2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章算法初步統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第三講用樣本估計(jì)總體學(xué)案含解析新人教版

PAGE第三講用樣本估計(jì)總體學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來(lái)表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，從中可以看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布狀況．繪制頻率分布直方圖的步驟為：①__求極差__；②__確定組距與組數(shù)__；③__將數(shù)據(jù)分組__；④__列頻率分布表__；⑤__畫(huà)頻率分布直方圖__．(2)頻率分布折線(xiàn)圖順次連接頻率分布直方圖中__各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)__，就得到頻率分布折線(xiàn)圖．(3)總體密度曲線(xiàn)總體密度曲線(xiàn)反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能供應(yīng)更加精細(xì)的信息．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二莖葉圖(1)莖葉圖中莖是指__中間__的一列數(shù)，葉是從莖的__旁邊__生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．(2)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是可以__保留__原始數(shù)據(jù)，而且可以__隨時(shí)__記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)便利．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．(3)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝__eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)__，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平．(4)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝__eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])__，反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度．(5)方差：s2＝__eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]__，反映了樣本數(shù)據(jù)的離散程度．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)(1)若一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2，…，n)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)組axi＋b(i＝1,2，…，n，a，b為常數(shù))的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))＋b，方差為a2·s2．(2)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的，均為eq\f(1,2)．③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．(√)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．(×)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的詳細(xì)數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．(√)(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的依次寫(xiě)，右側(cè)的葉按從小到大的依次寫(xiě)，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次．(×)(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(√)(6)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(×)題組二走進(jìn)教材2．(P81A組T1改編)A．95,94 B．92,86C．99,86 D．95,91[解析]由莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個(gè)，故92為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選B．3．(P7T1)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有__25__人．[解析]100×(0.5×0.5)＝25(人)．題組三走向高考4．(2024·新課標(biāo)Ⅲ)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2，…，10xn的方差為(C)A．0.01 B．0.1C．1 D．10[解析]∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，∴依據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L(zhǎng)，∴數(shù)據(jù)10x1,10x2，…，10xn的方差為：100×0.01＝1，故選C．5．(2024·天津)從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為(B)A．10 B．18C．20 D．36[解析]直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)的頻率為(6.25＋5)×0.02＝0.225，則被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為0.225×80＝18個(gè)，故選B．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一頻率分布直方圖——自主練透例1(1)(2024·江西贛州十四縣聯(lián)考)中心電視臺(tái)播出《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火遍全國(guó)，下面是組委會(huì)在選拔賽時(shí)隨機(jī)抽取的100名選手的成果，按成果分組，得到的頻率分布表如下所示：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[160,165)0.100笫2組[165,170)①第3組[170,175)20②第4組[175,180)200.200第5組[180,185)100.100合計(jì)1001.00(ⅰ)請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖(用陰影表示)．