北師版七年級數(shù)學上冊 第二章 有理數(shù)及其運算的知識歸納與題型突破（十五大題型清單）

第二章有理數(shù)及其運算的知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1：正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。知識點2：有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種⑴按正、負性質分類：⑵按整數(shù)、分數(shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)0零有理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)知識點3：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應的。比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（3）應用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。（注意不帶“+”“—”號）知識點4：相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負數(shù)。（3）多重符號的化簡多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數(shù)（注意：當“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結果取正號當“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結果取負號）知識點5:絕對值（1）幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。一個正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）（2）代數(shù)意義一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)0的絕對值是0（3）代數(shù)符號意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非負數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（6）比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)。兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。知識點6：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點7：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識點8：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b知識點9：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點9：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知識點10：倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.知識點11：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點12：乘方法則運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識點13：混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。知識點14：科學計數(shù)法1.科學記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數(shù)用科學記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結果一般用科學記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。注意：（1）用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5。0303題型歸納題型一正負數(shù)

例題：中國古代著作《九章算術》在世界數(shù)學史上首次正式引人負數(shù)，如果盈利600元記作+600元，那么虧本400元記作（

）A．?400 B．?600 C．+400 D．+600鞏固訓練1．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則?3℃表示氣溫為（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．某種袋裝食品，質檢員為了解該種食品的質量（單位：g），抽樣監(jiān)測了其中4袋．其中超標的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)．檢驗結果分別是+4，?0.4，?0.7，?2.4，最接近標準質量的是（

）A．+4 B．?0.4 C．?0.7 D．?2.43．實驗小學的同學們參加勞動實踐，老師將蔬菜小組的同學栽種的蔬菜以成活8棵為標準，西紅柿組成活10棵記作+2棵，茄子組成活7棵記作()，彩椒組成活8棵記作()．題型二相反意義的量表示例題：在記錄水庫水位時，如果記錄員把高于正常水位5cm記為+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．?3cm鞏固訓練1．小明同學的微信錢包部分賬單明細如圖所示，?12.00表示支出12元，下列說法正確的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支總和為15.04元 D．收支總和為8.96元2．一次數(shù)學測驗全班的平均分為95分，小明考了98分，張老師記作+3分，小亮考了91分，張老師應記作()分．3．已知一個乒乓球的標準質量為2.70g，把質量為2.72g的乒乓球記為+0.02，則質量為2.59g題型三有理數(shù)的概念辨析例題：下列說法中，正確的是（

）A．正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù) B．0既是正整數(shù)也是負整數(shù)C．正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) D．正有理數(shù)和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)鞏固訓練1．在?0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每兩個1之間的0個數(shù)逐次增加1）中，有理數(shù)個數(shù)共有（A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．在數(shù)?2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5題型四有理數(shù)的分類/大小比較

例題：把下列各數(shù)填在相應的括號里?3，235，7，3.14，2024，?334，0，+2.01，?5整數(shù)集合：{

}分數(shù)集合：{

}非負數(shù)集合：{

}非負整數(shù)集合：{

}例題：比較大?。??27?38（填“>鞏固訓練1．比較大?。?232．把下列各數(shù)分別填在相應集合中．?3，負數(shù)集合：{______…}整數(shù)集合：{______…}正分數(shù)集合：{______…}負整數(shù)集合：{______…}3．把下列各數(shù)填入相應的括號內．?12，0.618，?3.1415，2022，?32，26.5%(1)正分數(shù)：{___________}；(2)整數(shù)：{___________}；(3)負有理數(shù)：{___________}；(4)非負數(shù)：{___________}．題型五數(shù)軸和數(shù)軸上的點所表示的數(shù)．例題：在數(shù)軸上表示?3的點與表示2的點之間的距離是（

）A．5 B．?5 C．5或?5 D．1例題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．把?a，b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．0<?a<b B．?a<0<b C．b<0<?a D．b<?a<0鞏固訓練1．以下數(shù)軸畫法正確的是（）A． B．C． D．2．數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫作整點．某數(shù)軸的單位長度為1cm，若在這條數(shù)軸上任意畫出一條長度為2024cm的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)為（

