2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)必備學(xué)問(wèn)·素養(yǎng)奠基1.分類變量:用來(lái)區(qū)分不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量,其取值可以用實(shí)數(shù)表示.2.2×2列聯(lián)表及隨機(jī)事務(wù)的概率(1)2×2列聯(lián)表:假如隨機(jī)事務(wù)X與Y的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式Y(jié)=0Y=1合計(jì)X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d在這個(gè)表格中,核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子,所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表.(2)2×2列聯(lián)表中隨機(jī)事務(wù)的概率:如上表,記n=a+b+c+d,則事務(wù){(diào)Y=0}發(fā)生的概率可估計(jì)為__P(Y=0)=QUOTE____________________________;

事務(wù)QUOTE發(fā)生的概率可估計(jì)為__PQUOTE=QUOTE_______________________;

事務(wù)QUOTE發(fā)生的概率可估計(jì)為__PQUOTE=QUOTE____________.

事務(wù)QUOTE發(fā)生的概率可估計(jì)為__PQUOTE=QUOTE___________.

3.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè):設(shè)X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對(duì)分類變量.由于QUOTE和QUOTE,QUOTE和{Y=1}都是互為對(duì)立事務(wù),故要推斷事務(wù)QUOTE和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián),須要推斷假定關(guān)系__H0:P(Y=1|X=0)=PQUOTE__是否成立.通常稱H0為零假設(shè).

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn):利用隨機(jī)變量χ2來(lái)推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).(3)公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d為樣本容量.(4)比照表及檢驗(yàn)規(guī)則:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828當(dāng)χ2≥xα?xí)r就推斷“X與Y不獨(dú)立”,這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,可以認(rèn)為“X與Y獨(dú)立”.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)2×2列聯(lián)表只有4個(gè)格子.()(2)χ2的大小是推斷事務(wù)A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量.()(3)當(dāng)χ2≥3.841時(shí)有95%的把握說(shuō)事務(wù)A與B有關(guān).()提示:(1)×.2×2列聯(lián)表核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子.(2)√.依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)意義可知.(3)√.由比照表可得.2.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:男女合計(jì)愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110經(jīng)計(jì)算得χ2=QUOTE≈7.8.則正確結(jié)論是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”【解析】選C.依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法,正確選項(xiàng)為C.3.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表:y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a,b的值分別為________.

【解析】a=73-21=52,b=100-46=54.答案:52,54關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一列聯(lián)表與等高條形圖【典例】某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)覺(jué):在平常的模擬考試中,性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情驚慌,性特別向的學(xué)生594人中有213人在考前心情驚慌.(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù),作出考前心情與性格的列聯(lián)表,并求性特別向的學(xué)生中考前心情驚慌的概率.(2)作出等高條形圖,利用圖形推斷考前心情驚慌與性格類型是否有關(guān)系.【思維·引】(1)弄清題意,列出2×2列聯(lián)表,依據(jù)列聯(lián)表,用頻率估計(jì)概率.(2)利用列聯(lián)表中數(shù)據(jù),畫出等高條形圖,直觀推斷.【解析】(1)作列聯(lián)表如下:性格內(nèi)向性特別向合計(jì)考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475合計(jì)4265941020由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得,性特別向的學(xué)生中考前心情驚慌的概率為QUOTE=QUOTE.(2)相應(yīng)的等高條形圖如圖所示:圖中陰影部分表示考前心情驚慌與考前心情不驚慌中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例,從圖中可以看出考前心情驚慌的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不驚慌樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高,可以認(rèn)為考前驚慌與性格類型有關(guān).【內(nèi)化·悟】列2×2列聯(lián)表的關(guān)注點(diǎn)1.作2×2列聯(lián)表時(shí),留意應(yīng)當(dāng)是4行4列,計(jì)算時(shí)要精確無(wú)誤.2.作2×2列聯(lián)表時(shí),關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.【類題·通】利用等高條形圖推斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟【習(xí)練·破】1.在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表.【解析】列表如下:看電視運(yùn)動(dòng)合計(jì)女432770男213354合計(jì)6460124

