2025屆河北省正定縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆河北省正定縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B.C. D.2．已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4003．某商場(chǎng)有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.74．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.66．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和8．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.489．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.10．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.11．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A. B.C. D.12．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行六面體中，點(diǎn)P是AC與BD的交點(diǎn)，若，且，則___________.14．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和記作，若，則______15．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)___________.16．已知數(shù)列滿足，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結(jié)構(gòu)如圖所示，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.（1）若長(zhǎng)為，把蒙古包的體積表示為的函數(shù)；（2）求蒙古包體積的最大值.18．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍20．（12分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.2、B【解析】對(duì)題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時(shí)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為mm/min.故選：B3、C【解析】按照分層抽樣的定義進(jìn)行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動(dòng)物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個(gè)出來(lái)，則糧食類8個(gè)，植物油類2個(gè)，動(dòng)物性食品類6個(gè)，果蔬類4個(gè)，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個(gè).故選：C.4、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?因?yàn)镸，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B5、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D6、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因?yàn)?，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域?yàn)椋?，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B7、C【解析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C9、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D10、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C11、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.12、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由向量的運(yùn)算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：14、16【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)以及通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以；故答案為?5、【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的乘法公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求解【詳解】故答案為：16、1023【解析】由數(shù)列遞推公式求特定項(xiàng)，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：1023三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），其中.（2）.【解析】（1）利用柱體和椎體體積公式求得的函數(shù)表達(dá)式.（2）利用導(dǎo)數(shù)求得體積的最大值.【小問(wèn)1詳解】正六邊形的邊長(zhǎng)（0），底面積，于是，其中.【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，蒙古包體積最大，且最大體積為.18、，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元【解析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元19、（1）（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉(zhuǎn)化為：存在，使得不等式成立，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)m進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求，解不等式，即可求出m的范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)镽，.所以，.所以曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：，即.【小問(wèn)2詳解】不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構(gòu)造函數(shù)，則.①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，解得：，故；②當(dāng)時(shí)，令，解得：令，解得：故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不符合題意，應(yīng)舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.20、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求，分析{}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由題意知在與之間插入n個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項(xiàng)和為，①①×3：②①－②：21、或【解析】先分別求出，為真時(shí)，的范圍；再求交集，即可得出結(jié)果.【詳解】若是真命題．則對(duì)任意