(ⅱ)為了能選拔出最優(yōu)秀的選手，組委會(huì)確定在筆試成果高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取5名選手進(jìn)入其次輪面試，則第3,4,5組每組各抽取多少名選手進(jìn)入其次輪面試？(ⅲ)在(ⅱ)的前提下，組委會(huì)確定在5名選手中隨機(jī)抽取2名選手接受考官A面試，求第4組至少有一名選手被考官A面試的概率．(2)(2024·湖北恩施州質(zhì)檢)為了解人們對(duì)環(huán)保學(xué)問(wèn)的認(rèn)知狀況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)A地區(qū)隨機(jī)選取n個(gè)居民進(jìn)行了環(huán)保學(xué)問(wèn)問(wèn)卷調(diào)查(滿(mǎn)分為100分)，并依據(jù)問(wèn)卷成果(不低于60分記為及格)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組)，若問(wèn)卷成果最終三組頻數(shù)之和為360，則下列結(jié)論正確的是__②③④__．①n＝480②問(wèn)卷成果在[70,80)內(nèi)的頻率為0.3③a＝0.030④以樣本估計(jì)總體，若對(duì)A地區(qū)5000人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則約有1250人不及格[解析](1)(ⅰ)第1組的頻數(shù)為100×0.100＝10，所以①處應(yīng)填的數(shù)為100－(10＋20＋20＋10)＝40，從而第2組的頻率為eq\f(40,100)＝0.400．②處應(yīng)填的數(shù)為1－(0.1＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.200．頻率分布直方圖如圖所示．(ⅱ)因?yàn)榈?,4,5組共有50名選手，所以利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進(jìn)入其次輪面試時(shí)，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：eq\f(20,50)×5＝2，第4組：eq\f(20,50)×5＝2，第5組：eq\f(10,50)×5＝1，所以第3,4,5組分別抽取2人，2人，1人進(jìn)入其次輪面試．(ⅲ)(理)記“第4組至少有一名選手被考官A面試”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝1－P\o(A,\s\up6(－))＝1－\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝\f(7,10)))(文)設(shè)第3組的2位選手為A1，A2，第4組的2位選手為B1，B2，第5組的1位選手為C1，則從這五位選手中抽取兩位選手有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共10種狀況．其中第4組的2位選手B1，B2，中至少有一位入選的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有7種狀況，所以第4組至少有一名選手被考官A面試的概率為eq\f(7,10)．(2)由(0.010＋0.015＋0.015＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，得a＝0.030，n＝eq\f(360,10a＋0.025＋0.005)＝600．故①不正確，③正確；成果在[70,80)內(nèi)的頻率為10a＝0.3，故②正確；若對(duì)A地區(qū)5000人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則約有5000×(0.1＋0.15)＝1250人不及格，故④正確．名師點(diǎn)撥應(yīng)用頻率分布直方圖時(shí)的留意事項(xiàng)用頻率分布直方圖解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識(shí)圖駕馭信息是解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn)：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形高的比也就是其頻率之比；(3)頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，全部的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·安徽“皖南八?！泵?某校高三年級(jí)有400名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，成果都在[80,130](單位：分)內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖，則這次測(cè)試數(shù)學(xué)成果不低于100分的人數(shù)為_(kāi)_220__．(2)(2024·山西適應(yīng)性考試)某病毒引起的肺炎的潛藏期平均為7天左右，短的約2～3天，長(zhǎng)的約10～14天，甚至有20余天．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)對(duì)400名確診患者的潛藏期進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到以下頻率分布直方圖．依據(jù)該直方圖估計(jì)：要使90%的患者顯現(xiàn)出明顯病狀，需隔離視察的天數(shù)至少是(C)A．12 B．13C．14 D．15[解析](1)依據(jù)頻率分布直方圖知：(2a＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1?a計(jì)算出數(shù)學(xué)成果不低于100分的頻率為：(0.03＋0.02＋0.005)×10＝0.55；所以這次測(cè)試數(shù)學(xué)成果不低于100分的人數(shù)為0.55×400＝220人．(2)由題可知，第一，二，三，四，五組的頻率分別為0.16，0.4，0.32,0.08,0.04．因?yàn)榍叭M的頻率和為0.88，故要使90%的患者顯現(xiàn)出明顯病狀，則需隔離視察的天數(shù)至少是：13＋eq\f(0.9－0.88,0.02)＝14，故選C．考點(diǎn)二莖葉圖——師生共研例2(2024·四川省樂(lè)山市調(diào)研)胡蘿卜中含有大量的β－胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素A，現(xiàn)從a，b兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的β－胡蘿卜素(單位mg)得到莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是(C)ab64423864143.13.23.33.42371111257A．