高等數(shù)學(xué)課本（上）

第二節(jié)數(shù)列的極限

教學(xué)目的：理解數(shù)列極限的概念，為研究微積分作好工具準(zhǔn)備

教學(xué)重點：收斂數(shù)列的性質(zhì)及運算法則

教學(xué)難點：數(shù)列極限概念的理解及計算

一、數(shù)列極限的概念及定義

本節(jié)討論定義域為自然數(shù)集N,值域含于實數(shù)集R的函數(shù)。其函數(shù)只可按照變量的順

序排列為

%=/'⑴，%=/(2),…，％=/(〃)，...

因此，有下列定義：

定義設(shè)f是定義于N上的一個函數(shù)，其函數(shù)值按〃=L2,3,…的順序排列成一個序列:

須=/⑴，》2=/（2）,七=/（3）,…，4=/（〃），...

就成為數(shù)列，簡單地記作｛乙｝。七稱為數(shù)列的第n項或通項，n為腳標(biāo).

例如:

:1,一，一，…,一

23n

J（-l）"l111（-1）-

n234n

（3）｛（-1嚴(yán)｝

（4）｛2〃｝:2,4,6,8,…,2〃,…，

心［2/1-11.3572//-1

InJ234n

觀察上面的幾個數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著〃的無限增大，有的數(shù)列無限的趨近一個常數(shù)

a,有的數(shù)列無限增大，而有的數(shù)列則與前兩種情況不同.數(shù)列的極限就是研究在自變量〃無

限增大這種趨勢下,因變量的變化趨勢.當(dāng)〃-8（即〃無限增大）時，如果的

X"=/（〃）的變化趨勢由一個確切的“目標(biāo)”a,那么常數(shù)。就叫做該數(shù)列/（〃）在“18

時的極限.例如：當(dāng)〃―8時，的極限為0,I〃J的極限也是0,I〃J的極

限為2,而｛2〃｝與｛（T）｝沒有極限.

如果數(shù)列當(dāng)〃無限增大時，數(shù)列招的取值能無限接近常數(shù)。，我們就稱。是》"當(dāng)

〃一＞8時的極限，記作

limx=a

n—>coM.

當(dāng)然，以上的說法僅僅是數(shù)列極限的一種定性描述.我們在研究數(shù)列極限時，只憑定性描述

和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，特別在理論推導(dǎo)中，以直覺作為推理的依據(jù)是不可靠的，因此有

必要尋求用精確的、定量化的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的極限.我們注意到在數(shù)列極限中

8”，以及“血無限的趨近于。，，，它主要強調(diào)的是“一個過程”以及一種，，接近”

程度，經(jīng)過前人的不斷總結(jié)給出了一下定義.

設(shè)X"為一個數(shù)列對于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N,使得對于

〃>N時的一切五,不等式

k"-4<￡

都成立，則稱常數(shù)a是數(shù)列X”的極限，或者稱數(shù)列X"收斂于"，記為

limxn=a,

或a("-8)

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的.

為了以后論述的方便，數(shù)列極限的定義，常用邏輯符號來表達(dá)：

V￡>0JN>0,使得V〃〉N,有氏一。|<￡

定義中極限。(。是一個常數(shù))及任意給定的正數(shù)￡,它確定了。一個領(lǐng)域(a—&"+￡)；

總存在正整數(shù)N,也確定數(shù)列X，，中的某一項標(biāo)；只要〃〉N,就有瓦一況<￡成立.即說

明從4以后的所有項4+1，4+2,…，全落入(a—￡M+￡)中.

需要指出的是，任意給定的數(shù)￡,?方面由于￡的任意性，決定了它的取值有無限種的可能,

從而可以任意的小，以刻畫》"與。的無限逼近.另一方面是￡的確定性，它是任意給定的，

一旦給出后，它就定了，這樣就可以找出N(即確定出打這一項)，使得4,以后的所有項

在(a-￡,“+￡)中，但是N不是唯一的，只要保證N存在即可.例如對于某一個

%>°,存在正整數(shù)N,只要〃〉N,就有L一4<￡成立，那么此時也有：對于上面的

￡。>0,M是大于N的確定的正整數(shù)(例如M=N+5),當(dāng)〃〉M時，氏—a|<￡o也

成立.