A．2025個 B．2024個 C．2025或2024個 D．2024或2023個3．如圖，數(shù)軸上兩點A，B所表示的數(shù)分別為?3，1．若點C在數(shù)軸上，且AB=12AC，則點CA．8 B．5 C．5或?4 D．5或?11題型六倒數(shù)的概念、相反數(shù)的概念和相反數(shù)的性質運用例題：2024的相反數(shù)是（

）A．2024 B．12024 C．?2024 D．例題：?1A．3 B．13 C．?3 D．鞏固訓練1．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()A．7和?7 B．?7和17 C．?7和-17 D．12．?2的相反數(shù)是（

）A．2 B．?2 C．12 D．3．如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且a+b=0．若A、B兩點間的距離為6，則點A表示的數(shù)為()A．?6 B．6 C．?3 D．34．若a，b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a+b?2的值為.題型七絕對值定義、絕對值的性質與化簡例題：?5的絕對值是（）A．15 B．5 C．?5 D．例題：實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a?b+b的化簡結果是（A．a B．?a C．a?2b D．2b?a鞏固訓練1．如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數(shù)記為正數(shù)．不足標準質量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準的是（

）A． B． C． D．2．請根據(jù)以下檢驗記錄（“+”表示超出標準質量，“?”表示不足標準質量），選出質量最接近標準質量的乒乓球的編號是（

）編號1234偏差/+0.03?0.02+0.05?0.04A．1 B．2 C．3 D．43．三個有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則化簡a+b?c?b+aA．2a+2b B．2a+2b?c C．?c D．?2b?c4．已知數(shù)a、b、c位置如圖所示，化簡a?b?a+c題型八非負性的性質例題：若|m?2+n?7|=0，則m+n=A．2 B．7 C．8 D．9鞏固訓練1．若x?4+y+132A．43 B．8 C．?8 D．2．若a+2+5?b2=03．如果|a?1|+|b?2|=0，那么2ab=．4．已知a+22與b?3互為相反數(shù)，則a?b=題型九有理數(shù)的加減運算例題：把7??3+?5A．7?3?5?2 B．7+3?5?2 C．7+3+5?2 D．7+3?5+2

例題：計算：?3+40+?32+?8；(3)5.6+?0.9+4.4+?8.1+?1鞏固訓練

1．計算：(1)0?+5(2)?352．計算：(1)0??2+?7(3)?0.5?537?1+33．計算：(1)25.3+?7.3+?13.7??7.3(3)?47++3【題型10】有理數(shù)乘除法運算

例題：計算：?3÷?134×0.75÷(3)?72×鞏固訓練1．計算：(1)?3÷?1342．計算：?81÷23．計算：(1)?81÷94×4【題型11】有理數(shù)的乘方例題：下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．?22和?22 B．C．?2和?2 D．?22

鞏固訓練1．下列各式中，不相等的是（）A．?23和?23 B．?32和32 C．?32和2．下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．??2與+?2 B．+C．?23與?23 D．3．計算?23A．?6 B．6 C．?8 D．84.下列各組數(shù)種，值相等的是（

）A．?23與?23 B．23與32 C．?22【題型12】有理數(shù)混合運算

例題：（1）?37+56?43÷(?2)2?3（6）?5

鞏固訓練1．計算：(1)?12022+?23×5?2．計算：(1)6+?5+4+?5；3．計算：(1)?32×(?19【題型13】算“24”點

例題：小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．鞏固訓練1．小亮和同伴玩“24點”游戲，游戲規(guī)則是從一組卡片中任意抽取4張，根據(jù)卡片上的數(shù)進行混合運算（每張卡片必須用一次且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為24或?24．小亮抽到的4張卡片上的數(shù)分別是2，?6，12，13，請幫助小亮列出一個結果為24或?24的算式．2．有一種“二十四點”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次，可以加括號）進行有理數(shù)混合運算，使其結果等于24．現(xiàn)有四個有理數(shù)1，?2，2，3，請仿照“二十四點”游戲規(guī)則寫出一個算式：，使其結果等于24．3．根據(jù)“二十四點”游戲規(guī)則，3，4，?6，10每個數(shù)都必須用且只能用一次，用有理數(shù)的運算符號（+或?或×或÷或乘方）連接，運算符號不一定全用，便其結果等于24，算式為．4．有一種“二十四點”的游戲（即算24游戲），其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只能用一次），使其結果等于24．例如對1，2，3，4，可作如下運算：1+2+3×4=24．在我們學過負數(shù)以后這個游戲仍可以玩．現(xiàn)給出3，?5，6【題型14】科學計數(shù)法和近似數(shù)的表示

