在中，，則，∴．【點撥】本題考查圓綜合，涉及切線的證明、勾股定理、切線性質(zhì)、切線長定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關性質(zhì)，靈活運用性質(zhì)證明圓的相關綜合問題是解決問題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，與x軸相切于點B，為的直徑，點C在函數(shù)（，）的圖像上，為軸上的一點，的面積為6，則k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】根據(jù)平行線間高相等可得，進而得到，然后根據(jù)k值的幾何意義即可解答．掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．解：如圖，連接，，設的高為h∵與x軸相切于點B，為的直徑，∴，,∴、的高為，∴,∵，∴，∴,∵，且反比例函數(shù)圖像在一象限，∴．故選：C．【變式2】（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為．

【答案】【分析】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)．根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．【考點七】正多邊形與圓???計算與證明【例7】（2023上·山西呂梁·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接．

（1）求∠E的度數(shù)．（2）求證：．（3）若，則點E到的距離為．【答案】（1）；（2）見分析；（3）【分析】本題考查了正多邊形和圓，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．（1）利用正方形和圓的關系，求得中心角的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求解；（2）要證明，只要證明即可；（3）連接并延長交于點F，證明是線段的垂直平分線，再利用勾股定理即可求解．（1）解：如圖，連接，，

∴∵正方形內(nèi)接于，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴．∵E是的中點，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接并延長交于點F，

∵，，∴是線段的垂直平分線，∵，，∴，，∴，∴，即點E到的距離為，故答案為：．【舉一反三】【變式1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是正方形和正五邊形的中心，連接交于點，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接多邊形，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握圓內(nèi)接多邊形，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．如圖，連接，則是正方形和正五邊形的外接圓，由圓周角定理可得，，然后根據(jù)，計算求解即可．解：如圖，連接，則是正方形和正五邊形的外接圓，∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．【變式2】（2022上·湖北武漢·九年級湖北省水果湖第二中學?？计谥校┌霃綖?的正八邊形的面積為．【答案】【分析】連接、，過A作于M，根據(jù)正八邊形得到，根據(jù)正八邊形的半徑為4，得到，推出，正八邊形的面積有這樣的八個全等的等腰三角形面積組成，乘以8即可．本題考查了正多邊形的面積，熟練掌握中心角計算，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積計算公式，多邊形的面積為三角形面積的倍數(shù)計算，是解決問題的關鍵．解：設正八邊形為，中心為O，連接、，過A作于M，如圖所示，則，∵正八邊形的半徑為4，∴，∵，∴，∴，∴，∴正八邊形的面積為，．故答案為：．【考點八】弧長及扇形面積???求值與證明【例8】（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，平分交于點，為上