大學(xué)物理復(fù)習(xí)資料

第一拼質(zhì)段運(yùn)動(dòng)學(xué)

主要內(nèi)容：

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾個(gè)基本概念

二、運(yùn)動(dòng)的描述——四個(gè)基本量

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾個(gè)基本概念

質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系，剛體一理想模型

1.質(zhì)點(diǎn)模型、質(zhì)點(diǎn)系：當(dāng)物體的線度（大小和幾

何形狀）對(duì)所研究物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不

計(jì)時(shí)，用一個(gè)集中了物體所有質(zhì)量的數(shù)學(xué)點(diǎn)來代

表物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)。許多相互聯(lián)

系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點(diǎn)系。

2.剛體模型：當(dāng)物體的形變對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

可以忽略不計(jì)時(shí)，將物體看作為一個(gè)不發(fā)生形變

的幾何體。

參考系一運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性，描述運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性

運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述卻

是相對(duì)的。選取的參考系不同，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況

的描述不同，這就是運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性。描述一

個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，總得選擇另一物體或幾個(gè)彼此之

間相對(duì)靜止的物體作為參考，這就要求引入?yún)⒖?/p>

系。

參考系：用來確定待描述物體空間位置和方向而

引入的物體或物體系。

參考系的選擇？P16

坐標(biāo)系：固定在參考系上，用來確定待描述物體

空間位置和方向而引入的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。

常用坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系（、“，二）球坐標(biāo)系"九夕）

柱坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系（s）

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量描述

6、.衛(wèi)星

x/二■注不（地心）

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)

.........廣切線自然坐標(biāo)系

法線/Vs"-由運(yùn)動(dòng)曲線上任

/荔\T一點(diǎn)的法線和切

線組成

矢量基本知識(shí)

(vector)

有大小、有方向，且服從平行四邊形運(yùn)算法則的量。

線段長(zhǎng)度（大小）：箭頭（方向）。

A（附有箭頭）

印刷A（用黑體字，不附箭頭）

在W平面上的某矢量該矢量~A的坐標(biāo)

7|A

_手書

V...........2

A=xz+vj

印刷

A=xi+yj

在課本中慣用印刷形式.

j分別為KY軸的

；、在本演示課件中，為了

單位矢量（大小為1,方向配合同學(xué)做了書作業(yè)，采

分別沿1；Y軸正向）。用手書形式。

矢量的基本運(yùn)算（fiindamentaloperationsofvectors）

矢量加法（vectorialaddition）

yA=A^A2服從平行四邊形法則

不、A2為鄰邊A為對(duì)角線

A

2/'：若A=（Xi+X2）7+（^1+^2）j

子彳:則不=（無7：2萬(wàn)+（必寸2）1

彳24=4+（一彳2）

I..J4；反向?yàn)橐环駵p法相當(dāng)于將一矢量反向后再相加。

位置矢量與原點(diǎn)、

二位置矢量運(yùn)動(dòng)方程位移

選取有關(guān)J

1位置矢量一一

確定質(zhì)點(diǎn)尸某一時(shí)刻在

坐標(biāo)系里的位置的物理量稱

位置矢量，簡(jiǎn)稱位矢尸.

r=xi+yj+二k

式中八J、上分別為x、y＞二

方向的單位矢量.

位矢產(chǎn)的值為；'=|r=Jf+V+z2

位矢r的方向余弦

rcosa=x/r、2c

1.cos-a+cos^p

\cosp-y/r、

"cos/=z/r+cos7=1

2運(yùn)動(dòng)產(chǎn)程__

產(chǎn)（。=1叱?+興。1+二（從

「二Xr）

分量式]y=v（0

[z=z（r）

從中消去參數(shù)/得軌跡方程

/（MKZ）=0

經(jīng)過時(shí)間間隔△/后，質(zhì)點(diǎn)位置矢量發(fā)生變化，由

始點(diǎn)A指向終點(diǎn)B的有向線段.4B稱為點(diǎn)A到B的

位移矢量△產(chǎn).位移矢量也簡(jiǎn)稱位移.

△產(chǎn)=%—

???rB=rA+\r：.rA

又〃=可+力，7—j

rB=xB7+yBJ/

所以位移下=七D一汽A

Ar=(xB-x4y+05-X4)J

若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，

則在直角坐標(biāo)系。干二中其位

移為

Ar=(xB-XA)7+(v>-yA)j+(zB-zA)k

位移的大小為|Ar|=WAX2+Ay2+AZ2

4路程(As)：質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.

位移的物理意義

A)確切反映物體在空

間位置的變化，與路徑無

關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位

置?B)反映了運(yùn)動(dòng)的矢量

性和疊加性.

Ar=+Ajy+Az后

ArI.+A)~+Az-

:;噎意MI△尸IHA八位矢長(zhǎng)度的變化

斗八弋「~~2~~Iq——2

△r=收+y；+z2-.1-+*+ZJ

。討論位移與路程

(A)外尸2兩點(diǎn)間的路程

是不唯一的，可以是△或As,

而位移△尸是唯一的.

(B)一般情況，位移

大小不等于路程.

A5

(C)耳么南況M二As?

不改變方向的直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)A/f0時(shí)|△川二As.P18

(D)位移是矢量，路程是標(biāo)量.

