專(zhuān)題17直角三角形的邊角關(guān)系（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（北師大版）

專(zhuān)題1.7直角三角形的邊角關(guān)系（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．82．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，分別以點(diǎn)，為圓心，線段，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，，．若，，則的正切值為（

）

A． B． C． D．3．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．連接．則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H．當(dāng)，，時(shí)，的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)6．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰直角，，，點(diǎn)C是矩形與的公共頂點(diǎn)，且，；點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．連接，，在矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)和最短時(shí)，線段對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為m和n，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．7．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．若，則的值是（

）

A． B． C． D．8．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．110．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)，作于點(diǎn)M，于點(diǎn)J，于點(diǎn)K，交于點(diǎn)L．若正方形與正方形的面積之比為5，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．12．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，則的長(zhǎng)約為．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）13．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接，，若，以為邊作等邊三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

14．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接.若于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．

15．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)，連接．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為．

17．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．

18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無(wú)縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊上．（1）若，，則的長(zhǎng)是cm．（2）若，則的值是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，化簡(jiǎn)后，從的范圍內(nèi)選擇一個(gè)你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值．20．（8分）（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．（1）求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．（2）過(guò)O作于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記，求的值．21．（10分）（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船在處測(cè)得燈塔位于的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)處，測(cè)得燈塔位于的北偏東方向上，測(cè)得港口位于的北偏東方向上．已知港口在燈塔的正北方向上．

（1）填空：度，度；（2）求燈塔到輪船航線的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（3）求港口與燈塔的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．22．（10分）（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝x+b的圖像與函數(shù)（x＞0）的圖像相交于點(diǎn)B（1，6），并與x軸交于點(diǎn)A．點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△OAC與△OAB的面積比為2：3（1）求k和b的值；（2）若將△OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在x軸正半軸上，得到△OA′C′，判斷點(diǎn)A′是否在函數(shù)（x＞0）的圖像上，并說(shuō)明理由．23．（10分）（2016·浙江舟山·中考真題）太陽(yáng)能光伏建筑是現(xiàn)代綠色環(huán)保建筑之一，老張準(zhǔn)備把自家屋頂改建成光伏瓦面，改建前屋頂截面△ABC如圖2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后頂點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面邊沿增加部分AD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）24．（12分）（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

（1）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（2）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．參考答案：1．C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．解：如圖，作，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)可以是6，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關(guān)鍵在于確定的取值范圍．2．C【分析】設(shè)，交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點(diǎn)，為圓心，線段，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧得到，，設(shè)，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．解：設(shè)，交于點(diǎn)，由題意得，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，故，在中，，即，解得，，，，，．

故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出和即可．解：由作法可得垂直平分，，，．，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，，，，，，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的作法及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形．4．C【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出，，繼而求出再根據(jù)，即可求．解：∵在菱形中，，，∴，又∵，∴，，∴，，∴，，∴∵，∴在中，，∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形、菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出、、是解題關(guān)鍵．5．D【分析】①根據(jù)題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，即可判斷②；過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)②的結(jié)論求得，勾股定理求得，即可判斷③．解：∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的下方，且，，三點(diǎn)共線，求得，，根據(jù)勾股定理求得，即，當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且，，三點(diǎn)共線，則，，根據(jù)勾股定理求得，即，即可求得．解：∵為等腰直角三角形，，∴，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的下方，且，，三點(diǎn)共線，如圖：

則，，在中，，即，當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且，，三點(diǎn)共線，如圖：

則，，在中，，即，故，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，根據(jù)旋轉(zhuǎn)推出線段最長(zhǎng)和最短時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)為，證明，先后求得，，，利用三角形面積公式求得，證明，求得，，據(jù)此求解即可．解：∵四邊形是正方形，且，設(shè)，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，即，∴，∴，同理，即，∴，同理，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．8．D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過(guò)點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，求出，再證明，即可知④正確．解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過(guò)點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，故選：D【點(diǎn)撥】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解．9．B【分析】在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，可得出，進(jìn)而推出得出，設(shè)則用勾股定理求出由可列方程解出x，即CN的長(zhǎng)，由正切函數(shù)，求出BM的長(zhǎng)，由即可得出結(jié)果．解：如圖所示：在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，為正方形外角的平分線，在和中，在和中，在和中，設(shè)則在中，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．10．C【分析】設(shè)CF交AB于P，過(guò)C作CN⊥AB于N，設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m，根據(jù)正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，得AF=AB=m，證明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，設(shè)AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，F(xiàn)L=2m，從而可得AP=，F(xiàn)P=m，BP=，即知P為AB中點(diǎn)，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解．解：設(shè)CF交AB于P，過(guò)C作CN⊥AB于N，如圖：設(shè)正方形JKLM邊長(zhǎng)為m，∴正方形JKLM面積為m2，∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，∴正方形ABGF的面積為5m2，∴AF=AB=m，由已知可得：∠AFL=90°∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL=FM，設(shè)AL=FM=x，則FL=FM+ML=x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，∴x2+（x+m）2=（m）2，解得x=m或x=2m（舍去），∴AL=FM=m，F(xiàn)L=2m，AP=，∴AP=BP，即P為AB中點(diǎn)，∵∠ACB=90°，∴CP=AP=BP=∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，∴△CPN∽△FPA，即∴CN=m，PN=m，∴AN=AP+PN=tan∠BAC=，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．11．1【分析】根據(jù)先計(jì)算絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．解：故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．解：在中，，，，