為了更直觀的說明￡與^^之間的關(guān)系，看下面例題。

lim------------=1

例2-1用數(shù)列極限定義證明"T8no

IIn+2(-iy2(—1)"2

\Xn-a\=--------------1=--------*

證因為n〃〃，

II1<￡n>-N=[2]>O

V￡>0,欲使國一"1<￡。只要〃，即￡，取[￡」(即確定了XN這一項),

則當(dāng)W〃>N時，有

〃+2(一川_1<￡

n

所以

hm〃+2(T)"=l

”T8〃

在以上證明中，當(dāng)*—而時，N=200.也就是說從第200項以后，數(shù)列的所有項:

\xn-Cl\<---￡—---0

X20l，X202,…均滿足I1100當(dāng)10時，N=2xl（）5,X/〃>N的X”均滿足

k_"<_L￡=」-

1"110’.需要指出，一般￡（￡>°）越小，則N越大，但N不是唯一的.例如100時,

取N=300也行（但N=190則不行，為什么？）。

例1-4設(shè)川<1,證明數(shù)列

q\q2,q3,…q”,…

的極限是0。

證因巾-。卜時

令出一下,（由于同<1,故經(jīng)0）,

則

/,.n(n-l)

(1+f)=l+nr+—~~-f-2+--->nt

所以

lx—0|=|q/-——<—

1"111(l+/)nnt

=

I川--<￡>—IN—

\/￡>0要使％,—“<￡,只要，即，取匕￡」，則當(dāng)“〉N時，

有

所以

limq"=0（h|<l）

〃->811

在以上證明中為了取得N的較簡單的表達(dá)式，應(yīng)用了二項式定理。如果從卜’|<￡通過取對

In6*.Ine

n>—j—Nr=—―r

數(shù)得lnH,取IJn|0」也可以。在用￡-N定義證明極限時，為了得到N的較為

簡單的表達(dá)式，要對上一4進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?，其主要手法是使?dāng)貝〃）<￡

時.，比較容易地解出〃〉〃（￡）。

sin（n2+l）

hm--------=0

例2-2用極限定義證明"78匯+3〃+1

證因為

2

sin(〃2+1)sin(^+1)”111

—0<—<—

k-°l=n2+3〃+1n~+3/?+1+3〃+l3nn

卜.-。<￡,只要7<￡,即取N[J,則對V〃〉N

V￡〉0要使

有

sin(/?2+l)

k.-0l=-z------------------U<￡

tr+3〃+l

所以

sin(n2+l)

lim--------=0

"->8n~+3〃+1

1

lx-0|<—lx-0|<------------<￡

在以上證明中。我們也可以使?但若使?1〃-+3〃+1，那N的表達(dá)

式就過于繁瑣。由于極限定義中的N不唯一，證明時我們力求使N更簡單一些。需要指出：

一般情況下，用定義只能驗證某數(shù)是否為某數(shù)列的極限，不能用它來求數(shù)列的極限，但通過

數(shù)列的定義可以證明有關(guān)的運算法則及定理，再通過它們來求極限。下面我們介紹極

限的運算法則和求極限的一些方法。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)及運算法則

對于一個數(shù)列，如何判斷它是否收斂（即極限是否存在）？如果收斂，又怎樣求出它的極限？

這是極限理論中至關(guān)重要的兩個基本問題，為此我們必須討論數(shù)列極限的性質(zhì)及運算法則。

定理設(shè)則"〃'吧則

M、lim(x“±為)=limx?±lim.y?=a±b

lim(x,y?)=limxnlimy,,=ab

(2)“T8n->00?：—>00

rlimx?a

==-3/0)

