高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題源講義理數(shù)

全國I卷(理數(shù))

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2019?全國I卷)已知集合M二{x卜4vx<2},N={x|x2-x-6vO}廁MnN等于(C)

(A){x|-4<x<3}(B){x|-4<x<-2}

(C){x|-2<x<2}(D){x|2<x<3}

解析:由x2-x-6<0可得(x-3)(x+2)v0>2vx<3,故MnN={x卜2<x<2}.故選C.

2.(2019?全國I卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則(C)

(A)(x+1)2+y2=1(B)(x-1)2+y2=1

(C)x2+(y-1)2=1(D)x2+(y+1)2=1

解析:由題|Z-i|=|x+(y-1)i|=J%2+(y-l)2=1,化簡可得x2+(y-1)2=1.故選C.

3.(2019?全國I卷)已知a=log20.2,b=202,c=0.20?3,貝u(B)

(A)a<b<c(B)a<c<b

(C)c<a<b(D)b<c<a

解析:取中間值.

a—log20.2<log2l=Ona<0,

b=202>2°=lnb>1,^a<c<b.

0<c=O.20-3<0.2°=1^0<c<1,

故選B.

4.(2019?全國I卷)

古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是簽簽之0.618,稱為黃金分割比例,，著名

的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是苧.若某人滿足上述兩個黃金

分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（B）

(A)165cm(B)175cm

(C)185cm(D)190cm

解析:不妨設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點A,B,C,D,故可得

|AB|=^|BC|,|AC|=^|CD|.

假設(shè)身高為x,可解得|CD尸簽?x,

?…3-V5?…7-3V5

|AC|=--x,|AB|=--x.

7-3V5/?

j/B|=—^―X<26,

由題意可得?

JCD|=亭x>105,

x<7^>(x<178.207,

化簡可得

210>169.894.

5.（2019?全國I卷）函數(shù)f（x尸高辭在卜的圖象大致為（D）

(Q(D)

解析:因為f（?x尸黑寢二-f（x）,

所以f（x）為奇函數(shù);排除A.

又因為f（n戶號＞0,排除B,C,故選D.

6.（2019?全國I卷）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽交'一”

和陰爻如圖就是一重圭卜.在所有重卦中隨機取一重卦則該重卦恰有3個陽爻的概率是（A）

（砥（B慮（端（D電

解析:一共有26=64種可能，其中滿足恰有3個陽爻的有瑪=20種,故概率為翁磊

7.（2019?全國I卷）已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且（a-b）_ib,則a與b的夾角為（B）

(嵋明(C)y(D)y

解析:因為(a-b)j_b,所以(a-b>b=a?b-b2=0,

即ab=b2=|b|2,cos。=儡=瑞『如為a與b的夾角9告.

8.（2019?全國I卷）如圖是求V-的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（A）

2+一244

1

(A)A=—(B)A=2+；

（C）A=^(D)A=1+i

解析:運行程序框圖.

111

A.第一步:A,k=1,是;第二步:A=—^k=2,是;第三步:A=——「卜=3,否，輸出，故A正確.

2

2+42+—2+1

9.（2019?全國I卷）記Sn為等差數(shù)列｛而｝的前n項和.已知$4=0例=5,則（A）

(A)an=2n-5(B)an=3n-10

1

22

(C)Sn=2n-8n(D)Sn=-n-2n

S=4al+6d=0,

解析:由等差數(shù)列性質(zhì)可得.4

、附=%+4d=5,

=n2-4n,

解得?

n=2n-5.

10.（2019?全國I卷）已知橢圓C的焦點為FI（-1,0）,F2（1,0）,過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF21二2|F2B|,|AB|二|BFI|,則C

的方程為(B)

%2%2y2

(A)-+y2=i(B)w+91

(C-(D)衿=1

解析:不妨設(shè)|F2B|=m,

故|FiB|=|AB|=|AF2|+|FzB|=3|F2B|=3m.

