第08節(jié) 不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式（原卷版）

第8節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式基礎(chǔ)知識要夯實1.實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).3.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??[微點提醒]1.有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?.2.對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記a＝0時的情形.3.當Δ<0時，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別.4.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).5.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.6.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大).[微點提醒]1.≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).典型例題剖析考點一不等式的性質(zhì)角度1比較大小及不等式性質(zhì)的簡單應用【例1－1】(1)已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)(一題多解)若＜0，給出下列不等式：①；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正確的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④角度2利用不等式變形求范圍【例1－2】(一題多解)設f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.規(guī)律方法1.比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法2.與充要條件相結(jié)合問題，用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應用.3.與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.4.在求式子的范圍時，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時取到，會導致范圍擴大.【訓練1】(1)(2022·東北三省四市模擬)設a，b均為實數(shù)，則“a>|b|”是“a3>b3”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2022·天一測試)已知實數(shù)a∈(1，3)，b∈，則的取值范圍是________.考點二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當x>0時，f(x)＝x2－2x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________.(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【例2－2】解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).規(guī)律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式.(2)判：計算對應方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?).(3)求：求出對應的一元二次方程的根.(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較(相應方程)根的大小，注意分類討論思想的應用.【訓練2】(2022·清遠一模)關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考點三一元二次不等式恒成立問題角度1在實數(shù)R上恒成立【例3－1】(2018·大慶實驗中學期中)對于任意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.(－2，2) D.(－2，2]角度2在給定區(qū)間上恒成立【例3－2】(一題多解)設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________.角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題【例3－3】已知a∈[－1，1]時不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為()A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)規(guī)律方法1.對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).【訓練3】(2022·河南豫西南五校聯(lián)考)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是()A.[0，1] B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)[思維升華]1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差——變形——判斷正負.2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.[易錯防范]1.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a＜0的情況轉(zhuǎn)化為a＞0時的情形.2.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論.考點四利用基本不等式求最值多維探究角度1通過配湊法求最值【例4－1】(2022·樂山一中月考)設0<x<，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________.角度2通過常數(shù)代換法求最值【例4－2】(2019·濰坊調(diào)研)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，且m，n為正數(shù)，則的最小值為________.【規(guī)律方法】在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：折項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值.【訓練4】(1)(2022·濟南聯(lián)考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，則的最小值為()A.2 B. C.4 D.(2)已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為______.考點五基本不等式在實際問題中的應用【例5】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時).假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元.(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.【規(guī)律方法】1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3.在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.【訓練5】網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－.已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元.考點六基本不等式的綜合應用【例6】(1)(2019·河南八校測評)已知等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為________.(2)(一題多解)(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________.【規(guī)律方法】基本不等式的應用非常廣泛，它可以和數(shù)學的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：1.先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點.2.要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式.3.檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題.【訓練6】(2022·廈門模擬)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A.(－∞，－1) B.(－∞，2－1)C.(－1，2－1) D.(－2－1，2－1)[思維升華]1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點.2.對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.3.對使用基本不等式時等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)y＝x＋(m>0)的單調(diào)性.[易錯防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.達標檢測要扎實一、單選題1．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．若0<m<1，則不等式(x－m)<0的解集為（

）A． B．或C．或 D．3．若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是A． B．C． D．4．下列不等式中成立的是（

）A．若則B．若則C．若則D．若則5．不等式的解集是A． B．C． D．6．已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．7．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．(1,9) B．(9,1)C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)8．若，則（

）A． B． C． D．9．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．11．若，，且，，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．12．不等式的解集為，那么不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或二、填空題13．已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關(guān)系是_____．14．若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是________.15．若命題“，”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________.16．某地每年銷售木材約20萬，每立方米的價格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．三、解答題17．已知集合.（1）若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個元