18%hmy“b

(3)w->co

、limx,=aolimlx-a\=0z,”-、limC

(4)。0(由此可得)…00

limx“=anlim|xJ=M

111

(5)〃一>8,

證

一、e浦lim(x“+y“)=limx“+lim)，“=”+b

(1)僅就〃f°°28證之。

limx“=a,\imy=b

EH〃->8〃TQOn矢[]：

Ve>0,孫>0,7〃〉乂,有氏-。|<￡/2,

Vf>O,37V2〉0,7〃>、2，有|%-4<￡/2,

因為

|(Z+%)-(。+b)\<|(x?-?)+(5;,-Z?)|引玉-&+1為-W

所以

7￡〉0,三"=0^;(乂，愀)>0,使得7鹿〉雙，有

|(x"+為)一(a+A)Kk“-4+|y“—b[<]+]=￡

ZKT—,x,->a,y?-^b

注證明中出現(xiàn)了“，“2主要是為了體現(xiàn)對同一標(biāo)準(zhǔn)2"速度”的不同。

11c￡11nJ

X-...>（n）y=------->0—=-----V<---

例如"〃■"10"。當(dāng)2200時，〃200,取

N、=200,----0<丘—<￡|y—引<芻￡

10"200,取生=3。至于I"12，|Jn12,中用2是為了最后

結(jié)論與定義一致。

（2）、（3）在后面加以證明，（4）、（5）可直接用極限定義證明（讀者自證）。

定理若數(shù)列.J有界，且則其=°,則

則”"=°

證由｛、有界知加>0，V〃GN,有氏區(qū)",

又山!吧”=°,可知，V￡>0HN>0,V〃>N,有民一Q〈拓

|x_y,-0|=|x?vI=|xn||y,.|<ly.lAf<M—=E

因為I"人I3"l"IP?lM（當(dāng)〃>N時）

所以，X/￡>0JN>0,V〃〉N,有|當(dāng)％-0卜￡,

也即坪”二°.

讀者也許注意到了，對于一個具體數(shù)列我們用定義證明其極限是某個數(shù)時，項數(shù)N是一個

具體的表達(dá)式（表達(dá)式不惟一）。而對于抽象的數(shù)列極限（如以上的法則等）證明，項數(shù)N是

通過已知數(shù)列極限中所得的項數(shù)確定的，它們雖然不盡相同，但是目的是為了保證項數(shù)N

的存在性。用定義證明一些命題，初學(xué)者有一定的難度，下面再介紹夾逼定理。通過

該定理可以證明一些數(shù)列的收斂性，相對而言，比用￡-N定義要簡單一些。

定理（夾逼定理）已知三數(shù)列｛七，｝，｛券｝，上”｝滿足,且

四以=a,哂z“=a則1更1%="

證由野得=",吧得

V￡〉0JM>0,7〃〉乂,有上一。|<￡,

7￡>0,訓(xùn)2>0yn>N2,^\zn-a\<￡,

當(dāng)〃〉max（N|,Nz）時，

a~￡<ynxn<z?<a+￡

即

\xn-a\<￡

所以V￡>0,mN=max（N|,生）,>N,有氏一<￡，仃

所以坪“二:

2

—.limnn=1

例2-3證明，1,

;ilimnn-1=0

,hrmk"=l

證欲證“f,即證

1nn-\=nM-1

因為〃〉1時，n;-l>0,所以

令〃“二〃"-1(>0)

2

即〃"=1+以

所以

/..〃(〃一1),??(/?-1)

"=(1+%)=1+〃〃"+--—?,;+???+??>---2

n(n-l)2

1>-------w?