由橢圓定義得|FiB|+|FzB|=2a=4m,

1Q

?|F2B|=ia,|BFi|=|a,|AF2|=a,|AFi|=2a-|AF2|=a.

在AAF1F2和ABF1F2中，分別可得:

a21+4c2-出1

COS^F2F1=2xax2c=-，

ia2+4c2-?a2

2-a2

COSZBFF=+-----T——&-

21a

2x2ax2c

72-1

由二角互補可得”n二二,解得a2=3,

aa

故b2=2,方程為

11.(2019?全國I卷)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論:

①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在區(qū)間:仃單調(diào)遞增；

③f(x)在卜TT,TT］有4個零點;④f(x)的最大值為2.

其中所有正確結(jié)論的編號是(C)

(A)①②④(B)②④

(C)①④(D)①③

解析:①由f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),故①正確;

②xe5，TT，時,f(x尸sinx+sinx=2sinx,函數(shù)單調(diào)遞減，故②錯誤；

③xe［0,Tr］時,f(x)=sinx+sinx=2sinx,函數(shù)有兩個零點,f(0)=f(E=0,故xq-TT,0］時,f(0)=f(-TT)=。，故函數(shù)在卜1T鹿有且只有三個

零點，故③錯誤;

④函數(shù)為偶函數(shù)，故只需討論正數(shù)的情況,xe(2kTT,TT+2kTT)(keN)時,f(x)=sinx+sinx=2sinx,最大值為2;xe(rr+2kTT,2TT+2kTT)(k

eN),f(x)=sinx-sinx=0,故函數(shù)最大值為2.

12.(2019?全國I卷)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球OW^0±,PA=PB=PC^ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是

PA,AB的中點/CEF=90°,則球O的體積為(D)

(A)8V6n(B)4V6TT(C)2V6TT(D)V6TT

解析:

如圖,三棱錐P-ABC為正三棱錐,不妨設(shè)PA=PB=PC=2a,底面外接圓半徑為r,

由題意可得EF=a,CF=V3.

在^PAC中，由余弦定理可得

4a2+4-4a21

COSNPAC二

2x2x2a~2a:

故土AC中,EC?=a2+4Qag/a2+2.

又NCEF=90°,

故根據(jù)勾股定理可得EC2+EF2=CF2,

即2a2+2=3^a=y,

SP|PC|=V2.

在RtAPO'C中,0,0「二|75,0冒3。2十2二當(dāng)

-r,曰cr2+/i2r2+O'P2V6

可得R=b=----------=-

20'P2

故體積為$TR3=A后TT.故選D.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2019?全國I卷)曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為.

解析:y=3(x2+3x+1)ex,故切線斜率k=y[x=o=3,故切線方程為y=3x.

答案:y=3x

14.(2019?全國I卷)記Sn為等比數(shù)列面｝的前n項和.若2尸去成=26則Ss=

解析:由成=a6可得憂q6;aiq5,解得aiq=1,

則q=3.故S5=*@當(dāng)

1-q3

冬案?四

口木?3

15.（2019?全國I卷）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成

績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互

獨立廁甲隊以4:1獲勝的概率是.

解析:欲使甲隊4:1獲勝，則第五場甲勝，前四場甲勝三場負(fù)一場,

可能情況為兩主場負(fù)一場或兩客場負(fù)一場，故概率為

P=*0.62x0.4x0.52+C匆.63x0.52=0.18.

答案018

16.（2019?全國I卷）已知雙曲線C:宏多=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為FI,F2,HFi的直線與C的兩條漸近線分別交于

A,B兩點.若FIA=AB,FIBF2B=0,則C的離心率為.

解析：

不妨設(shè)點Bm^m<m>0）,

itTD；IbIb

故BF]=,BF2=..

—>—>

由FIBFZB：。，

,2

可得m2-c2+葭m2=0,解得m=a,故B（a,b）.

->—>

又FiA=4B,

故A竽1，，代入直線y，x可得上上與解得c=2a,故離心率為2.