2.網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大,尤其是對(duì)青少年,為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成果的影響,某地區(qū)教化主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查,發(fā)覺(jué)其中常常上網(wǎng)的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人不及格.利用圖形推斷學(xué)生常常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成果有關(guān)嗎?【解析】依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表:常常上網(wǎng)不常常上網(wǎng)合計(jì)不及格80120200及格120680800合計(jì)2008001000得出等高條形圖如圖所示:比較圖中陰影部分的高可以發(fā)覺(jué)常常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于常常上網(wǎng)及格的頻率,因此可以認(rèn)為常常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成果有關(guān).【加練·固】當(dāng)某礦石粉廠生產(chǎn)一種礦石粉時(shí),在數(shù)天內(nèi)就有部分工人患職業(yè)性皮膚炎.在生產(chǎn)季節(jié)期間,隨機(jī)抽取車間工人抽血化驗(yàn),75名穿新防護(hù)服的車間工人中5例陽(yáng)性,70例陰性,28名穿舊防護(hù)服的車間工人中10例陽(yáng)性,18例陰性,請(qǐng)用圖形判定這種新防護(hù)服對(duì)預(yù)防工人職業(yè)性皮膚炎是否有效.(注:顯陰性即未患皮膚炎)【解析】由題目所給的數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表:陽(yáng)性例數(shù)陰性例數(shù)合計(jì)穿新防護(hù)服57075穿舊防護(hù)服101828合計(jì)1588103相應(yīng)的等高條形圖如圖所示.圖中兩個(gè)深色的高分別表示穿新、舊防護(hù)服樣本中呈陽(yáng)性的頻率,從圖中可以看出,穿舊防護(hù)服呈陽(yáng)性的頻率高于穿新防護(hù)服呈陽(yáng)性的頻率.因此,可以認(rèn)為新防護(hù)服比舊防護(hù)服對(duì)預(yù)防這種皮膚炎有效.類型二獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例】為加強(qiáng)環(huán)境愛護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150”的概率;(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面2×2列聯(lián)表:[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表,推斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)?附:χ2=QUOTE.P(χ2≥xα)0.050.010.001xα3.8416.63510.828【思維·引】(1)用頻率估計(jì)概率,從而得到“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150”的概率;(2)依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表即可;(3)計(jì)算χ2的值,比照題目中的表格,得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.【解析】(1)依據(jù)抽查數(shù)據(jù),該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.64.(2)依據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依據(jù)(2)的列聯(lián)表得χ2=QUOTE≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).【素養(yǎng)·探】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).本例若把2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)調(diào)整如下:[0,150](150,475][0,75]7010(75,115]812推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)?【解析】χ2=QUOTE≈21.037>10.828=x0.001,所以有99.9%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).【類題·通】獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)(1)步驟:列表,計(jì)算,推斷;(2)留意:①χ2計(jì)算公式較困難,一是公式要清晰;二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴;三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心;②推斷時(shí)把計(jì)算結(jié)果與臨界值比較,其值越大,有關(guān)的可信度越高.【習(xí)練·破】某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿足或者不滿足的評(píng)價(jià),得到下面列聯(lián)表:滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估算男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率?(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?附:χ2=QUOTEP(χ2≥xα)0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)由調(diào)查數(shù)據(jù),男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為QUOTE=0.8,因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為QUOTE=0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.6.(2)χ2=QUOTE≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.【加練·固】調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒誕生的時(shí)間與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù):誕生時(shí)間在晚上的男嬰為24人,女嬰為8人;誕生時(shí)間在白天的男嬰為31人,女嬰為26人.(1)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整;晚上白天合計(jì)男嬰女嬰合計(jì)(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與誕生時(shí)間有關(guān)系?【解析】(1)晚上白天合計(jì)男嬰243155女嬰82634合計(jì)325789(2)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算χ2=QUOTE≈3.689>2.706=x0.1.因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與誕生的時(shí)間有關(guān)系.類型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【典例】手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī),現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)運(yùn)用者(200名女性、300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分,評(píng)分的頻數(shù)分布表如下:女性用戶分值區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2040805010男性用戶分值區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)4575906030(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大小(不計(jì)算詳細(xì)值,給出結(jié)論即可);(2)把評(píng)分不低于70分的用戶稱為“認(rèn)可用戶”,依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為“是否是認(rèn)可用戶”與性別有關(guān)?參考公式及數(shù)據(jù):χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.P(χ2≥xα)0.10.050.01xα2.7063.8416.635【思維·引】(1)利用頻數(shù)分布表中所給數(shù)據(jù)求出各組的頻率,利用頻率除以組距得到縱坐標(biāo),從而可得頻率分布直方圖,由頻率分布直方圖視察女性用戶和男性用戶評(píng)分的集中與分散狀況即可比較波動(dòng)的大小;(2)利用公式求出χ2的值,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【解析】(1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示:由圖可得女性用戶的波動(dòng)小,男性用戶的波動(dòng)大.(2)由題可得2×2列聯(lián)表如下:女性用戶男性用戶合計(jì)認(rèn)可用戶140180320不認(rèn)可用戶60120180合計(jì)200300500則χ2=QUOTE≈5.208>2.706=x0.1,故依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),可以認(rèn)為“是否是認(rèn)可用戶”與性別有關(guān).【類題·通】獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問(wèn)題的命題方向獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查,往往與概率和抽樣統(tǒng)計(jì)圖等一起考查,這類問(wèn)題的求解往往按各小題及提問(wèn)的依次,一步步進(jìn)行下去,是比較簡(jiǎn)單解答的,考查單純的獨(dú)立性檢驗(yàn)往往用小題的形式,而且χ2的公式一般會(huì)在原題中給出.【習(xí)練·破】某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采納A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改試驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出莖葉圖如圖.記成果不低于90分者為“成果優(yōu)秀”.(1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中,從不低于86分的成果中隨機(jī)抽取2個(gè),求抽出的兩個(gè)均“成果優(yōu)秀”的概率;(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表,并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為“成果優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)?【解析】(1)從不低于86分的成果中隨機(jī)抽取兩個(gè)包含的基本領(lǐng)件是:(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有15種結(jié)果,符合條件的事務(wù)為(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有10種結(jié)果,依據(jù)等可能事務(wù)的概率得到P=QUOTE=QUOTE.(2)由已知數(shù)據(jù)得甲班乙班合計(jì)成果優(yōu)秀156成果不優(yōu)秀191534合計(jì)202040依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得χ2=QUOTE≈3.137,由于3.137>2.706,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為:“成果優(yōu)秀”與教學(xué)方