即2"

又因為

n(n-Y)222

0<M<

所以

lim0=0,lim

由于—°〃一>00（讀者自己證明）

所以物“"=°,即則〃"=°

定理（極限的惟一性）設(shè)黜"="'則七=。則a=b

證0<\a-b\=\（a-xn）+（%-b）\<\xn-a\+\x?-b\

由已知條件可知：

陽民-司=0,1吧上/=0,所以lim（|x?一。|+瓦―如=0

,lim0=0

又8

由夾逼定理可知

lim|6F-/?|=|tz-/?|=0

贏

a=b

定理（極限的保號性）設(shè)期七="，且c<a<d,則田〉0,7〃〉%,有。<七<4。

d—a,Id-a

----->0,犯>0,V〃〉N1―<-----

證因。<d,故"一。>0。取2,有2

d-ad+a,

x,<a+----------<d

即22

a—cIIa-c

氏—I〈亍

=—>0,3N2>0,Vn>^2

有因為c<〃，所以〃—c>0,取2，有

a-ca+c

xn>a-----=---->c

即22

取N=max｛NpN2｝,則當(dāng)〃,N時，有

c<xn<d

推論若!里收斂，則｛x，，｝有界.

證因為!即Z收斂，即使maeR

limxn=a

n—>oo

那么照同=14

由于同（14+1,據(jù)定理1-2-5可知,nv〉o,X//i〉N,有

聞<同+1

取

M=max｛|x1|,|x2|,---,|xw|,|a|+l）

則V”￡N,有聞所以上｝有界.

以上的推論表明，有界是數(shù)列收斂的必要條件.但是有界數(shù)列也不一定收斂，例如｛（一1）”｝雖

然有界，但它發(fā)散.

算我們利用夾逼定理與極限的保號性定理證明極限的乘法、除法運算法則.已知設(shè)

limx“=a,hmyn=b

一、lim(x?y,)=limx“l(fā)imy“=ab

(I)”T8''"TOO"f8

a

lim—SwO)

"isynlimynb

(2)“T8

證

(1)因為

o4kly"-闕=|怎”-+xnb-ab\

4%|瓦一。|+網(wǎng)上"一4

<M\yn-b\+\b\\xn-a\

又因為

limM\yn-b\=O,lim\b\\xtl-a\=0

”->811〃T8111

所以

hm[M\yn-b\+\b\\xn-a\]=Q

,limO=O

n—>oo

阿|龍"為_羽=。

所以

即

lim—=-

（2）只需證：b,在利用極限的乘法運算法則就可得到除法法則.

11「闿

以

因為b\yn\\b\

又因為

limy=b=>limlyI=Ifel>—(bW0)

8”->81,112

所以32V>0,V〃〉N

12

——<一

%H

有

即>0,>N有

11=」1%^一——4?<—ly-h\

%b

因為

2

lim0=0,則酢叫=。

>00

lim---=0

“foO

所以X,b

1

lim—

“T8y

即b

以上“乘法、除法”極限的證明使是夾逼定理的一個應(yīng)用，其目的是說明有了一些運算法則

后，用定義證明一些命題就不是唯?的途徑了.

11

lim

〃一*8

例2-4證明

證明：因為

n11n

22+1

J“？+幾n+1

而

..nn

hm.—lim1

2

+〃”->8Vn+1

所以原式極限為1.

111、

lim--------F-------+???+-----------------

H->001223?(/?+1))

例2-5求

解：

111

--------1----------F,??H-----------------

1223n(n+l)

11

nn+1

〃+1

故

).(111),

lim-----+------+???+--------------=1

28([223n(n+1)?

第三節(jié)函數(shù)的極限

教學(xué)目的：理解極限的概念，理解左右極限的概念，為研究微積分作好工具準(zhǔn)備

教學(xué)重點：各種趨勢下的極限定義，左右極限存在與極限存在的關(guān)系

教學(xué)難點：極限概念的理解

教學(xué)內(nèi)容：

一、函數(shù)極限的定義

1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

滿足k-x(J<3的X的范圍稱作以X。為中心的8鄰域，滿足°<k一與卜3的范圍稱

作以X。為中心，以b為半徑的去心鄰域，記作U(Xo).