22a2a2

答案：2

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

（一）必考題洪60分.

17.（2019?全國I卷）（12分）

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A;

(2)若缶+b=2c,求sinC.

解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

由余弦定理得cosA支交］

2bc2

因為0°<Av180°,所以A=60°.

(2)由⑴知B=120°-C.

由題設(shè)及正弦定理得近sinA+sin(120°-C)=2sinC,

即孚+苧cosC+|sinC=2sinC,

可得cos(C+60°)=-y.

由于0°vC<120°,

所以sin(C+60°)=y,

故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=^^.

18.(2019?全國I卷)(12分)

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AAi=4,AB=2/BAD=60°,E,M,N分別是BC.BBi.AiD的中點.

⑴證明:MN||平面CQE;

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

⑴證明:連接BiC.ME.

因為M.E分別為BBi,BC的中點,

1

所以ME憐C,且ME苫BiC.

又因為N為AiD的中點，所以ND=1AiD.

由題設(shè)知AiBiUDC,可得BiCClAiD,故MEQND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN||ED.

又MNC平面EDCi,

所以MN||平面CiDE.

(2)解:由已知可得DEJJDA.

—?

以D為坐標(biāo)原點,D4的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,貝I」A(2,0,0),AI(2,0,4),M(1,V3,2),N(1,0,2),

TT—>—>

&A=(0,0,-4),&M=(-1,V§,-2)&N=(-1,0,-2),MW=(0,-V3,0).

設(shè)m=(x,y,z)為平面AiMA的法向量，

fm-AiM=O,[-%+V3y-2z=0,

lm.A；A=0，-4z=0,

可取m=(V3,1,0).

設(shè)n=(p,q,r)為平面AiMN的法向量,

n-MN=0三二第二*可取n=(2,。,”

則

.n,A1N=0

__=m-n2V3V15

T^cos<m,n>=—=^=—,

所以二面角A-MA1-N的正弦值為

19.(2019?全國I卷)(12分)

已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為|的直線I與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.

⑴若|AF|+|BF|=4,求I的方程;

(2)若4P=3PB,求|AB|.

解:⑴設(shè)直線l:y=5X+t,A(xi,yi),B(X2,y2).

由題設(shè)得F-,0.，故|AF|+|BF|=XI+X2+,由題設(shè)可得xi+X2=-.

由卜=2x+I可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,

(y2=3x

則Xl+X2=-1"；-D

從而-當(dāng)3=|相t=1,

所以I的方程為

Zo

—?T

(2)由ZP=3PB可得yi=-3y2.

(v=2x+t__

由『2'可得y2-2y+2t=0,所以yi+y2=2,從而-3y2+y2=2,故y2=-1,yi=3.

(y2=3x,

代入C的方程得xi=3,X2=g^|AB|="，^.

20.(2019?全國I卷)(12分)

已知函數(shù)f(x尸sinx-ln(1+x),f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

⑴f(x)在區(qū)間存在唯一極大值點；

(2)f(x)有且僅有2個零點.

證明:(1)f(x)=cosXq±,f"(x尸-sinx+^^,xe-1,2,,

f〃(0)=1>0,建二苧懸尸)，

所以存在XoJo,；使fz,(xo)=o.

在同一坐標(biāo)系中畫出y=—J與y=sinx的圖象如圖.

(1+黯

由圖象可知,f(x),f"(x)隨X的變化情況如表:

X(-1.X0)In

XoXo,--

f〃(x)+0-

f(x)極大值

所以f'(x)在區(qū)間存在唯一極大值點.

(2)f[-=1-ln1+]>0,f(e-1)=sin(e-1)-1<0,

所以存在Xie^,e-1-,f(xi)=O.

y=ln(l+x)

①當(dāng)-1vx<0時,f(x)=cosx-，~^v0,f(x)單調(diào)遞減,

又f(0)=0,所以f(x)>0,

②當(dāng)0<x<xi時,sinx>ln(1+x),所以f(x)>0,

③當(dāng)XI〈XV2TT時,sinx〈ln(1+x),所以f(x)<0,

④當(dāng)X>2TT時,sinx<1,ln(1+x)>lne=1,所以f(x)<0.