例題：“村超”出圈帶動“村經濟”，“村BA”的賽事同樣火熱，在“村BA”賽事期間，臺江縣接待游客181900人次，其中181900用科學記數(shù)法表示應為（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 例題：用四舍五入按要求對0.07056取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到十分位） B．0.07（精確到0.01）C．0.070（精確到千分位） D．0.0706（精確到0.0001）鞏固訓練1．我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米，將數(shù)字21500000用科學記數(shù)法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．2．世界文化遺產長城總長約為6700000米，將6700000用科學記數(shù)法可表示為（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．3．南寧市2023年全年糧食總產量約為2130000噸，其中數(shù)據(jù)2130000用科學記數(shù)法表示為（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．4．小星用天平稱得一個罐頭的質量為2.046kg，用四舍五入法將2.046精確到0.01的近似值為（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.055．8.0648保留一位小數(shù)是()，精確到百分位約是()．【題型15】有理數(shù)實際應用

例題：出租車司機李師傅某天上午營運時從公司出發(fā)，在東西走向的大街上進行，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午所接八位乘客的行車里程（單位：km）如下：?3,+9,+10,?6,?12,2,8,?10．(1)將最后一位乘客送到目的地時，李師傅在什么位置？(2)若汽車耗油量為每千米0.07升，這天上午李師傅接送乘客，出租車共耗油多少升？(3)若出租車起步價為10元，起步里程為3km（包括3鞏固訓練1．2021年第17號臺風獅子山給防城港市造成嚴重影響．救援隊駕著沖鋒舟沿一條東西方向的河流營救災民，早晨從A地出發(fā)，晚上最后到達B地，約定向東為正方向，當天航行次記錄如下（單位：千米）：16,?6,15,?9,12,?4,13,?5，問：(1)B地在A地的東面，還是西面？與A地相距多少千米？(2)若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱容量為35升，求途中至少需要補充多少升油？2．為了增強學生身體素質，激發(fā)學生體育鍛煉熱情，某校七年級8班學生在體育課上進行了一次跳繩比賽．以1分鐘跳180個作為標準，超過的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負數(shù)．某小組10名同學1分鐘跳繩個數(shù)記錄如下：+2，?5，+3，0，?10，+7，?7，?4，+1，?7（單位：個）．(1)求這個小組1分鐘每人平均跳繩的個數(shù)？(2)為增強學生競爭意識，及時評出優(yōu)勝小組進行獎勵，本次活動采取積分制，每超過標準1個記“+2”分，每不足1個記“?1”分，剛好達到標準記“0”分，積分最高的小組獲得最終獎勵，求這個小組的總積分？3．小明爸爸上個星期五買進某公司股票1000股，每股27元，下表為本周內每日該股票的漲跌情況（單位：元）．[注：正負數(shù)表示與前一交易日比較的漲跌情況，如周一收盤時每股27+2=29（元），如周二收盤時每股29?3.5=25.5（元），另股票周六、周日休盤不交易]星期一二三四五每股漲跌+2?3.5+2.5?2+4(1)通過上表你認為周三收盤時，每股是（