現(xiàn)在考慮自變量x的變化過程為XT%.如果在Xf玉)的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值/(X)無限

接近于確定的數(shù)值A(chǔ),那么就說A是函數(shù)/(x)當(dāng)X—Xo時的極限當(dāng)然，這里我們首先假

定函數(shù)/(x)在點/的某個去心鄰域內(nèi)是有定義的.

定義：設(shè)函數(shù)/(x)在點/的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對于任意給定的正數(shù)￡(不論它

多么小)，總存在正數(shù)3,使得對于適合不等式°<卜一/|<0的一切》,對應(yīng)的函數(shù)值

/(x)都滿足不等式

\f(x)-A\<c

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)X一/時的極限，記作

曾小修或/(x)fA(當(dāng)x?。).

該定義用幾何語言描述為：對于任意給定的因變量的范圍(A-￡，A+￡),總存在自變量這

樣的范圍(/—'/+")/{/},有/(X)￡(A—￡,A+￡)(圖1.2)

1.證明下列極限

limx=x0

(1)0

X2-lc

lrim----=2

(2)IlX-1

當(dāng)%>O0'j',limVx=A/XT

(3)XTX0

證：⑴.?.|/(x)-4|=k-/I，任給￡>o,取b=￡，當(dāng)0<卜―3|<5=曲,

|/(x)-4|=k-司〈堿立，，鷺x=%.

(2)函數(shù)在點x=l處沒有定義.

T2_i

v|/(x)-A|=------2,.1.

x-l=|xT|,任給￡>0,要使|/(x)-4|<￡，只要取s=￡,

r2_l

山CIIEl就有------2〈&

當(dāng)0ck-Xo|<涮，x-1

..X2-lc

/.lim----=2.

—x-1

_|x-x0Ll-^-^ol

⑶?巾(x)-A|=|W-匹|五+冏-瓜'

任給￡〉0,要使|/(X)-A|<￡,只要卜-司|〈寓￡且不取負(fù)值.

取3=min{x(),森￡?},^O<|x-xo|<<50'j；就有田一嘉"卜￡，

/.lim4x-Jx^.

XT/

上述XfX。時函數(shù)/(x)的極限概念中，X是既從X。的左側(cè)也從X。的右側(cè)趨于X。的.

但有時只能或只需考慮X僅從X。的左側(cè)趨于X。(記作X—X。一°)的情形，或X僅從X。的

右側(cè)趨于X。(記作Xf%+0)的情形.在XfX?！愕那樾危藭r我們有下列定義：

設(shè)函數(shù)/(X)在X。<X<Xo+3內(nèi)有定義.如果對于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總

存在正數(shù)3,使得對于適合不等式°<、一而<6的一切無，對應(yīng)的函數(shù)值/(X)都滿足不等

式

\f(x)-A\<￡

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)xf%+°時的右極限，記作

加0"*)=力或/(/+0)=4(當(dāng)x—/).

類似地，可定義左極限』黑。"")=，或/(Xo-°)=A(留給讀者作為練習(xí).左、右極

限也稱單側(cè)極限，容易證明下列定理.

定理函數(shù)/GO當(dāng)%7與時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且

相等，即

/(xo-O)=/(xo+O)

證(n)顯然

limf(x)-Alimf(x)=A

(<=)因為1f+。'7,且250，'),

故V￡〉OJd〉O,Vx:O<x-Xo<①，

有\(zhòng)f(x)-A\<￡t

且對于上述的T2>0,3^2>0,Vx:0<x—x0<

有|/(x)-川<￡.

令3=min(C，&)，則Vx:0<k-x()|<3有

\f(x)-A\<￡

limf(x)=A

故

例2函數(shù)

x—1,x<0

/(X)=<0，x=0

x+Lx>0

證明當(dāng)X—0時f(x)的極限不存在.