所以f(x)有兩個零點。和X1.

綜上,f(x)有且僅有2個零點.

21.(2019?全國I卷)(12分)

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠

對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定:

對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以

甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為。和

B，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

⑵若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效，的概率，

則po=O,p8=1,pkapg+bpi+cpi+i(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).1g,?a=0.5,p=0.8.

①證明:{pi+「Pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求p%并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解:(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B，p(x=0)=aB+(1-cQ(1-B),P(X=1)=a(1-B),所以X的分布列為

X-101

P(1-a)Pap+(1-a)(1-p)a(1-P)

(2)①由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-i+0.5pi+0.1pi+i0.1(pi+i-R)=0.4(pi-pi-i),即pi+i-pi=4(pi-pi-i).

又因為p「po=p#O,所以{pi+「pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4,首項為pi的等比數(shù)列.

②由①可得P8=P8-P7+P7-P6+…+P「PO+PO=（P8-P7）+（P7-P6）+…+（pi-po）=《一pi.

由于P8=1,故P尸備，所以P4=（P4-P3）+（P3-P2）+（P2-P1）+（P1-PO）=^-P1=^.

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率

為P4=^=0-0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.

（二）選考題:共10分.請考生在第22~23題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（2019?全國I卷）［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為「一為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點0為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

直線I的極坐標(biāo)方程為2pcos0+V3psin0+11=0.

（1）求C和I的直角坐標(biāo)方程;

（2）求C上的點到I距離的最小值.

解:⑴因為-1〈蓋V1,且

ly11-t24t2

x2+22=:2+——=1f

21+t2(1+t2)2

所以C的直角坐標(biāo)方程為X2+[=1(XA1).

I的直角坐標(biāo)方程為2x+d5y+11=0.

⑵由⑴可設(shè)C的參數(shù)方程為｛；二黑漓a為參數(shù),-TT<a<TT）.

C上的點（cosa,2sina）到I的距離為

12cosa+26sinQ+11143(崎+11

V7

當(dāng)a=-g時,4cos,a1*11取得最小值7,故C上的點到I距離的最小值為近.

23.（2019?全國I卷）［選修4-5:不等式選講］（10分）

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明:

(1)i+1+i<a2+b2+c2;

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.

證明:(1)因為a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ac,

又abc=1,故有

ab+bc+ca111

a2+b2+c2^ab+bc+ca=-------=-+-+-

abcabc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時等號成立.

所以*+*a2+b2+c2.

(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>

3^/(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)>

3x(2Vah)x(2V^c)x(2VHc)=24,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，等號成立.

所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3?24.

全國II卷(理數(shù))

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2019?全國II卷)設(shè)集合A:{x|x2-5x+6>0},B;{x|x-1<0},貝ijAnB等于(A)

(A)H，1)(B)(-2,1)

(C)(-3,-1)(D)(3,+s)

解析:由題意得,A={x|x<2或x>3},B={x|x<1}廁AnB={x|x<1}.故選A.

2.(2019?全國II卷)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)5對應(yīng)的點位于(C)

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

解析:由2=-3+2才導(dǎo)5=-32,對應(yīng)點(-3,-2)位于第三象限.故選C.

—>—?—>—>—>

3.(2019全國II卷)已知48=(2,3),4。=(3,。,|8(?|=1,則48?8。等于(C)

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

解析:由BC=ZCMB=(1,t-3),|BC|二Jl可7百*=1彳導(dǎo)t=3,則BC=(1,0),ZBBC=(2,3>(1,0)=2x1+3x0=2.故選C.

4.(2019?全國II卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大

成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中

繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日1_2點的軌道運行L點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球

質(zhì)量為M2,地月距離為RL點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程緣=(R+r)駕.

