吉林省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前、考生務(wù)必將自己的姓名考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章到第八章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為3cm，2cm，高為3cm，則該圓臺(tái)的體積為（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C．2 D．53．若向量，，，則（）A． B． C． D．4．已知，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，△AOB的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則（）A．6 B． C．12 D．6．在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（）A．2 B．6 C． D．7．如圖，某同學(xué)為測(cè)量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點(diǎn)Q處（O，Q，N三點(diǎn)共線且在同一水平面上）測(cè)得建筑物MN的頂部M的仰角為，測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A．80米 B．米 C．米 D．米8．在正四棱柱中，，，，，平面與交于點(diǎn)G，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則在上的投影向量為10．若三個(gè)不同的平面，，兩兩相交，且，，，則交線，，的位置關(guān)系可能是（）A．正合 B．相交于一點(diǎn) C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行11．在正四棱臺(tái)中，，，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與異面 B．直線與平面ABCD所成的角為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．在正方體中，，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____．13．若，，且為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．14．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC中BC邊上的高，，則的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在高為的四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，M，N分別是PD和BC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面PAB．（2）求三棱錐的體積．16．（15分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，求△ABC外接圓的半徑R；（3）若，，求△ABC中BC邊上的中線長(zhǎng)．17．（15分）如圖，在梯形ABCD中，，，，，E在線段BC上．（1）若，用向量，表示，；（2）若AE與BD交于點(diǎn)F，，，，求x的值．18．（17分）在△ABC中，∠BCA與∠BAC的角平分線交于點(diǎn)D，已知．（1）求角B的大??；（2）若，求△ACD面積的最大值．19．（17分）刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)A的曲率為，N，M分別為AB，的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．高一數(shù)學(xué)試卷參考答案1．B該圓臺(tái)的體積為受．2．B因?yàn)椋?，所以?．A因?yàn)椋?，解得?．D推不出，也推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．5．D由題意得△AOB的原圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，且，，所以，故．6．C取BD的中點(diǎn)E，連接AE．因?yàn)椋裕制矫嫫矫鍮CD，平面平面，所以平面BCD．因?yàn)?，，所以，所以四面體ABCD的體積．7．A由題意可得，米，，則．在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得米．8．C如圖，設(shè)，連接．因?yàn)?，且?guī)缀误w為正四棱柱，所以．因?yàn)?，所以，所以?．ABD若，則，解得，A正確．若，則，解得，B正確．若，則，在上的投影向量為，C錯(cuò)誤，D正確．10．ABC如圖，交線，，的位置關(guān)系可能是重合．由三棱錐的三個(gè)側(cè)棱相交于一點(diǎn)，可知交線，，的位置關(guān)系可能是相交于一點(diǎn)．由三棱柱的三個(gè)側(cè)棱兩兩平行，可知交線，，的位置關(guān)系可能是兩兩平行．若有兩條交線互相平行，則可證它們均與第三條直線平行，所以交線，，的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行．11．BC如圖1，與相交，則A錯(cuò)誤．設(shè)，O分別是和AC的中點(diǎn)，則是四棱臺(tái)的高．作，垂足為H．由題中數(shù)據(jù)可知，則直線與平面ABCD所成的角為，，則，故B正確．如圖2，把四邊形，展開(kāi)至同一個(gè)平面，連接AC，，．易知的最小值就是展開(kāi)圖中AC的長(zhǎng)．在△ABC中，，，則，即的最小值為，故C正確．在中，由余弦定理可得，則，從而，由圖可知，則D錯(cuò)誤．圖1圖212．36π設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則，所以該正方體外接球的表面積為．13．一；因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得．14．依題意可得，則，則，解得，，所以．因?yàn)?，所以．?dāng)，即，即時(shí)，取得最大值，且最大值為．15．（1）證明：如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EB，EM．因?yàn)镸E是△PAD的中位線，所以．又因?yàn)?，所以，所以四邊形MEBN是平行四邊形，所以．又因?yàn)槊ζ矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB．（2）解：因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐的高為．因?yàn)椋裕?6．解：（1）因?yàn)?，所以，則．在△ABC中，，，所以，所以．（2）在△ABC中，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．?）在△ABC中，因?yàn)?，所以．設(shè)D為BC的中點(diǎn)（圖略），因?yàn)?，所以，解得，即△ABC中BC邊上的中線長(zhǎng)為．17．解：（1），．（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，即，解得或．連接AC交BD于G．因?yàn)椋?，所以，則．因?yàn)镋在線段BC上，所以，故．18．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，所以．由余弦定理得，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，所以△ACD面積的最大值為．19．（1）證明：在直三棱柱中，平面ABC，則，，所以點(diǎn)A的曲率為，所以．因?yàn)?，所以△ABC為正三角形．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以．又平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面．?）證明：取的中點(diǎn)D，連接DM，DN．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以，且．又，