例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為H,角

速度為。，試分別寫出用直角坐標(biāo)、位矢表示的

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

三速度描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向和位置變化快慢的矢量

1平均速度

在△/時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,其位移為

Ar=r(f+Ar)-r(r)

△，時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的平均速度

=ArAx；Av-

v--=—I+—1

_\t\t\t

或V=vj+vvj平均速度胃與△尸同方向.

平均速度大小同?等+(沙

2瞬時(shí)速度

當(dāng)N-?0時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度,

簡(jiǎn)稱速度

_..△7dr

P—111X1———

△7Ndr

方向：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，

質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向就

是沿該點(diǎn)曲線的切線方向.

大小

當(dāng)加.0時(shí)，|d用二ds

一dA--dy-

v=lim—i+Inn—jV-....Z4-----J

Ar->0A/Ar-?0A/dr-4^-

①=vxi+vyj

若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，

其速度為

_dx-d】'rdz

v=——i+—i+—kr

drdrdr

瞬時(shí)速率：速度力的大小稱為速率

dy.J匕、，

v=(/+(%)2+(/

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑r(x,v)的端點(diǎn)

處，其速度大小為

drdr

（A）—（B）—

drdr

（c）普★（d）舊2居）

結(jié)論：

i.瞬時(shí)速度是描述質(zhì)點(diǎn)位置變化快慢和運(yùn)

動(dòng)方向的矢量。

_(ir

v=—

dr

2.0的方向：

質(zhì)點(diǎn)在/時(shí)刻的速度方向就沿著該時(shí)刻

質(zhì)點(diǎn)所在處運(yùn)動(dòng)軌道的切線而指向前方。

3.。的大?。?/p>

速率'=~dF注意：*工￥

第三次課

?加速度

?運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類問題

?自然坐標(biāo)系

四加速度（反映速度變化快慢的物理量）

1）平均加速度

單位時(shí)間內(nèi)的速度增

量即平均加速度

■△力

a

Ar

,與△幣同方向.

2）（瞬時(shí)）加速度

_..AJdp

a-

4T）2dr

ddd1產(chǎn)ck'.-dc_

加速度v

AP

加速度大小o-lim一

△iO△，

d2x

質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為

drdr

萬(wàn)=ai+aj+a_k

AJv”.

加速度大____________

I222

Q二,4；+4；+4]

0討論]卜巾幺Av膽

AP二v(t+Ar)-P(r)

|Ap|=|p(r+Ar)-P(r)|

在Ob上截取OC—oci

有\(zhòng)v-cb

.一,一

A方=oc+cb

△?n=4C一二速度方向變化

APt二C—速度大小變化

例勻速率圓周運(yùn)動(dòng)

因?yàn)?。（，?。（/+山）

所以■?三0

dr

而忖=a芋0

結(jié)論：

瞬時(shí)加速度是矢量，精確反映速度變化的大

小及速度的方向。

1.1的方向：

當(dāng)A/TOAF的極限方向即（1尸的方向。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，）的方向總是指向軌跡曲

線凹的一面，與同一時(shí)刻速度下的方向一般是不

同的。

2.a的大小

同=不樸吟

描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量的三個(gè)共性:

1.矢量性不依賴于坐標(biāo)系的選擇

2.瞬時(shí)性

3.相對(duì)性：與參考系的選擇有關(guān)。

特別注意:

dr

v工《?

dr

一個(gè)矢量的改變包括該矢量大小的

改變和該矢量方向的改變

?描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量＜1、結(jié)

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程尸=尸（力=xs『+gsf+zsf

運(yùn)位置矢量7=Xi+yj+zk,rx\y2+z2

動(dòng)

狀速度訕塞嚕升韻.+蝌,________

態(tài)

2

=Uxi+uyj+uJ,v=Jvx+^+v/

運(yùn)位移△/■=另一］=

動(dòng)

狀加速度萬(wàn)=游=整暗+靜廣甑

態(tài)

的

變

化瓦=及丁+及〃=修王+省方,a=^ar+a?

前一例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為

R,角速度為小試用直角坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)的速度和

加速度.

解：..

r=A*/+yj=Rcosco"+Rsiu?/j

髀汴W+Mj+z(詞注意：矢量

求導(dǎo)！.

=-(oRsiucor/+R8cosstj

—dt*,—,—

a=一。-Rcos(Dfi-Ro'sin(otj

drJ

例：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線

x=一廠,c

,==>y=-x~-2x(Z=0)

7="+2〃*

求：.\=-4m時(shí)(F>0)粒子的速度、速率、加速度。

分析：工=-4in時(shí)，1=1s

解:

練習(xí)力=?4.=-12"+4=-44

4-=-2jj

例人以恒定的速率”運(yùn)動(dòng)，船之初速為0,求:

解：’=<!)*'一一I對(duì)時(shí)間求導(dǎo)口

船靠岸的速率3*二F其中詈…

解：以射為不究對(duì)象.還取中為參考系.建立如圖生J系］乂出;金矢為

rxi^hj

速生定乂存

注意到X=J，f?見

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題I

已知

任一時(shí)剜的

速或認(rèn)力

加速度〃〈力

_____________R運(yùn)_____________

皿E力■田/右‘皆包存程

箜歹=鱉雙自小dty)

壬加迪慶方程一一八一1血仄才和&

黃石=萬(wàn)⑺及而)v-%=J°”Lv=va>

—曲馴的疆件定程分常JSn.Vo——一■…

運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第一類問題例題

例1:已多質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：

尸=2，+(2-〃方(5Z)

求：⑴時(shí)間，=0T2s的位移和

路程

⑵心時(shí)認(rèn)萬(wàn)

解:⑴r=05,r0=2j;t=2s,%=4"2j

布=-2j-2j=4i-4j

=/=5.65(m)

0=-?

