48096865二十四節(jié)氣的數(shù)學(xué)原理

關(guān)于《二十四節(jié)氣的數(shù)學(xué)原理》的撰寫背景，原普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4的《三角函數(shù)》中，在章末《三角函數(shù)的應(yīng)用》一節(jié)，有一題與潮汐有關(guān)的例題中，出現(xiàn)了地理知識方面的嚴(yán)重錯誤，該例題把潮汐漲落的周期說成12小時(shí)，在海邊生活的人都知道，潮汐漲落的周期是12小時(shí)24分鐘，對于教材而言，這種地理知識方面的錯誤是不允許的，筆者于2014年就寫信向原普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4的主編章建躍博士提出來（有回執(zhí)），并針對《三角函數(shù)》一章的前言講的“地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)引起的周而復(fù)始的自然現(xiàn)象…”，契合這句話相應(yīng)提供一個(gè)《二十四節(jié)氣與三角函數(shù)》的例題，該例題的重要觀點(diǎn)，求一年中任意一天太陽直射地球的緯度的公式y(tǒng)=23.5°sint，在新版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第二冊的第五章《三角函數(shù)》，于第256頁復(fù)習(xí)參考題5第27道題得以引用。對于當(dāng)時(shí)《二十四節(jié)氣與三角函數(shù)》例題中的觀點(diǎn)，筆者自己一時(shí)無法提供太多的論據(jù)，一時(shí)沒有形成論文，只是若干年后于霞浦縣城龍首路附近（準(zhǔn)東經(jīng)120°），于正午12點(diǎn)進(jìn)行太陽高度角測量，獲得的值與公式y(tǒng)=23.5°sint計(jì)算的值相吻合，才有了切實(shí)的依據(jù)，故才撰寫此論文。二十四節(jié)氣的數(shù)學(xué)原理福建省霞浦縣第三中學(xué)尤新國摘要：正如高中數(shù)學(xué)教材必修4《三角函數(shù)》一章的前言講的“地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)引起的周而復(fù)始的自然現(xiàn)象…”［1］，二十四節(jié)氣中，太陽直射地球的緯度變化，它是詮釋函數(shù)y=Asin(ωt+φ)的絕佳例子，也通過函數(shù)y=Asin(ωt+φ)幫助學(xué)生深刻理解二十四節(jié)氣的變化規(guī)律，并從數(shù)學(xué)的角度理解春夏秋冬四季劃分的依據(jù)。關(guān)鍵詞二十四節(jié)氣太陽高度角y=Asin(ωt+φ)春分夏至秋分冬至一引言春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。這是一首耳熟能詳二十四節(jié)氣歌，它所包含的的知識是中華民族優(yōu)秀的關(guān)于自然方面知識的文化瑰寶，對它的學(xué)習(xí)，能幫助我們深刻認(rèn)識一年四季氣候變化的規(guī)律。但是，現(xiàn)在的中學(xué)生普遍對二十四節(jié)氣這個(gè)重要的傳統(tǒng)文化毫無感知，或一知半解。另一方面，在《三角函數(shù)》的這章前言開宗明義的說“現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動變化有著周而復(fù)始的現(xiàn)象，…地球公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化…”［2］，但《三角函數(shù)》的整章中沒有相應(yīng)的例題習(xí)題提供關(guān)于這方面的信息內(nèi)容。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)教材經(jīng)歷多輪修改，《三角函數(shù)》一章對學(xué)生而言，被認(rèn)為不容易學(xué)好，這章多以符號、公式演繹為主，公式又多，公式與公式之間的推導(dǎo)、演繹成分也多，但能給力的形象素材方面提供較少，即提供給學(xué)生作為想象素材的例子不多，而想象是理解的基礎(chǔ)。因而《三角函數(shù)》的這章相對于其他章節(jié)而言，學(xué)生學(xué)起來不能充分的入心入腦，困難略大一點(diǎn)。為了全面落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，加強(qiáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)。筆者經(jīng)多年的教學(xué)實(shí)踐與思考，借助二十四節(jié)氣這個(gè)傳統(tǒng)文化素材來幫助學(xué)生更深刻地理解三角函數(shù)有關(guān)知識，同時(shí)也借助三角函數(shù)的知識能使學(xué)生更深入地認(rèn)識中華民族這個(gè)文化瑰寶，把它更好地應(yīng)用到日常的生活實(shí)踐中，達(dá)到雙贏的結(jié)果。二．正午太陽的高度角的測量及通過高度角求太陽直射緯度在高中的數(shù)學(xué)課本與地理課本都介紹了太陽高度角的問題，正午太陽高度角隨著太陽直射地球的緯度的變化而變化。這里太陽直射點(diǎn)緯度以δ表示，觀測地地理緯度用Ф表示(以北緯為正，南緯為負(fù))，如圖所示，根據(jù)平面幾何相關(guān)性質(zhì)可得到太陽高度角計(jì)算公式，對于太陽位于天頂以北的地區(qū)而言H=90°－(Ф－δ)，對于太陽位于天頂以北的地區(qū)而言H=90°－(δ－Ф)，二者合并，因?yàn)闊o論是(Ф－δ)還是(δ－Ф)，都是為了求當(dāng)?shù)鼐暥扰c太陽直射緯度之差，不會是負(fù)的，因此都等于它的絕對值，所以正午太陽高度角計(jì)算公式:H=90°－|Ф－δ|［3］，由上述的公式可以推導(dǎo)得到太陽直射緯度Ф==90°－H+δ或Ф=H-90°+δ。由于受到天氣、測量工具、測量人員水平等多種因素的影響，測量產(chǎn)生的數(shù)據(jù)難免會有一定的誤差，我們能否運(yùn)用數(shù)學(xué)中的某個(gè)函數(shù)解析式，根據(jù)日期較為精確的求出一年中每一天太陽直射地球的緯度，求出進(jìn)而太陽高度角，這是可以做到的。三．二十四節(jié)氣與函數(shù)y=Asin(ωt+φ)二十四節(jié)氣是春秋戰(zhàn)國時(shí)期形成的，它能反映季節(jié)的變化，指導(dǎo)農(nóng)事活動，影響著千家萬戶的衣食住行。二十四節(jié)氣是根據(jù)太陽在黃道（即地區(qū)繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置來劃分的。其中春分、夏至、秋分、冬至的四個(gè)節(jié)氣具有一定的指標(biāo)性，對應(yīng)于公歷的時(shí)間是：春分3月21日夏至6月21日