證當(dāng)x-0時川)的左極限馳如)=㈣、T)=

力…叩lim/(x)=lim(X+1)=1

而右極限Xf+OXT+0,

因為左極限和右極限存在但不相等，所以不存在(圖1-7)

2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

如果函數(shù)/(x)當(dāng)N無限增大時，/(x)取值和常數(shù)I要多接近就有多接近，此時稱A是/(x)

當(dāng)Xf8時的極限，記作

limf(x)=A

下面給出定量化的定義("￡-X"定義)

定義設(shè)函數(shù)/(x)當(dāng)W大于某一正數(shù)時有定義.如果對于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么

小)，總存在著正數(shù)X,使得對于適合不等式N>X的一切X,對應(yīng)的函數(shù)值/CO都滿足

不等式Y(jié)(x)一川<￡,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)X—8時的極限，記作

|吧/(")一A或/(x)->A(當(dāng)x->oo).

..sinx八

hm-----=0.

X=￡，

ve〉o,取x=j則當(dāng)W>x時恒有

痂「sinx

故lim------=0.

Xf0O%

下面給出岫〃、）=4的定義:

定義設(shè)函數(shù)/（x）在S，+00）內(nèi)有定義.

如果>0,3X>0,使當(dāng)x>乂時，恒有|/（x）_H<￡.那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/（X）當(dāng)

X—>+8時的極限，記作

1吧/3=4或/由-4（當(dāng)％f+8）.

limf（JC'\—A.

類似地，可定義,并且可以證明下面的結(jié)論:

lim/(x)=Aolim/(x)=4且limf(x)=A.

二、函數(shù)的極限的性質(zhì)

1.極限的唯一性

若lim/（x）存在則極限唯一

以上性質(zhì)的證明與數(shù)列極限的性質(zhì)類似。（留給讀者自己證明）

2.極限的局部有界性

若在某個過程下,一（幻有極限，則存在過程的一個時刻,在此時刻以后一（X）有界

3.極限的局部保號性

如果

Jim/（x）=A,月工>O（jdU<0）,則金>0,當(dāng)x€U°（x。⑶時,了⑴>（）（鄴⑴<0）,

4.“極限的保序性

若變啊若引>€"。（%,辦有了且⑴,則

/（x）=Ag（x）=BO,Vxa”A<B

第四節(jié)無窮大與無窮小

一、無窮小

如果對于任意給定的正數(shù)￡（不論它多么?。?，總存在正數(shù)5（或正數(shù)X）,使得對于適合不

等式。<k-%|<5（或|乂>X）的一切x,對應(yīng)的函數(shù)值/（X）都滿足不等式V（x）|<￡，那末

limf(x)=0(或lim/(x)=0).

稱函數(shù)/(X)當(dāng)XfX。(或xfoo)時為無窮小，記作XfX”

定理i-3-2S小)=A=〃x)=A+如)，其中如)是當(dāng)…司時的無窮小.

證：(必要性)設(shè)期―令a(x)=〃x)-人則有期―

/(x)=4+a(x).

(充分性)設(shè)/(x)=A+2(X),其中a(x)是當(dāng)x->與時的無窮小，

則lim/(x)=lim(A+a(x))=A+lima(x)

-V->A0X->X0XfX。=A.

二、無窮大

定義如果對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么小)，總存在正數(shù)6(或正數(shù)X)，使得對

于適合不等式°<,一"。1<°(或忖>X)的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式

，則稱函數(shù)/W當(dāng)XfX。(或XT8)時為無窮大，記作

limf(x)=oo(或lim/(x)=oo).

XTOO

特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大.

limf(x)=+co(或limf(x)=-co)

/->聞X->XQ

(KTOO)(X->OO)

lim-----=oolim---=+oo,lim---=-oo

例如，T1X-l-1XTl-X-l

一般地有無窮大=>無界，但反之不然.

下面我們討論無窮小與無窮大的關(guān)系

1

定理在自變量的同一變化過程中，如果/(X)為無窮大，則/(X)為無窮小；反之，如果

1

/(X)為無窮小，且則/(x)為無窮大.

設(shè)lim/(x)=oo.

證：ft)

??.Ve>0,3^>0,使得與<|x-x0|<M

恒旬/⑸>%即|焉<￡?