路程4=J：.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：

&9=^(Lv):4-(dj)2=+.\，(Lv

2注意:統(tǒng)一積分變量

PQ=J：(1S=5.91(///)(>|zlr|)

(2)v=牛=2/-2(/;v|^=2/-4；;|r|^^O(/n/s)

另解I，=竺=+工氣:

1=25,.v=4///,rY=1mls代入，得：r=^^3(z///s)

a=^=-2j為恒量指向一j方向

運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題例題

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中，則可用標(biāo)量(分量)代替矢量:

dr,,

?/a:.dr=adf

dr

vr=0時(shí)，r=r0初速度

v-I，。=ja(t)d1

v=dx=rd/

dr

t=0時(shí)，.v=.v0初始位移

X7。=

例2：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿.v軸作直線運(yùn)動(dòng)，”2/,7=0時(shí).％=0,

1，。=0試求：/=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。

解：加速度。不是常量，將“2t寫成：(匕，=2/(1/

對(duì)兩邊積分：r</r=(2/(1/;r=^=r(1)

JoJo(1/

dLv=tzdt;￡dx=￡rd/;x=-Z3(2)

把t=2s分別代入⑴、(2)得：

v=4m/s;.v=JlT=2.67in

當(dāng)把(D、(2)式中/消去，晶r得：

v=r(x);v=(3x):3

例：一質(zhì)點(diǎn)作沿工軸運(yùn)動(dòng)，已知：。=2+6.\二

，二時(shí),v0=0;r0=0求”工）

解：由：。喙

dr=(2+6.v')(1/

應(yīng)用微分變換:被積函數(shù)與積

分變量不同！

drdrdvdr

―^—=~^―?―-V“

drdvdrdv

adx=rdr

a(Lv=rdra=2+6x:

J。(2+6x2)dx=rdr

2(x+工、=ir'

v=+x:舍去

總結(jié)當(dāng)已知。=〃(、?)時(shí)，可采用方法:

adx=rdr=r=r(x)

當(dāng)已知4⑴時(shí)

,、小，,idv

a(v)=T——：dv=-----o

dv〃(T)

ca加速度為恒矢量時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

已知一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng),其加速度萬(wàn)為恒矢量，有

a-aAj+久.1,J7

Cdv=Cadt

drJaoJ。

積分可得v=vQ+at

寫成分量式vx=vQx+axtvy=vQy+ayt

a=aj+cirjv=vQ+cit

dr=vdt'd尸二+W）山

2

積分可得r-7^=vQt+-at

寫成分量式為J[],

ly-3o=VQyf+

勻加速直線運(yùn)動(dòng)

a為常矢量，和外,在一條直線上

41,

只用一維描述X=*0+1"，+?M廣如自由落體

*實(shí)際有些自由落體受空氣阻力很大，如雨點(diǎn)最終

勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速率稱收尾速率（~10m/s）

小結(jié)

勻加速運(yùn)動(dòng)

為常矢量2

ar=rQ^vQt+^at

_dr一

vv+at

dt0n

任）斤o）初始條件給定，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)確定

忽略空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)由初始條件可預(yù)知

ca斜拋運(yùn)動(dòng)自學(xué)

當(dāng)子彈從槍口射出時(shí)，椰子剛好從樹上由靜止

自由下落.試說明為什么子彈總可以射中椰子？

求斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程和最大射程

已知a二a二一時(shí)飛

x0vg,r=0=y0=0

x=vQcosa-t

消去方程中的參數(shù)/得軌跡

v

v=xtana——5

求最大射程2COSF

,2VQ.

aQ=--smacosa

g

2若八

——-=——-cos2cr=0

dag

a

由于空氣阻力，實(shí)際射

最大射程4m=碓/g程小于最大射程.

小結(jié)拋體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：

上升高度最大處所用時(shí)間：r=登電

射程：s=迎"‘

曲線運(yùn)動(dòng)的速度不斷變化、加速度不變

五自然坐標(biāo)系1時(shí)刻位置

M

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程S=S<H),速率"=器

注意：兩個(gè)單位矢量是時(shí)間的函數(shù)

自然坐標(biāo)系產(chǎn)自然坐標(biāo)中的

速度和加速度

J丁切肉靴矢量

質(zhì)點(diǎn)的速度

融愉防fis=s(r),速率“需V=VT=^T

質(zhì)點(diǎn)的加速度

質(zhì)點(diǎn)的加速度

萬(wàn)=忻務(wù)（厲）

沿切向（丹的,稱法向加速度

蟀變僻（患）

d?Vds=一刀一

37=尸不〃一背〃

移切向加速度成an=v

冊(cè)=市■宕S=ar+^=37^r+，萬(wàn)

毋

大小々47+詢小黔*的2

質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)

?若%恒為零，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，若%不

恒等于零，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)；

?若生恒等于零，質(zhì)點(diǎn)作勻速率運(yùn)動(dòng)，若

%不恒等于零，質(zhì)點(diǎn)作變速率運(yùn)動(dòng).

circularmotion

半徑不變，位置隨角度變化

角多顯angularparameters

4角坐標(biāo)e

1?angularcoordinates

G隨時(shí)間變化的方程

稱圓周運(yùn)動(dòng)的

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程約定：反時(shí)針為正

。的單位:弧度(rad)

9角位移

angulardi^lacement

對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)在Af時(shí)間內(nèi)走過

的圓傾對(duì)的圓心角。

在挪蟠況也質(zhì)點(diǎn)在“瞬間的

運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榍邢?泊，一奇JrSt

(U

瞬間對(duì)應(yīng)的微角位移8

的可用右理旋法則,O

表成一空間矢量&.