設(shè)a=g由于a的值很小，因此在近似計算中生竺Q=3a3,則r的近似值為(D)

R(1+a)

IM?

解得。二

3M71

所以「二QR=3

5.(2019?全國II卷)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最

高分、1個最低分彳導(dǎo)到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(A)

(A)中位數(shù)(B)平均數(shù)(C)方差(D)極差

解析:設(shè)9位評委評分按從小到大排列為X1<X2<X3<X4...<X8<X9.

則①原始中位數(shù)為X5,去掉最低分X1,最高分X9,后剩余X2<X3<X4...<X8,

中位數(shù)仍為X5,

所以A正確.

②原始平均數(shù)±二5(Xl+X2+X3+X4+…+X8+X9),后來平均數(shù)元'=,(X2+X3+X4+…+X8)

平均數(shù)受極端值影響較大,

所以元與可不一定相同,B不正確.

1777

③S2=§K%1W+(%2a)+…+(如-盼］,

鏟=；［(%2次')2+(%3況)2+…+(%8況)2］由②易知,C不正確.

④原極差=X9-X1,后來極差=X8-X2顯然極差變小,D不正確.故選A.

6.(2019?全國II卷)若a>bJM(C)

(A)ln(a-b)>0(B)3a<3b

(C)a3-b3>0(D)|a|>|b|

解析:取a=2,b=1,滿足a>b,ln(a-b)=0,知A錯;因為9=3a>3b=3,^DB錯;取a=1,b=-2,滿足a>b,1=|a|v|b|=2,知D錯,因為幕

函數(shù)y=x3是增函數(shù),a>b,所以a3>b3,故選C.

7.(2019?全國II卷)設(shè)。,0為兩個平面，則。用的充要條件是(B)

(A)a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行

(B)Q內(nèi)有兩條相交直線與B平行

(C)a，B平行于同一條直線

(D)a,B垂直于同一平面

解析:由面面平行的判定定理知:。內(nèi)兩條相交直線都與B平行是。冷的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若。恨則。內(nèi)任意一

條直線都與B平行，所以。內(nèi)兩條相交直線都與B平行是。曲的必要條件，故選3

8.(2019?全國II卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓椅+手=1的一個焦點廁p等于(D)

(A)2(B)3(C)4(D)8

解析:因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓著+小的一個焦點，所以3p-p=12,解得p=8,故選D.

9.(2019?全國II卷)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間\弓單調(diào)遞增的是(A)

(A)f(x)=|cos2x|(B)f(x)=|sin2x|

(C)f(x)=cos|x|(D)f(x)=sin|x|

解析:作出y=|cos2x|圖象,如圖①，由圖象知，其周期為5在區(qū)間單調(diào)遞增,A正確;作出y=|sin2x|的圖象，如圖②,由圖象

知，其周期為5,在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B,因為y=cos|x|=cosx,周期為2n,排除C,作出y=sin|x|圖象,如圖③，知其不是周

期函數(shù)，排除D.故選A.

42

圖①

10.（2019?全國11卷）已知?！?0,5,,2$訪2。=852。+1,則5訪0等于（B）

(A)|(B)f(C*(D)等

解析:因為2sin2a=cos2a+1,

所以4sinacosa=2cos2a.

因為aeb,￡

所以cosa>0.

sina>0,

所以2sina=cos。，又sin2a+cos2a=1,

所以5sin20=l,sin20=g,又sina>0,

所以sina=g,故選B.

11.(2019?全國II卷)設(shè)F為雙曲線(2:捺，=1伯>02>0)的右焦點0為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q

兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(A)

(A)V2(B)V3(C)2(D)V5

解析:設(shè)PQ與x軸交于點A面對稱性可知PQ±x軸,

又因為|PQ|=|OF|=c,

所以|PA卜

2'

所以PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

所以A為圓心|OA|g.