當(dāng)XTX。時,」一為無窮小.

/(X)

反之,設(shè)limf(x)=0,且/(x)H0.

\/M>0,3J>0,使得當(dāng)0<|x-x0|<加寸恒有l(wèi)/(x)|<卷,

上十從而」一>".

由于"X)HO,/(x)

當(dāng)XT/時,」一為無窮大.

/(X)

第五節(jié)極限運算法則

教學(xué)目的：掌握極限的性質(zhì)及運算法則

教學(xué)重點：掌握不同類型的未定式的不同解法

教學(xué)難點：計算

定理設(shè)Hm/(x)=4和1加8(幻=8

(Dlim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A+B

(2)lim/(x)g(x)=Hm/(x)-limg(x)=AB

==-(…)

(3)g(6hmg(x)B

定理有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證：設(shè)函數(shù)”在?！?小,偽)內(nèi)有界，

貝歸M〉0,仇>0,使得當(dāng)0<卜—即〈可時恒有同

又設(shè)a是當(dāng)x->與時的無窮小，

V￡>0,3J2>0,使得當(dāng)0<卜―/卜當(dāng)時恒有囪<

取3=min{R,2},則當(dāng)0<|尤-與|<加寸，恒有

￡

<M---

|?-iz|=|M|■\a\M=￡，

：.當(dāng)X->Xo時,M?為無窮小.

x3-l4x-l

limlim

例求(1)xf2x--3x+5(2)x2+2x-3

lim/-1..2x，+3x~+5

hm---------——.

(3)…尤+2x-3(4)7x-+4x-1

vlim(x2-3x+5)=lim——Iim3x+lim5

解(1)x->2XT2X->2XT2

=(理x)2-3則X+1遇5=22_3.2+5=3A0,

limx3-liml

33

r-1=XT2XT29-17

記^^理(一一3x+5)=丁=]

⑵+2x-3)=o,商的法則不能用

又因為

.一+2x—30

lim(4x-1)_q工Q1叫一；一「0.

%->1—J。U,X->1一13

由無窮小與無窮大的關(guān)系，得

41

lim=00.

XT1+2x—3

(3)xfl時，分子，分母的極限都是零(6型)

先約去不為零的無窮小a子x-i后再求極限.

lim=lim"D(B)=1金」

xf_r+2x-3xf(x+3)(x—l)ix+32(消去零因子法)

(4)x-8時，分子，分母的極限都是無窮大(2型)

先用/去除分子分母，分出無窮小，再求極限.

35

32

..2X+3X+5r2+、+『

lim-----——=lim--7-八

%-87/+4廠-118412

/-]-------——

X/7,(無窮小因子分出法)

limf(u)=A,limw(x)=斯

定理(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則)設(shè)設(shè)"f"?！?7，但在在點X。

的某一去心鄰域內(nèi)"(x)N"。，則復(fù)合函數(shù)/("(X))當(dāng)X—X。時的極限存在，且

limf(u(x))=limf(u)=A

XTX。U—>Z/()

證山，吧/(")=A可得V￡>OTr〉O,VM：O<|a—"o|<r,有

\f(u)-A\<￡

又因為變必)="°,即對上面的"°，抽>°，Vx：°<kf|<4,有

|w(x)-M0|<r

另一方面可設(shè)〉O,Vx€min(U(￡o),&),w(x)力劭，故

Vf>0,3=min(^,<J2)>0,Vx:0<|x-x01<Z>

有

\f(u(x))-A\<s

也就是

lim/(w(x))=A

xf.q)

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限

教學(xué)目的：掌握兩個極限的存在準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要

極限求極限的方法

教學(xué)重點：利用兩個重要極限求極限

教學(xué)難點：利用第二重要極限求極限的方法

教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)介紹極限存在兩個準(zhǔn)則，并用它解決微積分學(xué)中的兩個重要極限

sinx.1.,

hm----=1,lim(l+—)

