23無窮小量與無窮大量

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

第二章極限與連續(xù)

極限思想的建立使我們從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入了高等數(shù)學(xué).因此，掌握極限概念及其運算對于本課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要．本章著重討論函數(shù)的極限及其運算法則，并介紹函數(shù)的連續(xù)性．在自變量的某個變化過程中，函數(shù)的絕對值無限變小或無限增大，則分別稱其為無窮小量與無窮大量.下面我們分別來討論無窮小量與無窮大量的概念及其性質(zhì).《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》§2-3

無窮小量與無窮大量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》§2-3

無窮小量與無窮大量一、無窮小量定義2.3.1在自變量的某一變化過程中，以零為極限的函數(shù)稱為無窮小量，簡稱無窮?。Ｓ玫缺硎?注1無窮小量不是很小的數(shù)，一個數(shù)無論它多么小都不是無窮?。?規(guī)定“0”是無窮小量.注3無窮小量與自變量的變化過程密切相關(guān).1.無窮小量的概念《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》【例1】自變量在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮小量：．

（1）（4）（3）（2）【解】《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（1）有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.（2）有限個無窮小的乘積仍是無窮小.（3）有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

2.無窮小量的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中：特別地，常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小．《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》因此當(dāng)時，它們的乘積是無窮小量.所以.

【例2】求因為當(dāng)時,為無窮小,【解】

又因為，即為有界量,《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》3.無窮小量的比較

在自變量的某一變化過程中，無窮小量雖然都是以零為極限，但不同的無窮小量趨于零的“速度”卻不一定相同．為了研究這些不同的情況，我們給出下面的定義．《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》例如，當(dāng)時，都是無窮小量，因為

當(dāng)時，與是同階無窮小量．所以當(dāng)時，是比高階的無窮小量；當(dāng)時，是比低階的無窮小量；《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》例如當(dāng)時,函數(shù)為無窮大量.注意:任何常數(shù)都不是無窮大！二、無窮大量

注1無窮大量必定是變量，一個數(shù)無論它多么大都不是無窮大量．注2函數(shù)是否為無窮大量與自變量的變化過程有關(guān)，同一個函數(shù)

在自變量的不同變化過程中，情況也不同.

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》定理2.3.2在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數(shù)一定是無窮小量；非零無窮小量的倒

數(shù)一定是無窮大量．三、無窮大與無窮小的關(guān)系例3自變量在怎樣的變化過