∵,∴，則，故選：【點(diǎn)撥】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．或【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，根據(jù)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得求出，用等面積法推出，最后在中，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程求出x的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；易得，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，即可羅列出方程組，求解即可．解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵，∴，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，整理得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，解得：（舍去），∴，∴

∵，，∴，∴，設(shè)，則，，∵為等邊三角形，∴，即，整理得，得：，則，將代入①得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，故答案為：；或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握等邊三角形三邊相等，以及勾股定理．14．【分析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，得到，從而推導(dǎo)出，由三角形中位線定理得到，從而推導(dǎo)出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．解：取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．∵，為的中點(diǎn)，∴，，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，則于點(diǎn)，

設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，∵，∴，，又由折疊得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴，，∴，由折疊知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求解．15．【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)等面積法得出，設(shè)，則，進(jìn)而即可求解．解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，是的角平分線，∴∵∴設(shè)，則，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．16．【分析】證明，，，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．解：∵在中，，∴，，由作圖知平分，，∴是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，尺規(guī)作圖—作角平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，求得是解題的關(guān)鍵．17．【分析】依據(jù)題意，在中，，，從而，可得，又結(jié)合題意，，進(jìn)而，故可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可以得解．解：如圖，作軸，垂足為．

由題意，在中，，，．．．又繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，．．又點(diǎn)是的中點(diǎn)，．在中，，．，．又在上，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)需要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．18．43【分析】（1）將和用表示出來(lái)，再代入，即可求出的長(zhǎng)；（2）由已知條件可以證明，從而得到，設(shè)，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，從而求出的值．解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，即，∵，∴，故答案為：4；（2）設(shè)，∵，∴可設(shè)，，∵四邊形是正方形，∴，∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，，∵四邊形對(duì)角互補(bǔ)，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即，整理得：，解得，（舍去），∴．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，一元二次方程的解法等，弄清圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（1）1；（2），當(dāng)時(shí)，原式=．【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，分別計(jì)算即可求解；（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解．解：（1）原式；（2）原式；由題意可知：，，，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則，掌握特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解．20．（1）4；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形對(duì)角線的性質(zhì)，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，則△ABO為等邊三角形，即可求得對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）首先根據(jù)勾股定理求出AD，再由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)得出OA=OD,且OE⊥AD，則AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．解：（1）∵四邊形是矩形，是等邊三角形，，所以．故答案為：4．（2）在矩形中，．由（1）得，．又在中，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的對(duì)角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中求銳角正切的知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用矩形對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）30，45（2）燈塔到輪船航線的距離為海里（3）港口與燈塔的距離為海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定義與性質(zhì)可得，再由平行線的性質(zhì)可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，從而得到海里，再由進(jìn)行計(jì)算即可；（3）作交于，作交于，證明四邊形是矩形，得到海里，，由計(jì)算出的長(zhǎng)度，證明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．（1）解：如圖，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案為：30，45；（2）解：如圖，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；燈塔到輪船航線的距離為海里；（3）解：如圖，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四邊形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口與燈塔的距離為海里．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（1）b=5，k=6（2）不在，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（2）由（1）及題意易得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)C′的坐標(biāo)，則根據(jù)等積法可得點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)可得點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)，最后問(wèn)題可求解．（1）解：由題意得：，∴b=5，k=6；（2）解：點(diǎn)A′不在反比例函數(shù)圖像上，理由如下：過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖，由（1）可知：一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為，∴點(diǎn)，∵△OAC與△OAB的面積比為2：3，且它們都以O(shè)A為底，∴△OAC與△OAB的面積比即為點(diǎn)C縱坐標(biāo)與點(diǎn)B縱坐標(biāo)之比，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)