A->0XXT8X

一、夾逼定理

B,

定理(夾逼定理)設(shè)函數(shù)/(x)，g(x)，以X)滿足

(i)在點X。的某一去心鄰域內(nèi)：g(x)4/(X)4〃(x)

limg(x)=limh(x)=a

A—>X

(ii)0?Ifo

\imf(x)=a

則XTX(,

此定理的證明與數(shù)列的夾逼定理的證明極為相似，且?guī)缀我饬x殿產(chǎn)顯，下面少該定

sinx,

lim-----=1

理證明3°X

..sinx,

nm-----=1

(1)證明x

證

設(shè)單位圓O,圓心角NAO8=x,(0<x<-)

2,

作單位圓的切線，得AACO.扇形043的圓心角為羽AO45的高為8D,

于是有sinx=8。，1=弧43,tanx=AC,

sinx,

cosx<------<1,

sinx<x<tanx,即x

上式對于-王<x<。也成立.當(dāng)0<兇<］時,

2

2

2sin2|<2(1)2x

0<|cosx-l|=1-cosx~2

x2

''H嗎=°，-,*cosx)=0,

尤1。2x->0

「sinx1

limcosx=1,又vlim1=1,二1叫----=1?

.r—OKTOx->°x

「tan2x

lim-------

例1求1。%

「tan2xsin2x1「小sin2x

lim-------=lim-----------------=lim2=2

解x->0xx-0xcoslx102xcosix

1-cosx

lim----z——?

例2求—。尤

.x

si.n2-X1sin—

2sin2-=1lim2

解：原式=㈣甘E=-1?1,2=—1

222

二、單調(diào)有界原理

如果數(shù)列｛x，J滿足條件/<%2W￡4…WX"<<…，就稱數(shù)列｛x“｝是單調(diào)增加

的：如果數(shù)列卜"卜曲足條件玉？々N七N…Nx.2x?+I2…，就稱數(shù)列上.｝是單調(diào)減少

的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.

單調(diào)有界原理：

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

lim(l+與

為了證明J8X存在，可分幾步走.

(1)首先證明"I00n存在.

設(shè)乙=(1+3"

n

n1n(n-1)1n(n-l)---(n-n+l)1

?—―|—‘一?

1!n2!n2n\nn

類似地,

設(shè)％=(1+—=嚴(yán)

=1+1+」(1-----+,,,+-;(1---------^-)(1----^7)…(1一~~7)

2!〃+1〃！〃+1〃+2〃+1

1/I1\/12、/1〃、

+T-----(I-------;)(1--------),??(1-------7)

(〃+1)!〃+1〃+271+1

顯然X“M>X”,｛招｝是單調(diào)遞增的；

,,11,,111

X<1+1d-----F,??4----<1+1-1-------F…4------=3a-------

"2!〃！22"-'2"T<3,

??.W是有界的；?.?!吧x”存在.

記為則(l+f"=e3=2.71828…)

(2)當(dāng)xNl時，有[x]Wx?[x]+l,

(1+=二產(chǎn)<(1+與W(1+L產(chǎn)，

[x]+lX[x]

而

lim(1+—)[A]+I=lim(1+—)w-lim(l+—)=e

XT+OC[X]XfKO[X]XT田[X]

lim(l+—)w

,r->-KG[x]+i

=lim(1+—1—)'fl+1-lim(1+=e

XT+OO[X]+1lx[X]+1

/.lim(1+—)A=e.

X->-KCX

令'=一乂所以

Um(l+-)r=lim(l--r，=lim(l+—X

XT-QOX-f/->+<?t

=lim(l+_Ly-'(l+_L)=e

—+8t-1t-1

所以

lim(l+-)t

xeX

令，」

X

lim(l+x)x=lim(l+-)/=e

x->0/TOOf

lim(l+x)x=e

Xf0

limd--/.

例3求38x

lim[(l+—)-t]-1=lim——\1

XT8-x"(1+-!-尸e

解：原式-x

/3+X2x

hm(-------).

例4XT82+X

=lim[(ld——