33函數(shù)單調(diào)性與極值

一、函數(shù)的單調(diào)性3.3函數(shù)單調(diào)性與極值二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的單調(diào)性1、引論：函數(shù)增減性與導數(shù)符號的關系f(x)單調(diào)增函數(shù)f(x)單調(diào)減函數(shù)定理1

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可微，(1)若當

x

(a,b)時，f

(x)>0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若當

x

(a,b)時，f

(x)<0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.2、函數(shù)的單調(diào)性的判定法說明１：判定法中的區(qū)間可以推廣到其它各種區(qū)間，但是結論中的區(qū)間要與條件中的連續(xù)區(qū)間相同．

２：定理中的條件“在

(a,b)內(nèi)f(x)>0，（f(x)<0）”，改為“在

(a,b)內(nèi)除個別孤立點導數(shù)為零或?qū)?shù)不存在外，都有f(x)>0，（f(x)<0）”，而其他條件不變，定理的結論仍成立解３、單調(diào)區(qū)間定義：區(qū)間和叫做這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1討論函數(shù)的單調(diào)性說明：求連續(xù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，可以利用導數(shù)為零和導數(shù)不存在的點將函數(shù)定義域劃分為若干區(qū)間，然后在每個區(qū)間上根據(jù)導數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間例2求函數(shù)f(x)=x3

-3x的單調(diào)區(qū)間．解

(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(,)；(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f

(x)=0，得x=-1，x=1，它們將定義區(qū)間分為三個子區(qū)間：(,-1)，(-1,1)，(1,)；

(3)因為當x(,-1)時，

f(x)>0，x(1,1)時，f

(x)<0，x(1,+)時f

(x)>0，所以(,-1)和(1,)是f(x)的遞增區(qū)間，(-1,1)是f(x)的遞減區(qū)間.為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f

(x)

-

f(x)其中箭頭，分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.確定某個函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出使f

(x)=0和f(x)不存在的點，并以這些點為分界點,將定義域分為若干個子區(qū)間；(3)確定f

(x)在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定出f(x)的單調(diào)性.解

(1)該函數(shù)的定義區(qū)間為(，)；例3此外，顯然x=0

為f(x)的不可導點，（2）x(

,0)f(x)－

f(x)（3）列表討論：例4證明：當時，證明：設所以函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)增加，故x>0時，f(x)>f(0)=0；從而x>ln(1+x).在內(nèi)，定義1

設函數(shù)

y=f(x)在x0的一個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于x0的x恒有(1)

f(x0)>f(x)，則稱f(x0)

為函數(shù)f(x)的極大值，x0稱為f(x)的極大值點；(2)

f(x0)<f(x)，則稱f(x0)

為函數(shù)f(x)的極小值，x0稱為f(x)的極小值點；函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.二、函數(shù)的極值及其求法1、函數(shù)的極值和極值點的概念顯然，在圖中，x1，x4，x6為f(x)的極小值點，x2，x5

為f(x)的極大值點.注：1）極值是局部性概念，一個函數(shù)在定義域內(nèi)的極值可能有多個，且極大值不一定大于極小值；

2）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，在區(qū)間端點不可能取得極值。定理2(必要條件)

設函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù)，且f(x0)為極值(即x0

為極值點)，則f

(x0)=0或f

(x0)不存在.2、函數(shù)極值的判定和求法定義函數(shù)可能在其導數(shù)為零的點，或者是在連續(xù)但不可導的點處取得極值.注意:例如,定理3(極值的第一充分條件)設函數(shù)y=f(x)在x0的一個鄰域內(nèi)可導,且f

(x0)=0(或f(x)在x0處可以不可導，但必須連續(xù)).若當x在該鄰域內(nèi)由小于x0連續(xù)地變?yōu)榇笥趚0時，其導數(shù)f

(x)改變符號，則f(x0)為函數(shù)的極值.并且x0為函數(shù)的極值點.(1)若導數(shù)f

(x)由正值變成負值，則x0為極大值點,f(x0)為f(x)的極大值；(2)若導數(shù)f

(x)由負值變成正值，則x0為極小值點，f(x0)為f(x)的極小值;(3)若導數(shù)f

(x)不變號，則f(x0)不為f(x)的極值。定理3(極值的第一充分條件)運用定理3求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定定義域，求導數(shù)，并找出所給函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點；(2)考察上述點兩側導數(shù)的符號，確定極值點；(3)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.(不是極值點情形)例

5求函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-2)3

的極值.解定義域為(-

,+

).f

(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).令f

(x)=0可得f(x)的三個駐點：該函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)無不可導的點。x(-,1)f

(x)12(2,+

)+0-0+0+f(x)極大值0無極值列表：所以，極大值f(1)=0，f

(x)=(x-1)

(x-2)2(5x-7).解所給函數(shù)的單調(diào)性在例4中已討論過.例

6求函數(shù)f(x)=(x-1)3

的極值.此外，顯然x=0

為f(x)的不可導點，其定義區(qū)間為(，)x(-,0)f

(x)0+×-0+f(x)極大值03所以極大值f(0)=0,極小值f()=3列表：練習1填空1、設，因為，所以在區(qū)間

函數(shù)單調(diào)

.2、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為

.3、函數(shù)在處取得極小值

，在處取得極大值

.4、函數(shù)在處取得極

值

.

增加1-6-22110小練習2解,現(xiàn)列表討論0