）元．(2)本周內每股最多是（

）元，最低是（

）元．(3)若買進股票需付成交額0.15%的手續(xù)費，賣出時需付成交額0.15%的手續(xù)費和4．有30筐白菜，以每筐25kg與標準質量的差值(單位：kg?3?2?10123筐數(shù)1359642(1)與標準重量比較，30筐白菜總計超過或不足多少千克？(2)若白菜每千克售價3.6元，則出售這30筐白菜可賣多少元？5．春節(jié)前優(yōu)鮮果水果店以每箱20元購進6箱武鳴沃柑，每箱標準質量為5000克，店員曉華逐箱進行稱重，超出部分記為正，不足部分記為負，分別為：50克，?20克，30克，30克，?10克，40克，春節(jié)前以每箱50元賣出4箱，春節(jié)后打六折賣出2箱．(1)這6箱武鳴沃柑總質量為多少克？(2)這6箱武鳴沃柑共盈利多少元？6．金秋十月，秋高氣爽，正是賞菊好時節(jié)！白馬湖景區(qū)舉辦了第六屆《百年榮光·菊世無雙主題菊花展》．景區(qū)預計每天接待游客約10000人，實際接待人數(shù)情況如下：（超出預計的人數(shù)記為正數(shù)，不足的人數(shù)記為負數(shù)）星期一二三四五六日超出或不足+600?300+800+1100?600+500?700(1)周六接待游客人數(shù)為_____________人；(2)游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多_____________人；(3)本周共接待游客多少人？

第二章有理數(shù)及其運算的知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1：正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。知識點2：有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種⑴按正、負性質分類：⑵按整數(shù)、分數(shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)0零有理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)知識點3：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應的。比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（3）應用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。（注意不帶“+”“—”號）知識點4：相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負數(shù)。（3）多重符號的化簡多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數(shù)（注意：當“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結果取正號當“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結果取負號）知識點5:絕對值（1）幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。一個正數(shù)的絕對值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）（2）代數(shù)意義一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)0的絕對值是0（3）代數(shù)符號意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非負數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（6）比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)。兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。知識點6：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點7：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識點8：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b知識點9：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點9：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知識點10：倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.知識點11：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點12：乘方法則運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識點13：混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。知識點14：科學計數(shù)法1.科學記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數(shù)用科學記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結果一般用科學記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。注意：（1）用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5。0303題型歸納題型一正負數(shù)

例題：中國古代著作《九章算術》在世界數(shù)學史上首次正式引人負數(shù)，如果盈利600元記作+600元，那么虧本400元記作（

）A．?400 B．?600 C．+400 D．+600【答案】A【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量．根據(jù)正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量即可解答．【詳解】解：盈利600元記作+600元，那么虧本400元記作?400元，故選：A．鞏固訓練1．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則?3℃表示氣溫為（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃【答案】B【分析】此題主要考查正負數(shù)的意義，正數(shù)與負數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．此題主要用正負數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負，直接得出結論即可．【詳解】解：若氣溫為零上10℃記作+10℃，則?3℃表示氣溫為零下3℃，故選：B．2．某種袋裝食品，質檢員為了解該種食品的質量（單位：g），抽樣監(jiān)測了其中4袋．其中超標的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)．檢驗結果分別是+4，?0.4，?0.7，?2.4，最接近標準質量的是（

）A．+4 B．?0.4 C．?0.7 D．?2.4【答案】B【分析】此題主要考查正負數(shù)的意義，正數(shù)與負數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．用正負數(shù)表示意義相反的兩種量：超標的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)．忽略正負號，比較數(shù)字大小，最小的就是最接近標準質量的．【詳解】解：0.4<0.7<2.4<4答：最接近標準質量的是?0.4．故選：B．3．實驗小學的同學們參加勞動實踐，老師將蔬菜小組的同學栽種的蔬菜以成活8棵為標準，西紅柿組成活10棵記作+2棵，茄子組成活7棵記作()，彩椒組成活8棵記作()．【答案】?1棵0棵【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)．解決問題的關鍵是熟練掌握超過標準的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負數(shù)，有理數(shù)的減法計算．根據(jù)“以8棵為標準，超過的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負數(shù)”，7、8分別減去8計算出它們的值即可．【詳解】解：∵7?8=?1，8?8=0，∴7棵記作?1棵，8棵記作0棵．故答案為：?1棵，0棵題型二相反意義的量表示例題：在記錄水庫水位時，如果記錄員把高于正常水位5cm記為+5cm，那么低于正常水位3cmA．3cm B．+3cm C．?3cm【答案】C【分析】本題主要考查了相反意義的量的實際意義，明確題意，理解相反意義的量是解題的關鍵．根據(jù)相反意義的量的實際意義，即可求解；【詳解】解：∵水位高于正常水位5cm時，記作+5∴水位低于正常水位3cm時，應記作?3故選：C．鞏固訓練1．小明同學的微信錢包部分賬單明細如圖所示，?12.00表示支出12元，下列說法正確的是（