夜的石豐螺旋法則

3?角速度angularvelocityG)

角速度的大小為。=拈5黑"

觸度的矢量式萬(wàn)=尋

a矢量方向與夜相同

角速蝴單位為弧度?秒T(rad?sT)

4?角加速度angularacceleration百

表示角速度瞬時(shí)變化的快慢.。一。

角加戴的定義為JI

TT-lim_d>_d2^°______

萬(wàn)■瑞k■疔■市。

其方向?yàn)榻撬俣仍隽縊

△方的極限方向'、、一Q

萬(wàn)的單位為弧度?秒f(rad?s-2)

求解圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般方法

求a

加速度G)=」？

希拜：與線坦的關(guān)系

relationbetweenangularandlinearmeasures

常用的線量大小與角量大小關(guān)系式

ds---->ds

/v

。=器?或器二衣0

非=滅翳=及招二區(qū)4

賁Md

￡3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，在求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)兩類問題時(shí)經(jīng)常

采用自然坐標(biāo):

“"5ni，=》曲

質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：%——

勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速圓周運(yùn)動(dòng)

位置，位移rAr0A6

速度i，=化。=警右手螺旋定則

(It

加速度”=好=匕夕=迎=吧

atdrPdtar

運(yùn)勻速運(yùn)動(dòng)s=r=const8=綜+0a>=const

動(dòng)s=+，'o,+京/備+七僅：

勻6=aj+

規(guī)

變

律—F=2fl(s-s0)0H=2夕(6-6。)

速

的I=%+〃，

運(yùn)

描

動(dòng)

述Q)=---------

22

a=constft=const

0討論1

對(duì)于作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下幾種說法中哪一種是

正確的：

（A）切向加速度必不為零；

★B）法向加速度必不為零（拐點(diǎn)處除外）；

（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因

此法向加速度必為零；

（D）若物體作勻速率運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零；

（E）若物體的加速度萬(wàn)為恒矢量，它一定作勻變速

率運(yùn)動(dòng).

1)?！ê愕扔诹愕倪\(yùn)動(dòng)是勻速率直線運(yùn)動(dòng)。X

2)作曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)%不能為零。x

3)%恒等于零的運(yùn)動(dòng)是勻速率運(yùn)動(dòng)。M

4)作變速率運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)%不能為零。x

小結(jié)：(1)勻速率運(yùn)動(dòng)；*A0變速率運(yùn)動(dòng)

(2)a?=0直線運(yùn)動(dòng)；%名。曲線運(yùn)動(dòng)

例：質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

r—21'i+cosittj(SI)

求(1)t=ls時(shí)，切向及法向加速度；

(2)t=ls時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的曲率半徑.

（If*__

解：（1）v=——=4ti-nsiuntj

dr

v=|v|=A66廠r+7t'siu'（7tO

a=94-

=°=I同+7t4cos:（7：r）

0_dir_132f+2^3sin7rtcos

’"2Ji6f2+.2sin";z7)

naj「4m/s2

方法二：用另外一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法。

varr^jv同向或反向

r=4Z/-nsiunr/片不

=4|i=司"4*

fl=4/-7t：COSKfj

(2)求曲率：

V*

p=—

16

m

n

六相對(duì)運(yùn)動(dòng)

O時(shí)間與空間

小車以較低的速度V沿水平軌道先后通過點(diǎn)

?4和點(diǎn)6.地面上人測(cè)得車通過.4、6兩點(diǎn)間的距

離和時(shí)間與車上的人測(cè)

在兩個(gè)相對(duì)作直線運(yùn)動(dòng)的參考系中，時(shí)間的測(cè)

量是絕對(duì)的，空間的測(cè)量也是絕對(duì)的，與參考系無

關(guān)，時(shí)間和長(zhǎng)度的的絕對(duì)性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)

的基礎(chǔ).

兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體之間，

對(duì)彼此運(yùn)動(dòng)的描述是對(duì)稱的

若B相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)速度為

VBA（這里下標(biāo)的前一個(gè)字母代

表運(yùn)動(dòng)物體，后一個(gè)字母代表參

考系），則A相對(duì)于B的運(yùn)動(dòng)

速度v即與VBK小相等，方向與2-26內(nèi)硬%間的神施動(dòng)

相反

同一物體的運(yùn)動(dòng)，在不同的參考系中觀察結(jié)果

不同

伽利略時(shí)空坐標(biāo)變換

f'=f-lit伉=產(chǎn)+"

J逆變換4

t'=tt=f

X*=x-ufX=A/+Ut

或卜:J'逆變換卜I

?-7212

注意：以上結(jié)論是在絕對(duì)時(shí)空觀下得出的：

1.空間絕對(duì)性：長(zhǎng)度的測(cè)量不依賴于參考系.

