2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽(初二年級)試題參考答案和評分標準

2021年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（初二年級）試題參考答案及評分標準說明：70.第一試（2分，每小題7分）1．已知實數(shù)abc滿足2ac，則

ca

＝ （ ）A.2． B.1． C.0． 【答】B.

1．已知等式可變形為2(a2b)3(3bc)90，3(a2b)(3bc)72，解得a2b18，3bcc18

a

1.已實數(shù)a,b,c滿足abc1，1 a1

1 b3

1c

0，則(a1)2(b3)2(c5)2＝（ ）A.125． B．120． C．100． D．81．【答】C.令a1x，b3y，c5z，則xyz(a1)(b3)(c5)10，且1 1 1 1 由 0得 0，所以01 1 1 1 a1

b

c

x y z所以(a1)2(b3)2(c5)2x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)100.若整數(shù)a,b,c滿足abc且2(abc)則稱(a,b,c)為好組.那么好組個數(shù)為 （ ）A.4． B．3． C．2． D．1．【答】B.若(a,b,c)為好數(shù)組，則abc2(abc)6c，所以ab6.顯然，a只能為1或2.若a，由b6可得b2或，b2時可得c4，b3時可得c5（；2a，則bc，于是可得6，可求得(a,bc5）.3（，241，38和，，5.2017年國中學(xué)競賽初年）題考答及分準 第1頁共5頁）4．已正數(shù)a,b,c滿足a290，b2c0，則a2b2c2＝ （ ）A.424． B.430． C.441． D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得(a9)23(b1)275，所以3(b1)275，又b為正整數(shù)，解得1b6.若b＝1，則(a9)275，無正整數(shù)解；若b＝2，則(a9)272，無正整數(shù)解；若b＝3，則(a9)263，無正整數(shù)解；若b＝4，則(a9)248，無正整數(shù)解；若b＝5，則(a9)227，無正整數(shù)解；若b＝6，則(a9)20，解得a9，此時c18.因此，a9，b＝6，c18，故a2b2c2＝441.梯形中，//，3，4，2，1，梯形面為（ ）102A. ． 1023

． C.32． D.33．1033103

D【答】A.//是平行四邊形，所以1，24132B2

H E C323212

2 .2所以△的積S12 1，故得AH42.2所以梯形的面積為

2 24210214) .42102

3 A D F2 3 3E//E，28，，，則＝ （ ） B CA.56． B.58． C.60． D.62．【答】B.作交的延線點F將△繞點C逆時方旋轉(zhuǎn)90至 G為正方形，且≌△ECD，所以EGED.設(shè)DEx，則DFBGx28，AD70DF98x.在Rt△EAD中，有422(98x)2x2，解得x58.2017年國中學(xué)競賽題初年）考答及分準 第2頁共5頁）11a3a（811a3a1a1a

成的數(shù)a的值為 ．由所給等式可得(1

1a)3a2x

x0

ax211x)3(x2)2，x(x)(x)20，解得x0，x3，x1（，所以a1或a8.1 2 3驗證可知：a1是原方程的增根，a8是原方程的根.所以，a8.ABC100表示100C,CBA的最值．【答】20.因為表示C,CBBA中的最小者，所以100CCB，BA，所以63(100C)2(CB)(BA)300(ABC)120，所以20.又當(dāng)100CCBBA20，即C80,B60,C40時，滿足題設(shè)條件，故可取到20.因此，的最大值為20.設(shè)abp【答】7.

8ab3a

為質(zhì)，則p ．8ab3

ab3

ab3p,因為ab互質(zhì)，所以ab與a和bpab為質(zhì)數(shù)，所以8p或81.ab3由

可得ab1，p4，不合題意；

ab

ab8 p,abab3p,由

可得a7，b1，p7，符合題意；8 1.ab所以p7.4．20個不于7的整數(shù)列一若任意續(xù)干數(shù)和不于7，這20個之和的小為 ．【答】34.2017年國中學(xué)競賽初年）題考答及分準 第3頁共5頁）7,,b7（之7我們來考慮如下7個正整數(shù)7777726這6以，其中一定有兩個正整數(shù)除以7所得的余數(shù)相同，不妨設(shè)為b1b2bi和b1b2bj（1ij

，于是i1bj是7.207的正整數(shù),77714.又因為20＝2×7＋6，所以2146②另外，當(dāng)8，a1,134．第二試（20ABBAB2A解A10abab1a9，1b9abB10ba，B2b)2a)299(a2b211(ab)(ab) 5分因為A2B2是完全平方數(shù)，所以ab，且11|(ab)(ab).又1ab8，1ab18，所以ab10分于是A2B232112(ab)，故ab也是完全平方數(shù)，所以ab＝1或4.……15分如果ab＝1，結(jié)合ab11可求得a6，b5.如果ab＝4，結(jié)合ab11可知沒有正整數(shù)解.因此，a6，b5，A＝65 20分（25分DBC平分平分，BEDE，CFDF，P為AD與EF的交點.證明：EF2PD.2017年國中學(xué)競賽題初年）考答及分準 第4頁共5頁）EP EP F證明設(shè)ADB2，則ADC1802，ADEBDE， 5分由于△BDE是直角三角形，所以EBD90BDE90，所以10分又因為D為BC的中，以，所以Rt△≌Rt△，B D C所以15分又由EBDFDC可知EB//FD，因此，四邊形BDFE是平行四邊形，故EF//BD，于是可得20分又因為BDEPDE，CDFPDF，所以PEDPDE，PFDPDF，所以，所以25分5abc（5abc小值.解因為b,c是正整數(shù)，5是無理數(shù)，故5bc0.

為有理數(shù)，求

a2b2c2的最abc5ab5abc(5ab)(5bc)5b2c2

(5abbc)5(b(5abbc)5(b2ac)

為有理數(shù)，所以b20，故b2a，又a,b,c不全等不設(shè)abc 10分又a2b2c2a2c2b2ac)2b2

(acb)(ac

，所以

a2b2c＝