所以P，，又P點在圓x2+y2=a2上，

所以9+9=a2,即一二a2,

44Z

_c2

所以e2=-p=2.

所以e=VX故選A.

p

12.(2019?全國II卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)*《0,1］時1僅尸*僅-1).若對任意xegm］,都有f(xR《,則

m的取值范圍是(B)

(A)吟(B)LZ.

(C)L1.(D)L,1.

解析:由xe(0,1］時,f(x)=x(x-1),且XGR時,f(x+1)=2f(x),

作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示:當(dāng)2<xV3時,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-5整理得9x2-45x+56=0,

所以(3x-7)(3x-8)=0,

所以xi=g,X2等結(jié)合圖象知,m1時，符合題意.

o7

所以x4?8,m］時，都有f(x)z-§成立，即m<-,

所以meLZ，故選B.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2019?全國II卷)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個

車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為

解析:由題意得，經(jīng)停該站的高鐵列車正點數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40,所以該

站所有高鐵平均正點率約為黑=0.98.

40

答案098

14.(2019?全國II卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時,f(x尸ex.若f(|n2)=8,則a=.

解析:因為f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時,f(x)=-eax.

又因為In2e(0,1),

所以-In2<0,所以f(-ln2)=-e-aln2=-f(ln2)=-8.

即e-aln2=8.

兩邊取以e為底的對數(shù)得-aln2=3ln2,所以a=-3.

答案:-3

15.(2019?全國II卷)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=全則&ABC的面積為.

解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

所以(2c)2+c2-2x2cxcx1=62,

即c2=12,

解得c=2V5,c=-2遮(舍去)，

所以a=2c=4V3,

SAABc=|acsinB=1x4V3x2V3x-^=6V3.

答案:68

16.(2019?全國II卷)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北

朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面

體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長

為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.

解析:由圖可知第一層與第三層各有9個面，共計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有18+8=26個面.

H

如圖,將該半正多面體的部分放在棱長為1的正方體中，設(shè)該半正多面體的棱長為X,則AB二BE二X,延長CB與FE交于點G,

延長BC交正方體棱于H,由半正多面體對稱性可知,4BGE為等腰直角三角形,

廳

所以BG=GE=CH=yX,

所以GH=2xyX+x=（V2+1）x=1,

所以x二看二位〕即該半正多面體棱長為&-1.

答案:26V2-1

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

（一）必考題洪60分.

17.（本小題滿分12分）

（2019?全國II卷）

如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AAi上,BE_LEC.

(1)證明:BE_L平面EB1C1；

⑵若AE=AiE,求二面角B-EC-G的正弦值.

⑴證明:由已知得,BQu平面ABBA,BEu平面ABB1A1,故BiCaBE.

又BE±ECi,BICIAECI=CI,

所以BE,平面EBiCi.

⑵解:由⑴知NBEBI=90°,

由題設(shè)知R3ABE些RMAiBiE,

所以NAEB=45。,故AE=AB,AAi=2AB.

—>T

以D為坐標(biāo)原點,D4的方向為x軸正方向,|D4|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D_xyz,則

C(0,1,0),B(1,1,0),Ci(0,1,2),

—>—>T

E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,11),5i=(0,0,2).

設(shè)平面EBC的法向量為n=(xi,yi,zi),

電力=。，即

Xi=0,

則

xi-yi+zi=o,

CE-n=0,

所以可取n=(0,-1,-1).

設(shè)平面ECCi的法向量為m=(X2,y2,Z2),

則仲-m=0,即12Zj=0二

x

lcE-yn=0,l2-y2+Z2=0,

所以可取m=(1,1,0).

丁=n-m1

于是cos<n,m>=——

171117nl2

所以,二面角B-EC-C1的正弦值為號

18.(本小題滿分12分)

(2019?全國II卷)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝，該局

比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互

獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

⑴求P(X=2);

⑵求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

解:⑴X=2就是雙方打成10:10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.因此

P(X=2)=0.5x0.4+(1-0.5)x(1-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲獲勝,就是雙方打成10:10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各

得1分,后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5X(1-0.4)+(1-0.5)X0.4]X0.5X0.4=0.1.