2.時(shí)間絕對(duì)性：時(shí)間的測(cè)量不依賴于參考系.

經(jīng)典力學(xué)的速度變換定理iy〈c

由加速度變換

絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度+牽連加速度

若「尸常量

絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度

表明：質(zhì)點(diǎn)的加速度對(duì)于相對(duì)作勻速運(yùn)動(dòng)的各個(gè)參

考系是一個(gè)絕對(duì)量.

說明：

1.以上結(jié)論是在絕對(duì)時(shí)空觀下得出的：

只有假定“長(zhǎng)度的測(cè)量不依賴于參考系'’（空間的絕

對(duì)性），才能給出位移關(guān)系式：

Ar=△尸’+△/0

只有假定“時(shí)間的測(cè)量不依賴于參考系''（時(shí)間的

絕對(duì)性），才能進(jìn)一步給出關(guān)系式：

v=v'+r0絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度

G=G+Q°絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度庫(kù)連加速度

絕對(duì)時(shí)空觀只在UvvC時(shí)才成立。

2.不可將運(yùn)動(dòng)的合成與分解和伽利略速度變

換關(guān)系相混：

運(yùn)動(dòng)的合成是在一個(gè)參考系中，總能成立；

伽利略速度變換則應(yīng)用于兩個(gè)參考系之間，

只在〃vvr時(shí)才成立。

3.）二1+%只適用于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的情形。

例:一個(gè)人騎車以18km/h自東向西行進(jìn)，他看見雨點(diǎn)垂直

下落.當(dāng)他的速率增至36km/h時(shí),看見雨點(diǎn)與他前進(jìn)的

方向成120°角下落，求雨點(diǎn)對(duì)地的速度.

解：絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度（速度變換公式）

由右圖|V雨地|=|V人地?|=36km/b

6=90°-60°=30°即雨點(diǎn)的速度方向?yàn)橄蛳缕?0°

動(dòng)力學(xué)研究物體間的相互作用力及由

此產(chǎn)生的物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的規(guī)律。

本講內(nèi)容：

一*、牛頓運(yùn)動(dòng)定律

二、常見力和基本自然力

三、牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例

四、非慣性系、慣性力

一、牛頓運(yùn)動(dòng)定律/力與運(yùn)動(dòng)

二二牛頓運(yùn)動(dòng)定律Newtoifslawsofmet命iM*夕一

o

牛頓第一定律：任何物體都保持靜止

或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到作用在它

上面的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。

牛頓第二定律：運(yùn)動(dòng)的變化與所施加

的力成正比，并且發(fā)生在力所沿蟆孑I暹_(dá)嬴丁、

方向上。比型多

牛頓第三定律：兩物體間的作用力和反作用力，在

同一條直線上，且大小相等方向相反。

口第一定律引進(jìn)了

二個(gè)重要概念

慣性一質(zhì)點(diǎn)不受力時(shí)保持靜止或勻速直線運(yùn)

動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì),其大小用質(zhì)量量度。

力一使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因

一個(gè)參考系

慣性參考系——在慣性參考系中觀察不受力作用

的物體，它將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變

口牛頓第二定律力與運(yùn)動(dòng)的定量關(guān)系

運(yùn)動(dòng)的變化與所施加的力成正比，并且發(fā)生在

力所沿直線方向上。

“運(yùn)動(dòng)，，—?jiǎng)恿课矬w質(zhì)量與速度的乘積萬(wàn)=〃六

“變化”對(duì)時(shí)間的變化率

牛頓第二定律：物體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率與所施加

的力成正比，并且發(fā)生在力所沿直線方向上。

牛頓第二定律微分形式

/=dP=d(mr)=㈣…〃出單位:N

(V(V(V(V

討論：

1.牛頓第二定律只適用于慣性參考系。

2.微分形式普遍適用。

當(dāng)物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)代we),物體的質(zhì)量不隨時(shí)

間變化-d(wr)dr

F=--------=m—=ina

d/(V

3.以下兩種情況下，質(zhì)量不能當(dāng)常量

物體在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)量有所增減，如火箭、雨滴問題。

高速(r>106血大)運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度

相關(guān),如相對(duì)論效應(yīng)問題。

4.力的疊加原理

尸=與+月+E+…

a=I1+萬(wàn)2+萬(wàn)3+?一

"F=FT+FJ+Ff「公=ma*

Fy

一-一一廠=may

V=axi+ayj+a.k1尸-ma.

v1rdu

牛頓第二定律疊加形式Z5=a37=〃傳

5.牛頓第二定律微分形式的分量式--------

、最為實(shí)用!

直角坐標(biāo)系為

V""*cdKd_v'r-'_.d"二

》'=〃耳）F-〃/一r）耳=〃，一~

乙0ivdr乙叱dz-

自然坐標(biāo)下

V~1心\2

Z月二〃，6111——=///—（一）一

P0曲

dvcPs

Z4=〃qni—=in--

dzdr-

□牛頓第三定律

兩個(gè)物體之間作用力戶和反作

用力戶'，沿同一直線，大小相等，

方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上.

