專題932三角形的中位線（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.32三角形的中位線（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】三角形的中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.特別提醒：三角形有三條中位線.不要把三角形的中位線與三角形的中線混淆，應從它們的定義加以區(qū)別.【知識點二】三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.特別提醒：三角形的三條中位線把原三角形分成四個全等的小三角形，每個小三角形的周長為原三角形周長的一半，每個小三角形的面積為原三角形面積的四分之一.【考點目錄】【考點1】三角形中位線的理解；【考點2】利用三角形的中位線定理證明與求值；【考點3】利用三角形的中位線與直角三角形斜邊上中線性質求值或證明；【考點4】三角形的中位線定理綜合應用；【考點5】三角形的中位線定理拓展與應用；【考點1】三角形的中位線定理實際應用.【例1】如圖，在四邊形中，M，N分別是AD，BC的中點．若，求MN長度的取值范圍．【答案】解：如圖，連接，取的中點，連接PM，PN．是的中點，是的中位線，．同理可得．在中，，．【變式1】如圖，已知是的中線，、分別是、邊上的中點，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①；②；③和互相平分；④連接，則四邊形是平行四邊形；⑤．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，根據由三角形中位線定理逐一判斷①②⑤；由，，易得四邊形是平行四邊形，可判斷③④．解：如圖，連接，是的中線，點D是的中點，、分別是、邊上的中點，，故①②⑤正確；，，四邊形是平行四邊形，和互相平分；故③④正確；則正確的有5個，故選：D．【變式2】如圖，在中，點D，E分別是，的中點，以點A為圓心，為半徑作圓弧交于點F．若，，則的長為．【答案】3【分析】本題考查三角形的中位線性質，熟練掌握三角形的中位線性質是解答的關鍵．利用三角形的中位線得到，進而求得即可求解．解：∵在中，點D、E分別是、的中點，，∴，即，∵以A為圓心，為半徑作圓弧交于點F，，∴，∴，故答案為：3．【考點2】利用三角形的中位線定理求值或證明；【例2】如圖，直角中，，，點D是邊的中點，點E是邊上的一個動點（不與A，B重合），交于點F，設，．（1）求證：；（2）寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）寫出x為何值時，？【答案】（1）見詳解;（2），;（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，正確證明是關鍵．（1）取的中點記為，取的中點記為．根據三角形中位線的性質可得，根據余角的性質可得，根據可證，根據全等三角形的性質即可證明；（2）根據全等三角形的性質可得，從而得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式，以及x的定義域；（3）連接，根據三角形中位線的性質可得x為1時，．（1）解：取的中點記為H，取的中點記為N．連接∵，點D是邊的中點，∴都是三角形中位線∴，∵，∴，∴，∵，∴在與中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴即∵E是邊上的一個動點（不與A、B重合），∴；（3）解：連接，當E與H重合時，，∵此時，∴當時，．【變式1】如圖，、分別是的中線和角平分線，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線定理，三線合一性質，勾股定理，取的中點F，連結，計算即可．解：如圖，取的中點F，連結，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，∵，，∴，．由勾股定理，得．∵BE平分，，∴，∴，∴．根據等腰三角形“三線合一”，得．∵，∴∴E是的中點，∴是的中位線，∴，∵的中點F，∴，∴．故選D．【變式2】如圖，矩形中，，.F是上一點，將沿所在的直線折疊，點A恰好落在邊上的點E處，連接交于點G，取的中點H，連接，則.【答案】【分析】本題考查圖形的折疊，熟練掌握翻折的性質，矩形的性質，三角形中位線的性質是解題的關鍵．由折疊可知，垂直平分，連接，可得是的中位線，求出即可求．解：由折疊可知，垂直平分，連接，是的中點，是的中點，，，，，，故答案為：．【考點3】利用三角形的中位線與直角三角形斜邊上中線性質求值或證明【例3】如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F(xiàn)為中點，若，．