eq\x\to(x)a＜eq\x\to(x)bB．a(chǎn)的方差大于b的方差C．b品種的眾數(shù)為3.31D．a(chǎn)品種的中位數(shù)為3.27[解析]由莖葉圖得：b品種所含β－胡蘿卜素普遍高于a品種，∴eq\x\to(x)a＜eq\x\to(x)b，故A正確；a品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比b品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，∴a的方差大于b的方差，故B正確；b品種的眾數(shù)為3.31與3.41，故C錯(cuò)誤；a品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：eq\f(3.23＋3.31,2)＝3.27，故D正確．名師點(diǎn)撥莖葉圖的繪制及應(yīng)用(1)莖葉圖的繪制需留意：①“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．(2)莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)．通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱(chēng)，數(shù)據(jù)分布是否勻稱(chēng)等．〔變式訓(xùn)練2〕(2024·山東)如圖所示的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x與y的值分別為(A)甲組乙組625x4567917y8A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7[解析]甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5．又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3．故選A．考點(diǎn)三,樣本數(shù)字特征——多維探究角度1樣本數(shù)字特征與頻率分布直方圖例3(1)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是(B)A．12.5,12.5 B．12.5,13C．13,12.5 D．13,13[解析]由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為eq\f(10＋15,2)＝12.5，因?yàn)?.04×5＝0.2,0.1×5＝0.5，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，所以中位數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為x，則(x－10)×0.1＝0.5－0.2，解得x＝13．角度2樣本數(shù)字特征與莖葉圖(2)將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法分辨，在圖中以x表示：eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(8,9))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(77,4010x91))則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為_(kāi)_eq\f(36,7)__．[解析]由圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4，∴s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝eq\f(36,7)．角度3樣本數(shù)字特征的計(jì)算(3)(2024·湖北武漢、襄陽(yáng)、荊門(mén)、宜昌四地六?？荚嚶?lián)盟聯(lián)考)已知某7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差s2為(C)A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4[解析]設(shè)某7個(gè)數(shù)據(jù)分別為a1，a2，…，a7，則由題意得a1＋a2＋…＋a7＝5×7＝35，(a1－5)2＋(a2－5)2＋…＋(a7－5)2＝4×7＝28，加入新數(shù)據(jù)5后的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(35＋5,8)＝5，方差s2＝eq\f(a1－52＋a2－52＋…＋a7－52＋5－52,8)＝eq\f(28,8)＝eq\f(7,2)．故選C．名師點(diǎn)撥平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大?。沧兪接?xùn)練3〕(1)(角度1)某小區(qū)共有1000戶(hù)居民，現(xiàn)對(duì)他們的用電狀況進(jìn)行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖所示，則該小區(qū)居民用電量的中位數(shù)為_(kāi)_155__，平均數(shù)為_(kāi)_156.8__．(2)(角度2)(2024·陜西西安八校聯(lián)考)在一次技能競(jìng)賽中，共有12人參與，他們的得分(百分制)莖葉圖如圖，則他們得分的中位數(shù)和方差分別為(B)789846779148899A．8954.5 B．8953.5C．8753.5 D．8954(3)高鐵、掃碼支付、共享單車(chē)、網(wǎng)購(gòu)并稱(chēng)中國(guó)“新四大獨(dú)創(chuàng)”，近日對(duì)全國(guó)100個(gè)城市的共享單車(chē)和掃碼支付的運(yùn)用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車(chē)運(yùn)用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2：其中掃碼支付運(yùn)用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2，3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，方差為s′2，則eq\o(x,\s\up6(－))′，s′2分別為(C)A．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,3s2＋2 B．3eq\o(x,\s\up6(－))，3s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2 D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2＋2[解析](1)中位數(shù)為：150＋(170－150)×eq\f(0.1,0.02×20)＝155．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020×20×160＋0.005×20×180＋0.003×20×200＋0.002×20×220＝156.8．