19.(本小題滿分12分)

(2019?全國11卷)已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝滿足ai=1,bi=0,4an+i=3an-bn+4,4bn+i=3bn-an-4.

⑴證明:｛an+bn｝是等比數(shù)列,｛a『bn｝是等差數(shù)列；

⑵求面｝和｛bn｝的通項公式.

1

(1)證明:由題設(shè)得4(an+l+bn+1)=2(an+bn),則an+l+bn+1=-(an+bn).

又因為ai+bl=1,所以｛an+bn｝是首項為1,公比為T的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4(an+「bn+i)=4(an-bn)+8,即an+i-bn+i=an-bn+2.

又因為a「bi=1,所以｛an-加｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

1

(2)解:由(1)知,an+bn二產(chǎn),a「bn=2n-1.

所以an=-[(an+bn)+(an-bn)]=^n+ri--,

bn=1[(an+bn)-(an-bn)]=^r-n+i

20.(本小題滿分12分)

(2019?全國II卷)已知函數(shù)f(x)=lnx-詈.

(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點；

⑵設(shè)xo是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(xo,lnxo)處的切線也是曲線y=ex的切線.

(1)解:f(x)的定義域為(0,1)U(1,+8).

12

因為六刈二『不>°，

X(%-1)

所以f(X)在(0,1),(1,+00)上單調(diào)遞增.

因為f(e)=17T<0,3)=2-*=百>0,

所以f(x)在(1,+8)上有唯一零點xi,即f(Xi)=O.

又0<—<1,f—>=-lnxi+^7=-f(xi)=0,

%i-l、

1

故f(x)在(0,1)有唯一零點

綜上,f(x)有且僅有兩個零點.

(2)證明:因為工=e」nx。,故點Bhnxo,-，在曲線y=e，上.

為0%0

由題設(shè)知f(xo)=O,即Inxo=岑，

力noi

故直線AB的斜率k=?一=^±=1.

x+1

-*nx0-x0.0.ynx0

%O-I0

曲線y=ex在點B-Inxo,—處切線的斜率是上曲線y=lnx在點A(xo,lnxo)處切線的斜率也是工，所以曲線y=lnx在點

%o%0%0

A(xo,lnxo)處的切線也是曲線尸心的切線.

21.(本小題滿分12分)

(2019?全國II卷)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-/記M的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限,PE_LX軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.

①證明:APQG是直角三角形；

②求APQG面積的最大值.

⑴解:由題設(shè)得￡七號，

化簡得1+[=1(1中2),

所以C為中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.

(2)①證明:設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0).

(y=kx,

得x=±-j=^=.

咋+%1Jl+2k2

2

記u=「，則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,O).

Jl+2k2

kk

于是直線QG的斜率為a方程為y=^(x-u).

y=5(x-u),

由?2、得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.(*)

—+^-=1

42

設(shè)G(XG,yG)廁-U和XG是方程(*)的解，故XG=〃(；：：2)，由止匕得yG=^^-

2

迎3

-----2-uk1

從而直線PG的斜率為:^——=3.

葭(3M+2)k

27

2+kz

所以PCUPG,即APQG是直角三角形.

②解:由①得|PQ|=2UVIFF,|PG|=W^^,

所以aPCiG的面積

2

18/c(l+fc)_8(^+k)

S=-|PQ||PG|=-

(1+2后)(2+/)-1+2?+的

設(shè)仁k+；廁由k>0得住2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號.

k

因為S=￡聲在［2,+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)t=2,即k=1時,S取得最大值，最大值為當(dāng)

因此,APQG面積的最大值為學(xué)

(二)選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題計分.

22.(本小題滿分10分)

(2019?全國II卷)［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在極坐標(biāo)系中Q為極點，點M(po,9o)(po>O)在曲線C:p=4sin。上，直線I過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.