秋分9月23日冬至12月22日來年的春分也是3月21日。這四個(gè)節(jié)氣中春分到夏至，夏至到分，秋分到冬至，冬至到來年的春分都是相隔的時(shí)間都是三個(gè)多月時(shí)間，春分、夏至、秋分、冬至的四個(gè)節(jié)氣太陽的直射地球的位置分別是赤道、北回歸線、赤道、南回歸線，它們對應(yīng)的緯度分別是0°、北緯23.5°、0°、南緯23.5°，再加上一個(gè)來年春分，并令北緯為正，南緯為負(fù)，則春分、夏至、秋分、冬至、來年春分太陽直射緯度分別是：0°、23.5°、0°、－23.5°、0°。以時(shí)間為橫軸，以緯度為縱軸（北正南負(fù)）建立坐標(biāo)系，春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)節(jié)氣所處的時(shí)間為橫坐標(biāo)，以太陽直射的緯度為縱坐標(biāo)，標(biāo)出來的點(diǎn)如圖所示，構(gòu)成了“五點(diǎn)法”畫三角函數(shù)圖像的“五點(diǎn)”，把“五點(diǎn)”連成圖象，如圖所示，顯然，該圖象就是函數(shù)y=Asin(ωt+φ)的圖象，若橫坐標(biāo)中時(shí)間以天為單位，縱坐標(biāo)以緯度為單位，則A=23.5°（回歸線緯度）ω==（周期T=365天）φ=0得到的函數(shù)解析式是：y=23.5°sint。我們可以根據(jù)這個(gè)解析式可求出一年中任意一天太陽直射地球的緯度，如5月1日這天太陽直射地球的緯度，因?yàn)?月1日距春分這天（3月21日）是41天，即t=41，所以y=23.5°sin·41=23.5°sin0.225π≈15.3°即5月1日這天太陽直射地球的緯度是北緯15.3°，如果某個(gè)地方所處的緯度為北緯30°，5月1日這天該地正午時(shí)分太陽的高度角是：H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－15.3°︱=75.3°再如1月1日這天太陽直射地球的緯度，1月1日在春分之前79天，t=－79，所以y=23.5°sin·（－79）=23.5°sin（－0.433π）≈－22.9°即1月1日這天太陽直射地球的緯度是南緯22.9°，上述地方1月1日這天正午時(shí)分太陽的高度角是H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－（－22.9°）︱=37.1°四．春、夏、秋、冬四季劃分的數(shù)學(xué)依據(jù)下圖是黃道上二十四節(jié)氣的分布圖根據(jù)圖中二十四節(jié)氣把黃道二十四等分，因此每個(gè)節(jié)氣在圓周上相隔2π·=弧度，所以我們也可以由此來方便地求各個(gè)節(jié)氣的太陽直射地球的緯度，如立夏時(shí)節(jié)是春分之后的第三個(gè)節(jié)氣，其太陽直的四個(gè)射地球的緯度y=23.5°sin·3=23.5°sin≈16.5°（在北緯16.5°）同樣我們也可求得立春、立秋、立冬時(shí)節(jié)的太陽直射地球的緯度，立春在春分之前距春分三個(gè)節(jié)氣，立春時(shí)節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·（－3）=23.5°sin（－）≈－16.5°（南緯16.5°）立秋是春分之后的第九個(gè)節(jié)氣，立秋時(shí)節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·9=23.5°sin≈16.5°立冬是春分之后的第十五個(gè)節(jié)氣，立冬時(shí)節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·15=23.5°sin≈－16.5°（南緯16.5°）通過二十四節(jié)氣歌，可知中國古代春、夏、秋、冬的四季劃分標(biāo)準(zhǔn)是：春季，立春其到立夏止；夏季，立夏其到立秋止；秋季，立秋其到立冬止；冬季，立冬其到來年立春止。如圖所示，可以從上述圖象中看出一年四季太陽照射地球的緯度變化規(guī)律。春季，太陽照射地球的緯度變化從南緯16.5°到北緯16.5°，相應(yīng)氣候特征從春寒料峭到春意融融，再到春暖花開。夏季，太陽照射地球的緯度變化在北緯16.5°到23.5°之間，氣溫為一年中最高，特別是夏至之后的小大暑，由于氣溫滯后因素的作用，成了一年中最熱的節(jié)氣。秋季，太陽照射地球的緯度變化從北緯16.5°到南緯16.5°，相應(yīng)氣候特征從暑氣逼人到秋高氣爽，再到寒意襲人。冬季，太陽照射地球的緯度變化在南緯16.5°到23.5°之間，是一年中最冷季節(jié)，冬至過后的小大寒，也是由于氣溫滯后因素的作用，成了一年中最冷的三九嚴(yán)寒。函數(shù)y=23.5°sint恰如其分地描述二十四節(jié)氣的太陽直射地球的緯度變化規(guī)律，幫助我們從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識二十四節(jié)氣。［1］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4P1（人教版）［2］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4P1（人教版）［3］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4P61（人教版）