★艮2=-巨21

（物體間相互作用規(guī)律）

第三定律揭示了力的兩個(gè)性質(zhì)

成對(duì)性：物體之間的作用是相互的

同時(shí)性：相互作用之間是相互依

存，同生同滅。

二、常見力和基本自然力

?萬(wàn)有引力

F-G'”華G=6.67x.kg-i.s-2

_r2

?重力G=mg

?彈性力發(fā)生形變的物體有恢復(fù)原來形狀的趨

勢(shì)，從而產(chǎn)生力施于使它形變的物體上

（1）壓力與支持力（2）拉力與張力（3）彈力

?摩擦力

1最大靜摩擦力￡=4〃$：靜摩擦力系數(shù)

2滑動(dòng)摩擦力：內(nèi)滑動(dòng)摩擦系數(shù)

注意：摩擦力的方向與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反或相

對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。但不代表摩擦力的作用是阻礙物

體的運(yùn)動(dòng)。

四種基本相互作用

力的種類相互作用的物體力的強(qiáng)度力程

萬(wàn)有引力一切質(zhì)點(diǎn)]0-38無限遠(yuǎn)

弱力大多數(shù)粒子10-13小于10"11D

電磁力電荷10-2無限遠(yuǎn)

強(qiáng)力核子、介子等1*10-15m

*以距源10-”m處強(qiáng)相互作用的力強(qiáng)度為1

溫伯格

弱相互作用電弱相互

薩拉姆

電磁相互作用作用理論

格拉肖

三人于1979年榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).

魯比亞，范德米爾實(shí)驗(yàn)證明電弱相互作用，

1984年獲諾貝爾獎(jiǎng).

電弱相互作用、

強(qiáng)相互作用a“大統(tǒng)一”（尚待實(shí)現(xiàn)）

萬(wàn)有引力作用＞

三、應(yīng)用牛頓定律解題

與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)相似，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題大體可分

為兩類問題。

一.微分問題已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，求質(zhì)點(diǎn)受到的合力戶

例已知一物體的質(zhì)量為///,運(yùn)動(dòng)方程為

r=Acosaf+8sincotj求物體受到的力

解a==44"=-Aco2cosco1-Bco2sincoJ

dzdr

=-co2r

F-ma尸

二.積分問題

已知質(zhì)點(diǎn)受到的合力F,求運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

解題的基本思路

1）確定研究對(duì)象進(jìn)行受力分析；

（隔離物體，畫受力圖）

2）取坐標(biāo)系；

3）列方程（一般用分量式）；

4）利用其它的約束條件列補(bǔ)充方程；

5）先用文字符號(hào)求解，后帶入數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果.

例1:斜面與水平面夾角8=30°,.4,5的質(zhì)量為0.2kg,

與斜面的摩擦系數(shù)為0.4,求加速度和繩的拉力.

解：受力分析及示力圖，建立坐標(biāo)

.??繩與滑輪的質(zhì)量可忽略，工尸^二丁\人

13

列方程：：IHB§-T=fnBa'

A:T-f,-inAgsin0=inAa"**

N-niAgcosQ=0匚力，

摩擦力fr==pmAgcos6

解得：a=B—圖"------------d——g

in4+mB

T_W/J/HBCI+pcos0+siuO)

mA+niB

代入數(shù)字得：〃=0.75〃〃S2,T=：1.81N

例2：質(zhì)量為MM三角形斜面僅8）放在光滑水平桌面C

上，質(zhì)量為，〃的物體H置于斜面上，所有接觸面均

為光滑。

求：，〃從斜面滑下時(shí)，M和/〃相對(duì)于桌面的加速度。

解：分別以.4乃物體為研究對(duì)象

設(shè)5對(duì)C%=＜對(duì)Ba]=。

由加速度變換

aAC=aAB+aBC

對(duì)慣性系應(yīng)用牛頓第二定律，列分量方程

B:Nsin8=M0]

-ifig-NsinQ=0

A:-2Vsiu0=m(al-a.cos0)

NcosG-mg=m[-azsin0)

未知數(shù)為，%N,NMI

解得B對(duì)桌面A對(duì)斜面的加速度分別為

sillcos

mg66=(^O￡sinO

"+〃,sin*

"M+msill.e

A對(duì)桌面的加速度分別為

_J/p$iu0cos0

a=-a.cos6+%-----2---------—

xM+insiu'50

.c{M+///).、c

%=-a.$iu0=-----------------psm*0

」?M+msiirB，

工M+in

aiIgO

a..M

例3：計(jì)算一小球在水中豎直沉降的速度：已知小球

的質(zhì)量為〃/,水對(duì)小球的浮力為與（恒力），水

對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的阻力（粘性力）氏=-所；，K是與

水的粘性、小球半徑有關(guān)的一個(gè)常量。

解：小球受全外力6-5-左為變力

drB

G-B-R=niamg-B-kv=m—

（1/R

，設(shè)當(dāng)1=0時(shí)，%=0

［末速率：當(dāng)1呼上=夫時(shí)】,二如衛(wèi)

分離變量上-二四也G

V

vT-vm

顯然當(dāng)18時(shí)，If

均稱為極限速度

當(dāng)小球所受合外力為零時(shí),

小球以極限速度勻速下降。

例4：一條質(zhì)量為長(zhǎng)為▲的勻質(zhì)鏈條放在一光滑水

平桌面上，開始時(shí)鏈條靜止。長(zhǎng)為片段鉛直下垂。

求：（1）整個(gè)鏈條剛離開桌面時(shí)的速度。記筆記

（2）由開始運(yùn)動(dòng)到完全離開桌面所經(jīng)歷的時(shí)間。

解：以地為參考系建立坐標(biāo)系如圖-4

（1）設(shè)下垂長(zhǎng)度為工時(shí)7

F=^-gx（變力）||14A

由牛頓第二定律得^-gx=Ma（變加速度）

rEdi，M-dv

又因〃=1,不（變量替換）——

，g.v=Mv分離變量Zrdr=gxd.v

Ld.v。

▲J；rdr=gj；工dxv(x)=^^(x:-/:)

