專題17解直角三角形（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.7解直角三角形（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．82．如圖，四邊形是矩形，分別以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接，，．若，，則的正切值為（

）

A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．4．《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值計算公式：．當(dāng)，時，則的值為（）

A． B． C． D．5．如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及的值都正確的是（

）A．， B．，C．， D．，6．如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，，，垂足為點E，F(xiàn)是的中點，連接，若，則矩形的周長是（

）A． B． C． D．7．如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時，則點到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．8．如圖，在中，，以點A為圓心，以的長為半徑作弧交于點D，連接，再分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線交于點E，連接，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A． B． C． D．9．如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運動，且，則的最小值是（

）

A． B． C． D．1010．如圖1，點P從等邊三角形的頂點A出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．設(shè)點P運動的路程為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形的邊長為（

）A．6 B．3 C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．在中，，分別為的對邊，若，則的值為．12．在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為．13．如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．14．如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為．15．如圖，對折矩形紙片ABCD使AD與BC重合，得到折痕MN，再把紙片展平．E是AD上一點，將△ABE沿BE折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在MN上．若CD＝5，則BE的長是．16．如圖，中，，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD，則的值是．17．如圖，在直角中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，點是的中點，且點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．

18．如圖，測量船以20海里每小時的速度沿正東方向航行并對某海島進行測量，測量船在A處測得海島上觀測點D位于北偏東15°方向上，觀測點C位于北偏東45°方向上，航行半個小時到達B點，這時測得海島上觀測點C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝海里（計算結(jié)果不取近似值）．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：解：小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號：①；②；③；____________________________________________________________________________．請寫出正確的計算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程的根．20．（8分）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．21．（10分）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點B，，．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點C在這個反比例函數(shù)圖象上，連接并延長交x軸于點D，且，求點C的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點D，過點C作交于點E，連接．

（1）求證：；（2）若，求和的長．23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

（1）求此拋物線的解析式；（2）已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；（3）若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．參考答案：1．C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．解：如圖，作，，交的延長線于點E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．【點撥】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關(guān)鍵在于確定的取值范圍．2．C【分析】設(shè)，交于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧得到，，設(shè)，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．解：設(shè)，交于點，由題意得，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，故，在中，，即，解得，，，，，．

故選：C．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面積公式求解．解：四邊形是矩形，，，，，，，，故選：C．【點撥】本題考查扇形的面積，三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．4．B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．解：連接，根據(jù)題意，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，，

得，∴點M，N，O三點共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．故選B．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．解：設(shè)剪去△ABC邊長AC=BC=x，可得：，解得x=，則BD=，∵正方形剪去四個角后成為一個正八邊形，根據(jù)正八邊形每個內(nèi)角為135度，，則∠BFD=22.5°，∴外接圓直徑d=BF=，根據(jù)題意知周長÷d==，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理、多邊形內(nèi)角和、圓周長直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識，閱讀理解題意是解決問題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可求證為等邊三角形，進而得出點E為中點，根據(jù)中位線定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周長．解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴點E為中點，∵F是的中點，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周長，故選：D．【點撥】矩形主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的對角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及解直角三角形的方法和步驟．7．D【分析】過點作于，過點作于，利用解直角三角形可得，，根據(jù)點到桌面的最大高度，即可求得答案．解：如圖，過點作于，過點作于，

在中，，在中，，點到桌面的最大高度，故選：D．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．8．D【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可以判斷①的正確；利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合①的結(jié)論和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可以判斷②正確；利用直有三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷③的正確；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷④的錯誤．解：由題意得：，為的平分線，，，，為等邊三角形，為的垂直平分線，，故A的結(jié)論正確；為等邊三角形，，，，，，，．，，，，，垂直平分線段，，故B的結(jié)論正確；中，，，，，故C的結(jié)論正確．，，，，，，，故D的結(jié)論錯誤；故選：D．【點撥】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】過點C作，過點B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點F在線段的之間，設(shè)，則，求得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.解：過點C作，

∵，，∴，過點B作，∵，∴四邊形是矩形，∴，需使最小，顯然要使得和越小越好，∴顯然點F在線段的之間，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時取得最小值為．故選：B．【點撥】本題考查了二次函數(shù)應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】如圖，令點從頂點出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一點，再從點沿直線運動到頂點．結(jié)合圖象可知，當(dāng)點在上運動時，，，易知，當(dāng)點在上運動時，可知點到達點時的路程為，可知，過點作，解直角三角形可得，進而可求得等邊三角形的邊長．解：如圖，令點從頂點出發(fā)，沿直線運動到三角形內(nèi)部一點，再從點沿直線運動到頂點．結(jié)合圖象可知，當(dāng)點在上運動時，，∴，，又∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)點在上運動時，可知點到達點時的路程為，∴，即，∴，過點作，∴，則，∴，

即：等邊三角形的邊長為6，故選：A．【點撥】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用圖象和圖形給出的條件．11．解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．12．/【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．14．【分析】如圖（見分析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，然后根據(jù)正切的定義即可得．解：如圖，由題意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，則，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．15．【分析】在Rt△A'BM中，利用軸對稱的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求出∠BA′M=30°，再證明∠ABE=30°即可解決問題．解：∵將矩形紙片ABCD對折一次，使邊AD與BC重合，得到折痕MN，∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC．∵將△ABE沿BE折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在MN上．∴A′B=AB=2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB=90°，∴sin∠MA′B=＝，∴∠MA′B=30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′=∠MA′B=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABA′=60°，∴∠ABE=∠EBA′=30°，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運用翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD為等邊三角形，由AB=BC，CD=AD，得出BD垂直平分AC，于是求出BO=AC=，OD=CD?sin60°=，可得BD=BO+OD，即可求解．解：如圖，連接AD，設(shè)AC與BD交于點O，由題意得：，∴為等邊三角形，∴，；∵，，∴，∵，，∴BD垂直平分AC，∴，，∴∴，故答案為【點撥】本題考查了圖形的變換旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】依據(jù)題意，在中，，，從而，可得，又結(jié)合題意，，進而，故可得點坐標(biāo)，代入解析式可以得解．解：如圖，作軸，垂足為．

由題意，在中，，，．．．又繞點順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，．．又點是的中點，．在中，，．，．又在上，．故答案為：．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題時需要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．18．/【分析】過點D作DE上AB，垂足為E，根據(jù)題意求得，進而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，設(shè)DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長，最后根據(jù)AC=52海里，列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．解：如圖：過點D作DE上AB，垂足為E，依題意得，，，=90°，在中，，設(shè)海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案為：．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（1）④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1；28；（2），．【分析】（1）根據(jù)乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則計算即可；（2）先把括號內(nèi)通分，接著約分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，則利用分式有意義的條件把x=1代入計算即可．解：（1）其他錯誤，有：④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1，正確的計算過程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式?jīng)]有意義，∴x的值為1，當(dāng)x=1時，原式==．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程因式分解法，分式的化簡求值．也考查了特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪．20．（1）證明見分析；（2）tan∠DAF＝【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF＝CF是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）【分析】（1）利用正切值，求出，進而得到，即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）過點A作軸于點E，易證四邊形是矩形，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到，進而得到，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)，即可求出點C的坐標(biāo)．（1）解：軸，，，，，，，點A在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：如圖，過點A作軸于點E，，四邊形是矩形，，，，是等腰直角三角形，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，點A、C是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，聯(lián)立，解得：或，，．

【點撥】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了銳角三角函數(shù)值，矩形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點問題等知識，求出直線的解析式是解題關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2），【分析】（1）根據(jù)，得到，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，可證明是等腰三角形，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解得x的值，即可