安徽省蚌埠市皖北私立聯(lián)考2023-2024學年高一下學期5月月考數(shù)學試題

試卷類型：北師大版2023—2024學年（下）安徽高一5月份階段性檢測數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.將角的終邊繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°后與130°角的終邊重合，則與角終邊相同的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意設，解出即可；【詳解】設，解得，所以與角終邊相同的角的集合為，故選：B2.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)和切弦互化計算可得.【詳解】因為為第二象限角，且，所以，所以，故選：B3.在如圖所示的單位圓中，當?shù)娜≈捣秶鸀闀r，的“古典正弦”為弦BC的長．根據(jù)以上信息，當所對的的長為時，的“古典正弦”為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合弧長與半徑的比值等于圓心角求出，再由勾股定理求出弦長即可；【詳解】由題意可得，由弧長與半徑的比值等于圓心角，可得當所對的的長為時，，所以由勾股定理可得，即當所對的的長為時，的“古典正弦”為，故選：B.4.若函數(shù)的最小正周期為且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的解析式可能為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】舉反例可判斷AB錯誤；由降冪公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得C正確；由二倍角的正弦公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D錯誤；【詳解】A：因為當時，；當時，；所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故A錯誤；B：因為當時，；當時，；所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故B錯誤；C：，最小正周期為，又，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，為遞增函數(shù)，故C正確；D：，因為，所以由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，在上不單調(diào)，故D錯誤；故選：C.5.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由輔助角公式變形后得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)的誘導公式求出即可.【詳解】因為，則，因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，，所以，所以最小值為，故選：D6.已知點是重心，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求得答案.【詳解】設的中點為，連接，點是的重心，則在上，，所以，，所以.故選：.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若點P，Q為的圖象與直線的其中兩個交點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圖象找到周期及頂點，通過周期和頂點求得、的值，從而求得，再與聯(lián)立，求得交點，從而求得的最小值.【詳解】由圖象可知，，即，所以.過點，可得，解得，，又，所以，所以.與聯(lián)立，可得，解得或，.不妨取，，所以.故選：C8.我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求其面積的公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積”翻譯成公式，即，其中，，分別為中角，，的對邊，為的面積．現(xiàn)有面積為的滿足，則其內(nèi)切圓的半徑是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根據(jù)正弦定理可得，設，，，，代入題目中所給公式可求得，，，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可知，設，則，，，所以，解得，所以，，，設內(nèi)切圓的半徑為，由，得.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分、共18分．在每小題能出的選項中，有多項侍合題目要求，全部選對的得6分、部分選對的得部分分，有選?的得0分．9.已知向量，，，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.【答案】CD【解析】【分析】利用特例說明A、B，根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷C，根據(jù)向量加法的四邊形法則判斷D.【詳解】對于A，當與同向時，當與反向時，故A錯誤；對于B，當，，，且與不共線時，滿足，，但是與不共線，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，當與同向時；當與反向時；當與不共線時，設，，以、為鄰邊作一個平行四邊形，則，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，即；綜上可得，故D正確.故選：CD10.下列關(guān)于復數(shù)，的說法錯誤的是（）A若，則 B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對于，取即可判斷；對于，設，，，，，，利用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的概念即可判斷；對于，取，，利用復數(shù)的乘法和復數(shù)的模的運算即可判斷.【詳解】對于，若，則，但，故錯誤；對于，設，，，，，，，所以，，所以，故正確；對于，取，，，，所以，，故錯誤；對于，取，，，，，但，故錯誤.故選：.11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.若，則的圖象關(guān)于直線對稱B.若，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是C.若，則在區(qū)間上的值域為D.若，且在區(qū)間上恰有2個零點，則的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)的對稱性舉反例可得A錯誤；由兩角和的余弦公式、二倍角的正余弦公式、輔助角公式化簡可得，在利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合周期公式可得B正確；由整體法和正弦函數(shù)的值域可得C錯誤；由整體法和正弦函數(shù)的零點可得D正確；詳解】A：若，則，若的圖象關(guān)于直線對稱，則，又，，矛盾，故A錯誤；B：由題意可得，則，因為，所以，又因為，所以，又在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故B正確；C：若，則，因為，則，所以，所以，故C錯誤；D：因為，因為，又在區(qū)間上恰有2個零點，所以，解得，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設，則__________．【答案】【解析】【分析】由已知根據(jù)復數(shù)的相等可得，，利用復數(shù)模的計算求解即可.【詳解】因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.13.如圖，一摩天輪的半徑為50m，最高點到地面的距離為110m，該摩天輪按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)一周需要．一游客在摩天輪的艙位轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置時進艙，由此接著轉(zhuǎn)動后，該游客距離地面的高度為__________m．【答案】85【解析】【分析】設在時，距離地面的高度為，其中，，根據(jù)題中條件求出、的值，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后將代入函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】因為摩天輪的半徑為50m，最高點到地面的距離為110m，設在時，距離地面的高度，，，則，可得，則，由摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，所以，所以，即，當時，，所以，因為，所以，所以，當時，，所以游客進艙轉(zhuǎn)動后，該游客距離地面的高度為.故答案為：85.14.我國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設出邊長，建立平面直角坐標系，同時在中利用余弦定理結(jié)合等面積法和勾股定理求出點的坐標，后依據(jù)平面向量的坐標運算建立方程，求解參數(shù)，最后求和即可.【詳解】設邊長為，邊長為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡得，可得，不妨設，如圖，作，以為原點建立平面直角坐標系，在中，設，由余弦定理得，解得，故，，且設，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，然后求出關(guān)鍵點的坐標，最后利用平面向量的坐標運算得到所要求的參數(shù)值，再求和即可．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，．（1）若的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求．【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標表示和向量共線的充要條件計算即可求出；（2）由坐標表示向量垂直的沖要條件結(jié)合模長的計算即可；【小問1詳解】因為的夾角為銳角，所以且與不共線，則解得且，故實數(shù)的取值范圍是且.【小問2詳解】由題可得．由，得，即，解得，則，所以．16.已知復數(shù)．（1）若在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍；（2）若，且，在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，已知為坐標原點，求向量在上的投影向量的坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由復數(shù)的幾何意義列不等式組，解出即可；（2）由復數(shù)的幾何意義求出，再根據(jù)投影向量的坐標計算出結(jié)果即可；【小問1詳解】因為在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，所以解得，故的取值范圍為【小問2詳解】由題可知．所以，，則，，所以．所以在上的投影向量的坐標為．17.在中，角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，利用兩角和的正弦公式即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，所以，因為，所以，因為，所以，則，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，可得，當且僅當時等號成立，即，所以，即周長的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，且當時，有零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換后結(jié)合正弦函數(shù)的值域求出，再根據(jù)有零點，即有解求出即可；（2）由同角的的三角函數(shù)關(guān)系求出，再經(jīng)過拆角變換和兩角差余弦展開式求出即可；【小問1詳解】因為，所以，所以，所以．當時，有零點，即有解，所以的取值范圍為．【小問2詳解】因為，所以．因為，所以，所以，所以．19.已知函數(shù)．（1）在如圖所示的坐標系中，畫出在區(qū)間上的圖象；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)；（3）將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在時有2個不等實根，求實數(shù)的取值范圍和的值．【答案】（1）作圖見解析（2）4（3），【解析】【分析】（1）先列表，再作圖即可；（2）因式分解已知方程后結(jié)合（1）中的圖象作答即可；（3）由圖象平移的性質(zhì)得到，再由正弦函數(shù)的值域結(jié)合方程根的性質(zhì)得到，最后利用