（1）求證：為的角平分線；（2）求的長．【答案】（1）見分析；（2）4【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，根據三角形中位線定理得到，根據平行線的性質得到，根據角平分線的定義即可得到結論．（2）根據三角形中位線定理得到，求得，根據直角三角形的性質即可得到結論．解：（1）證明：，，為斜邊的中點，F(xiàn)為中點，是的中位線，，，，為的角平分線．（2）解：為斜邊的中點，F(xiàn)為中點，，，，，在中，D為斜邊的中點，．【點撥】本題考查了三角形的中位線定理、等腰三角形的性質及直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關系，解答本題的關鍵是求出的長．【變式1】如圖，在中，D是斜邊的中點，E是上一點，F(xiàn)是的中點．若，，則的長是（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據三角形中位線定理求出，進而求出，再根據直角三角形斜邊上的中線的性質解答即可．解：∵D是的中點，F(xiàn)是的中點，，∴是的中位線，∴，∵，∴，在中，D是斜邊的中點，則，故選：B．【點撥】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．【變式2】已知中，點D為斜邊的中點，連接，將沿翻折，使點B落在點E的位置，交于F，連接．若，，則AE的長為．【答案】【分析】利用直角三角形的勾股定理和斜邊中線等于斜邊一半可以得到等腰三角形的邊長，通過作輔助線，可將所求的問題進行轉化到求，由折疊得是的中垂線，借助三角形的面積公式，可以求出，進而求出，由等腰三角形的性質，可得是三角形的中位線，得，求出，再根據勾股定理，求出，進而解得．解：如圖，過點D作，，垂足為，連接交于點G，在中，，，得，∵點D為斜邊的中點，∴，在中，，得，那么，在中，，∴，∴為的中位線，∴，，由折疊得，垂直平分，在中，由三角形面積公式得，即，在中，，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考圖形的查翻折變換、等腰三角形的性質、三角形中位線定理、勾股定理及等面積法，能夠構造出并證明三角形中位線是解題的關鍵．【考點4】三角形的中位線的綜合應用【例4】如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點，連結并延長，使，連結并延長，使，連結．為的中點，連結．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的度數(shù)．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）證明為的中位線，得出，，由為的中點，得到，由四邊形為平行四邊形，得到，從而得到，即可得證；（2）由平行四邊形的性質得到，由等腰三角形的性質得出，由三角形內角和定理得出，最后由，即可得出答案．解：（1）證明：，，為的中位線，，，為的中點，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形為平行四邊形，，，，，，．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，是解題的關鍵．【變式1】如圖，矩形對角線、相交于點，平分交于點，過點作交于點，若，，則的長為（）?A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由角平分線的定義可得，則為等腰直角三角形，，根據等腰直角三角形三線合一的性質得，，進而易求得，于是，由三角形中位線定理易知為的中位線，則．解：∵四邊形為矩形，，∴，，，∵平分，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，即點、分別為、的中點，∴為的中位線，∴．故選：B．【點撥】本題考查了矩形的性質，角平分線的定義，等腰直角三角形的性質，三角形中位線的判定與性質，根據矩形的性質得到，根據等腰直角三角形的三線合一性質得到，進而得出為的中位線是解題關鍵．【變式2】如圖，在中，，，、分別在、上，，，的中點分別是，，直線分別交，于，，若，則．

【答案】2【分析】如圖，記的中點為，連接，，則是的中位線，是的中位線，，，，，由平行線的性質以及題意可得，，，則，，，設，則，，由，可得，計算求解即可．解：如圖，記的中點為，連接，，

∵，的中點分別是，，的中點為，∴是的中位線，是的中位線，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，，∵，∴，解得，，故答案為：2．【點撥】本題考查中位線的應用，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【考點5】三角形的中位線的拓展應用【例5】如圖所示，菱形中，，，點E是邊上的動點（不與點A、B重合），線段的垂直平分線分別交于點F，G；的中點分別為點M，N．（1）求證：；（2）求的最小值；（3）在點E的運動過程中，的大小是否變化?若沒有變化，請求出的度數(shù)；若有變化，請說明變化情況．【答案】（1）證明見分析；（2）；（3）不變，的度數(shù)為【分析】（1）由垂直平分線的性質可得，由菱形的性質可得，，證明，則，進而結論得證；（2）由，是線段的中點，可知是的中位線，是的中位線，則，，，則當三點共線時，的值最小，是等邊三角形，可得，進而可得的最小值；（3）如圖，延長交于，由三角形外角的性質得，，則，由，可得，則，由，可得，，則，由三角形外角的性質得，進而可得，進而結論得證．解：（1）證明：∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是菱形，∴，，在和中，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，是線段的中點，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∴，∴當三點共線時，的值最小，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：不變，為；如圖，延長交于，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是定值，為．【點撥】本題考查了菱形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，中位線，等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式1】如圖，已知，，，直角的頂點是的中點，兩邊，分別交，于點，．給出以下四個結論：①；②；③是等腰直角三角形；④上述結論始終正確的有（

）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據等腰直角三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質逐個驗證即可．解：如圖，連接．

是等腰直角三角形∵點是的中點同理可得：，結合（已證），故①正確．是等腰三角形，又是直角，是等腰直角三角形，故③正確過點P分別作，垂足為點M、N．如下圖．

，點是的中點是三角形的兩條中位線，故④正確．連接．

假定點E與點N不重合．由，為直角知，四邊形是矩形．又（前面已證）知，四邊形是正方形．則為等腰直角三角形．由前面已證可知，也是等腰直角三角形．∴．在直角中，總有：．∴．∴即：．由四邊形是正方形知，，∴．只有當點E與點N重合時，．故②不正確．綜上，正確的有①③④．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定定理與性質、三角形全等的判定定理與性質，通過作輔助線，構造兩個全等的三角形是解題關鍵．【變式2】如圖是一張面積為的紙片，其中，，是三角形的中位線，，分別是線段，上的動點．沿著虛線將紙片裁開，并將兩側的紙片按箭頭所示的方向分別繞點，旋轉在同一平面內拼圖，使得與重合，與重合．則拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值之差為．【答案】【分析】首先說明拼成的四邊形是平行四邊形，周長=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得結論．解：如圖，由旋轉的性質可知，BC=N′N″，M′M″=2DE，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，BC=2DE，∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″，∴四邊形M′M″N″N′是平行四邊形，∴四邊形M′M″N″N′的周長=2MN+10，如圖，連接BE，過點A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J．∵S△ABC=?BC?AH=10，BC=5，∴AH=4，∵∠ABC=