）A．+3.04表示收入3.04元 B．+3.04表示支出3.04元C．收支總和為15.04元 D．收支總和為8.96元【答案】A【分析】本題考查了正數(shù)，負數(shù)的意義，一個量用正數(shù)表示，那么與它具有相反意義的量就用負數(shù)表示．【詳解】解：根據(jù)?12.00表示支出12元，“支出”用負數(shù)表示，那么“收入”就用正數(shù)表示，于是+3.04表示收入3.04元，故選：A．2．一次數(shù)學測驗全班的平均分為95分，小明考了98分，張老師記作+3分，小亮考了91分，張老師應記作()分．【答案】?4【分析】此題考查了正負數(shù)的意義和相反意義的量，根據(jù)題意可知以95分為標準，高于記為正，低于記為負，據(jù)此進行解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，小亮考了91分，張老師應記作?4分，故答案為：?43．已知一個乒乓球的標準質量為2.70g，把質量為2.72g的乒乓球記為+0.02，則質量為2.59g【答案】?0.11【分析】本題考查正負數(shù)的意義，根據(jù)題意，可得，超出標準質量為正，則不足為負，進行作答即可．【詳解】解：2.59g比標準質量少0.11g，記為故答案為：?0.11．題型三有理數(shù)的概念辨析例題：下列說法中，正確的是（

）A．正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù) B．0既是正整數(shù)也是負整數(shù)C．正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) D．正有理數(shù)和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【答案】A【分析】此題考查了有理數(shù)，利用分數(shù)，整數(shù)，以及有理數(shù)定義判斷即可．【詳解】解：A、正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)，選項說法正確；B、0是整數(shù)，選項說法錯誤；C、正整數(shù)、負整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，選項說法錯誤；D、正數(shù)、負數(shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，選項說法錯誤，故選：A．鞏固訓練1．在?0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每兩個1之間的0個數(shù)逐次增加1）中，有理數(shù)個數(shù)共有（A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方式是解答本題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可，有理數(shù)可分為整數(shù)和分數(shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負整數(shù)；分數(shù)分正分數(shù)和負分數(shù)．有理數(shù)也可分為正有理數(shù)，零和負有理數(shù)，正有理數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)，負有理數(shù)分為負整數(shù)和負分數(shù)．【詳解】解：?0.8、3.5、π2、0、a2、3.010010001……（每兩個1之間的0個數(shù)逐次增加1）中故選B．2．在數(shù)?2，0，227，π2，0.3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的分類．有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)．【詳解】解：?2，0，227，0.π2故選：C．題型四有理數(shù)的分類/大小比較

例題：把下列各數(shù)填在相應的括號里?3，235，7，3.14，2024，?334，0，+2.01，?5整數(shù)集合：{

}分數(shù)集合：{

}非負數(shù)集合：{

}非負整數(shù)集合：{

}【答案】見解析【分析】本題考查的是有理數(shù)的分類，直接利用有理數(shù)的概念與分類把符合條件的數(shù)填入相應的集合里面即可．【詳解】解：整數(shù)集合：{?3，7，2024，0，53，??????}分數(shù)集合：{235，3.14，?334，+2.01，?5非負數(shù)集合：{235，7，3.14，2024，0，+2.01，π，53，??????非負整數(shù)集合：{7，2024，0，53，??????}例題：比較大?。??27?38（填“>【答案】>【分析】本題考查了相反數(shù)和有理數(shù)的大小比較，注意：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。惹蟪??【詳解】解：∵??∴??故答案為：>．鞏固訓練1．比較大小：?23【答案】>【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小，根據(jù)題意得?23=23=8【詳解】解：∵?2?3812∴?2故答案為：>．2．把下列各數(shù)分別填在相應集合中．?3，負數(shù)集合：{______…}整數(shù)集合：{______…}正分數(shù)集合：{______…}負整數(shù)集合：{______…}【答案】見解析【分析】本題考查的是有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類進行判斷即可．有理數(shù)包括：整數(shù)（正整數(shù)、0和負整數(shù)）和分數(shù)（正分數(shù)和負分數(shù)）．【詳解】解：負數(shù)集合：{?3，?35，?1，?227，?3.14，整數(shù)集合：{?3，