鏈條剛離開桌面時(shí)的速度：r(Z)--)

2.計(jì)算由開始運(yùn)動(dòng)到完全離開桌面黑歷的時(shí)間：

例5：圓錐頂點(diǎn)系一長(zhǎng)度為t的輕繩，繩的另一

端系一質(zhì)量為〃，的物體，物體在光滑圓錐

面上以⑦作勻速圓周運(yùn)動(dòng).

求：(1)繩的張力與物體對(duì)圓錐面的壓力、

(2明為何值時(shí)物體離開錐面.A

齪，造物優(yōu)用研交忖兔

1.計(jì)算繩的張力與物體對(duì)圓錐面的壓力

將才與N沿工軸與y軸分解為分量

Tsiu0-Arcos0=zn—;TcosO+JVsin0-mg=0

其中r=/siu0,r=cor=calsiu0

解出T=ma'lsin0+mgcos6

N=mgsin0-inafIsiii6cos0

2.計(jì)算。為何值時(shí)物體離開錐面.物體離開錐

面。貝ljN=。co=co0

mgsinff-m(o2lsin6cos6=0:

例5:光滑水平面上固定半徑為R的圓環(huán)圍屏，質(zhì)量為〃/

的滑塊沿內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為〃。

求：(1)當(dāng)滑塊速度為】,時(shí),所受摩擦力及切向加速度。

(2)滑塊的速度由】，減至】，/3所需時(shí)間。

m

解：應(yīng)用自然坐標(biāo)

1.法向方向N=ni—

R

切向方向Fr=)叫=-"V

2.計(jì)算滑塊的速度由】，減至1?/3所需時(shí)間。

drr:drd/

a,=—=—11—

drR

2R

年=-&叩

還可以求什么？一滑塊沿內(nèi)壁轉(zhuǎn)過的角度隨

2R時(shí)間的變化於ZR

卬=而一正

d(R8)2R

6=6⑺

drR

四、非慣性系慣性力

一慣性參考系

問題：a\0

車的片0時(shí)單擺和小球的狀態(tài)符合牛頓定律

時(shí)單擺和小球的狀態(tài)為什麼不符合牛頓定律?

結(jié)論：在有些參照系中牛頓定律成立，這些系稱為

慣性系。相對(duì)慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參照系是非慣性

系。而相對(duì)慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系也是慣

性系。

慣性參考系：

慣性參考系一牛頓定律嚴(yán)格成立的參考系。

根據(jù)天文觀察，以太陽(yáng)系作為參考系研究行星

運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)遵守牛頓定律，所以太陽(yáng)系

是一個(gè)慣性系。

地球有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，所以地球只能看作一個(gè)

近似的慣性系。

相對(duì)于慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系都是

慣性系。

嚴(yán)格的慣性系是不存在的。

二、慣性力

質(zhì)點(diǎn)/〃在慣性系中F=ma環(huán)隨參考系變化

兩個(gè)平動(dòng)參考系之間，加速度變換：)=萬(wàn)'+。連

在非慣性S系戶注ma牛二在非慣性系不成立

在非慣性系引入虛擬力或慣性力A=_*二

在非慣性系S'系戶+戶o=

例：慣性離心力

在S系向心加速度a=Ra)2

質(zhì)點(diǎn)〃，在S，系靜止r+E=o

耳=-IHR(D'離心方向

科里奧利力來自于物體運(yùn)動(dòng)所具有的慣性,如果物體相

解科里奧利力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)，那么物體除了受到慣性離心力

外，還受到另一種慣性力科里奧利力

在旋轉(zhuǎn)體系中進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，由

于慣性的作用，有沿著原有運(yùn)動(dòng)方向繼

續(xù)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，但是由于體系本身是旋

轉(zhuǎn)的，在經(jīng)歷了一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后，

體系中質(zhì)點(diǎn)的位置會(huì)有所變化，而它原

有的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向，如果以旋轉(zhuǎn)體系

的視角去觀察，就會(huì)發(fā)生一定程度的偏

離.

根據(jù)牛頓力學(xué)的理論，以旋轉(zhuǎn)體系為參

照系，這種質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)偏離原有方

向的傾向被歸結(jié)為一個(gè)外加力的作用，

這就是科里奧利力.