(2)由題可知，中位數(shù)為：eq\f(87＋91,2)＝89，先求平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(78＋79＋84＋86＋87＋87＋91＋94＋98＋98＋99＋99,12)＝90，S2＝eq\f(1,12)[(－12)2＋(－11)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－3)2＋(－3)2＋12＋42＋82＋82＋92＋92]＝53.5，故中位數(shù)為：89，方差為53.5，故選：B．(3)明顯eq\o(x,\s\up6(－))′＝3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，而每個(gè)數(shù)據(jù)上都加上或減去相同數(shù)不影響方差，但每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以a，則方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，故選C．考點(diǎn)四,折線(xiàn)圖——師生共研例4(2024·河南頂級(jí)名校模擬改編)如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度改變的折線(xiàn)圖，依據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論正確的是(A)A．連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天B．這15天日平均溫度的極差為15C．由折線(xiàn)圖能預(yù)料16日溫度要低于19D．由折線(xiàn)圖能預(yù)料本月溫度小于25℃的天數(shù)少于溫度大于25[解析]A選項(xiàng)，日平均溫度的方差的大小取決于日平均溫度的波動(dòng)的大小，7,8,9三日的日平均溫度的波動(dòng)最大，故日平均溫度的方差最大，正確；B選項(xiàng)，這15天日平均溫度的極差為18℃，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，由折線(xiàn)圖無(wú)法預(yù)料16日溫度是否低于19℃，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由折線(xiàn)圖無(wú)法預(yù)料本月溫度小于25℃名師點(diǎn)撥折線(xiàn)圖可以顯示隨時(shí)間(依據(jù)常用比例放置)而改變的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此特別適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．〔變式訓(xùn)練4〕甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成果統(tǒng)計(jì)如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲、eq\o(x,\s\up6(－))乙，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(B)①每次考試甲的成果都比乙的成果高②甲的成果比乙穩(wěn)定③eq\o(x,\s\up6(－))甲肯定大于eq\o(x,\s\up6(－))乙④甲的成果的極差大于乙的成果的極差A(yù)．1 B．2C．3 D．4[解析]其次次考試甲的成果比乙低，①錯(cuò)；由圖可知甲的成果比乙的成果波動(dòng)小，②正確，④錯(cuò)；甲的平均成果明顯比乙的平均成果高，③正確；故選B．名師講壇·素養(yǎng)提升高考與頻率分布直方圖例5(理)(2024·安徽省池州市期末)高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示，成果分組區(qū)間為：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]．其中a，b，c成等差數(shù)列且c＝2a，物理成果統(tǒng)計(jì)如表．(說(shuō)明：數(shù)學(xué)滿(mǎn)分150分，物理滿(mǎn)分100分)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)6920105(1)依據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成果的平均分；(2)依據(jù)物理成果統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)估計(jì)物理成果的中位數(shù)；(3)若數(shù)學(xué)成果不低于140分的為“優(yōu)”，物理成果不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從今6人中隨機(jī)抽取3人．記X為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和期望值．(文)(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)甲、乙兩人想?yún)⑴c某項(xiàng)競(jìng)賽，依據(jù)以往20次的測(cè)試，將樣本數(shù)據(jù)分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五組，并整理得到如下頻率分布直方圖：已知甲測(cè)試成果的中位數(shù)是75．(1)求x，y的值，并分別求出甲、乙兩人測(cè)試成果的平均數(shù)(假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替)；(2)從甲、乙兩人測(cè)試成果不足60分的試卷中隨機(jī)抽取3份，求恰有2份來(lái)自乙的概率．[解析](理)(1)依據(jù)頻率分布直方圖得，(a＋b＋2c＋0.024＋0.020＋0.004)×又因a＋c＝2b，c＝2a解得a＝0.008，b＝0.012，c＝0.016，故數(shù)學(xué)成果的平均分eq\o(x,\s\up6(－))＝85×0.04＋95×0.12＋105×0.16＋115×0.2＋125×0.24＋135×0.16＋145×0.08＝117.8(分)，(2)總?cè)藬?shù)50分，由物理成果統(tǒng)計(jì)表知，中位數(shù)在成果區(qū)間[70,80)，所以物理成果的中位數(shù)為75分．(3)數(shù)學(xué)成果為“優(yōu)”的同學(xué)有4人，物理成果為“優(yōu)”有5人，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，故兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人，故X的取值為0、1、2、3．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，所以分布列為：X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)∴期望值為E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2)．(文)(1)∵甲測(cè)試成果的中位數(shù)為75