⑴當(dāng)現(xiàn)苫時，求po及I的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.

解:⑴因為點M(po,9o)在曲線C上，當(dāng)現(xiàn)告時,po=4sin^=2V3.

由已知得|OP|=|OA|cos^=2.

設(shè)Q(p,9)為I上除P外的任意一點.

在RMOPQ中,pcosb?=|0P|=2.

經(jīng)檢驗，點P在曲線pcosb?=2上.

所以J的極坐標(biāo)方程為pcosbf=2.

(2)設(shè)P(p,”在R3OAP中，

|OP|=|OA|cos0=4cos9,即p=4cos0.

因為p在線段OM上，且AP^OM,故e的取值范圍是卜5..

4Z

所以,P點軌跡的極坐標(biāo)方程為p=4cos9,%翳..

23.(本小題滿分10分)

(2019?全國II卷)［選修4-5:不等式選講］

已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).

⑴當(dāng)a=1時，求不等式f(x)〈0的解集；

⑵若X4?8,1)時,f(x)〈0,求a的取值范圍.

解:⑴當(dāng)a=10^,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).

當(dāng)x<1時I(x)=-2(x?1)2<0;

當(dāng)x>1時,f(xR0.

所以,不等式f(x)〈0的解集為(『I).

(2)因為f(a)=0,所以a>1.

當(dāng)a>1,xe(-a),1)B:t,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.

所以,a的取值范圍是［1,+s).

全國III卷(理數(shù))

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2019?全國III卷)已知集合A={-1,0,1,2}臼二僅卜2《1},則AnB等于(A)

(AX-1,0,1}(B){0,1}

(C){-1,1}(D){0,1,2)

解析:由題意得B=兇-1感<1},則AnB={-1,0,1}.故選A.

2.(2019?全國III卷)若z(1+i)=2i,則z等于(D)

(A)-1-i(B)-1+i(C)1-i(D)1+i

解析片臺前嵩=1+i.故選D.

3.(2019?全國III卷)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.

某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90

位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》

的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為(c)

(A)0.5(B)0.6(C)0.7(D)0.8

解析:由題意得閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)之比為

70+100=07故選C.

4.(2019?全國III卷)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為(A)

(A)12(B)16(C)20(D)24

解析:因為(1+x)4展開式的通項為Tr+產(chǎn)Qx「,所以(1+2x2)(1+x)4的展開式中X3的系數(shù)為(4+2xC*12.故選A.

5.(2019?全國III卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前4項和為15,且a5=3a3+4ai,則a3等于(C)

(A)16(B)8(C)4(D)2

解析:設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的公比為q,

'ar>0,q>0,

23

則《國4-Giq+arq4-arq=15,

42

a1q=3a1q+4aL

彳=；'所以a3=a〔q2=4,故選C.

解得?

6.(2019?全國III卷)已知曲線尸aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b廁(D)

(A)a=e,b=-1(B)a=e,b=1

(C)a=e-1,b=1(D)a=e-1,b=-1

解析:y'=aex+lnx+1,

k=y'|x=i=ae+1=2,

所以a=e-1,

將(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=-1，故選D.

2Y3

7.(2019?全國III卷)函數(shù)丫二百產(chǎn)在卜6,6］的圖象大致為(B)

解析:函數(shù)y二品^是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時,y>0,排除C,D,又f(6尸券于7,排除A.故選B.

8.

(2019?全國III卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心,^ECD為正三角形，平面ECD,平面ABCD.M是線段ED的中點，則

(B)

(A)BM=EN,且直線BM.EN是相交直線

(B)BM=EN,且直線BM.EN是相交直線

(C)BM=EN,且直線BM.EN是異面直線

(D)BM*EN,且直線BM.EN是異面直線

解析:

連接BD,因為^BDE中,N為BD中點,M為DE中點，

所以BM.EN共面