科里奧利力的計(jì)算公式如下

心稱為科里奧利力。式中〃/為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，I,為質(zhì)

點(diǎn)相對(duì)于非慣性系的速度，3為非慣性系轉(zhuǎn)動(dòng)的角

速度。

從物理學(xué)的角度考慮，科里奧利力與離心力一

樣，都不是真實(shí)存在的力，而是慣性作用在非慣性

系內(nèi)的體現(xiàn)，是將牛頓第二定律應(yīng)用于非慣性系而

引入的修正項(xiàng)，無施力者，但在非慣性參考系中，

這一力也可以感受到，觀察到。

Fc=2///rx6

科里奧利力垂直于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣性系的速

度，因此科氏力不作功。它不斷改變】,的方向，

但不改變］,的大小，使軌跡彎曲呈圓弧形。

在地球上，運(yùn)動(dòng)物體會(huì)由于地球的自轉(zhuǎn)而受到

科里奧利力的作用，如落體偏東；氣體受到科里

奧利力影響形成環(huán)流；北半球的河流都是右岸比

較陡峭，左岸比較平緩。而傅科擺，則是地球作

為非慣性系的一個(gè)生動(dòng)的證明。

科里奧利力產(chǎn)生的影響

在地球科學(xué)領(lǐng)域

由于自轉(zhuǎn)的存在，地球并非一個(gè)慣性系，而是一個(gè)轉(zhuǎn)

動(dòng)參照系，因而地面上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)受到科里奧利力

的影響。地球科學(xué)領(lǐng)域中的地轉(zhuǎn)偏向力就是科里奧利

力在沿地球表面方向的一個(gè)分力。地轉(zhuǎn)偏向力有助于

解釋一些地理現(xiàn)象，如河道的一邊往往比另一邊沖刷

得更厲害。

1.傅科擺

擺動(dòng)可以看作一種往復(fù)的直

線運(yùn)動(dòng)，在地球上的擺動(dòng)會(huì)受

到地球自轉(zhuǎn)的影響。只要擺面

方向與地球自轉(zhuǎn)的角速度方向

存在一定的夾角，擺面就會(huì)受

到科里奧利力的影響，而產(chǎn)生

一個(gè)與地球自轉(zhuǎn)方向相反的扭

矩，從而使得擺面發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

在北半球，此力永遠(yuǎn)朝向擺速

的右側(cè)，使擺動(dòng)平面順時(shí)針方

向轉(zhuǎn)動(dòng)（南半球相反）。

3.相對(duì)運(yùn)動(dòng)

位矢變換弓產(chǎn)%十七

位移變換M0=A%+A人

速度變換Vpo=Vpo,+v00,

如果的相對(duì)運(yùn)動(dòng)只有平動(dòng)，則

加速度變換丐。二七十）”

4.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題

第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻

的速度和加速度。求解這類問題的基本方法是微分法。

第二類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的加速度（或速度）隨時(shí)間的變

化規(guī)律和初始條件，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和運(yùn)動(dòng)方

程，求解這類問題的基本方法是積分法。

5.牛頓運(yùn)動(dòng)定律

第一定律可認(rèn)為是慣性參考系的定義，掌握要點(diǎn)：

慣性、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因-力。

第二定律是在慣性參考系中力的瞬時(shí)作用規(guī)律，掌握

要點(diǎn):質(zhì)量是慣性定量表述，力是產(chǎn)生加速度的原因。

F=md=—P=mv

（1/

對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)，在直角坐標(biāo)系:

r..=

對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)，在自然坐標(biāo)系丫“明

F?=maH

第三定律指出力是物體間的相互作用，注意作用的對(duì)象

在研究質(zhì)點(diǎn)系的問題中最常用。

6.力學(xué)中常見的三種力

重力、萬(wàn)有引力?=〃電，F(xiàn)=-G^r

彈性力f=-kxi摩擦力,「UN

7.非慣性系與慣性系

非慣性系本不適用牛頓定律，為了應(yīng)用牛頓第二定律，弓I

入非慣性力一一種不真實(shí)(并非來自其他物體)的力：

在有平動(dòng)加速度。的非慣性系F^-ma

在以角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性系尸0=-〃"。?

8.牛頓定律適用的條件為:宏觀、低速、慣性參考系。

9.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題

第一類:已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài),求物體受力或施與其他物體的力,

第二類:已知受力情況,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

由課堂討論題

1.速度矢量和加速度矢量是怎樣定義的?寫出定義式。

若一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為.v=x(O⑴，有人求速度加速度作法如

下：______,

r=yjx2+y2速度加速度

如此作法是否正確?并說明理由.

(1)試就質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一特例說明.

(2)寫出］，和大；。和d的正確表達(dá)式.

(3)試就質(zhì)點(diǎn)作一般曲線運(yùn)動(dòng)情況分別標(biāo)出&?.&：.|回Av.

講討論去答耳：*多里各式的含義?

解：(1)不正確，以圓周運(yùn)動(dòng)為例：

x=Rcosta

r=+y'=R

y=Rsinan

=>=O.nX=o

結(jié)果不正確，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度和加速度顯然

不為零。

/■、.drIdrI.drd:r

(2)"=方，"=舄；〃=瓦=旅

仍以圓周運(yùn)動(dòng)為例，戶=Rcos(oti+Rsiu(otj

v==-co2?sincori+a)Rcoscor/,v=|r|=(oR

門

a.=—dr=R—dco=Rcc。.a.=co-'Rc

(Vdr

由圖可見，亙?yōu)樽銮€運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度；

|^1-I"

二1為速度的大小，即速率；

dr

上既不是速度也不是速率，它是速度沿徑向分量

dr的大小。

所以，在圓周運(yùn)動(dòng)中，2=0

(1/

所以,巴為加速度在速度方向上的分量，即

“切向加速度。

*為物體的加速度矢量。

|(lv|

5TL是加速度的大小。

2.切向加速度和法向加速度是如何