0，2020，?35，?1，500%，?8正分數(shù)集合：{13，6.4，0.03%，3.5負整數(shù)集合：{?3，?35，?1，?8…}3．把下列各數(shù)填入相應的括號內．?12，0.618，?3.1415，2022，?32，26.5%(1)正分數(shù)：{___________}；(2)整數(shù)：{___________}；(3)負有理數(shù)：{___________}；(4)非負數(shù)：{___________}．【答案】(1)0.618，26.5(2)2022，?32，0(3)?12，?3.1415(4)0.618，2022，26.5%，【分析】本題考查有理數(shù)的知識，解題的關鍵是掌握正分數(shù)，整數(shù)，負有理數(shù)，非負數(shù)的定義，進行接待室，即可．【詳解】（1）正分數(shù)：有理數(shù)中大于零的分數(shù)，∴正分數(shù)為：0.618，26.5%故答案為：0.618，26.5%（2）整數(shù)：包括正整數(shù)，零，負整數(shù)，∴整數(shù)為：2022，?32，0，故答案為：2022，?32，0．（3）負有理數(shù)：小于零的有理數(shù)，包括負整數(shù)和負分數(shù)，∴負有理數(shù)為：?12，?3.1415，故答案為：?12，?3.1415，（4）非負數(shù)：正數(shù)和零，∴非負數(shù)為：0.618，2022，26.5%，0故答案為：0.618，2022，26.5%，0題型五數(shù)軸和數(shù)軸上的點所表示的數(shù)．例題：在數(shù)軸上表示?3的點與表示2的點之間的距離是（

）A．5 B．?5 C．5或?5 D．1【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離計算方法直接計算即可求解，掌握數(shù)軸上兩點間的距離計算方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵2??3∴數(shù)軸上表示?3的點與表示2的點之間的距離是5，故選：A．例題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．把?a，b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．0<?a<b B．?a<0<b C．b<0<?a D．b<?a<0【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸上表示數(shù)，有理數(shù)的大小比較，在數(shù)軸上表示出?a然后根據(jù)數(shù)軸特點即可比較大小，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：將數(shù)?a在數(shù)軸上表示出來，如圖：按照從小到大的順序排列為0<?a<b，故選：A．鞏固訓練1．以下數(shù)軸畫法正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸，了解數(shù)軸三要素是關鍵．根據(jù)數(shù)軸三要素：原點，正方向，單位長度，逐一排除即可．【詳解】解：A．沒有正方向，錯誤，不符合題意；B．單位長度不相等，錯誤，不符合題意；C．有正方向，原點，單位長度相等，正確，符合題意；D．選項沒有原點，錯誤，不符合題意．故選：C．2．數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫作整點．某數(shù)軸的單位長度為1cm，若在這條數(shù)軸上任意畫出一條長度為2024cm的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)為（

A．2025個 B．2024個 C．2025或2024個 D．2024或2023個【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點的距離，分當長度為2024cm的線段的兩個端點恰好都是整點時，當長度為2024【詳解】解：當長度為2024cm的線段的兩個端點恰好都是整點時，那么線段蓋住的整點個數(shù)為2024+1=2025當長度為2024cm的線段的兩個端點恰好都不是整點時，那么線段蓋住的整點個數(shù)為2024故選：C．3．如圖，數(shù)軸上兩點A，B所表示的數(shù)分別為?3，1．若點C在數(shù)軸上，且AB=12AC，則點CA．8 B．5 C．5或?4 D．5或?11【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸和數(shù)軸上兩點間的距離，解題的關鍵是掌握用數(shù)軸上的點表示數(shù)．利用數(shù)軸知識先確定線段AB的長，再求出線段AC的長，確定C點表示的數(shù)．【詳解】解：∵A，B所表示的數(shù)分別為?3，1，∴AB=4，∵點C在數(shù)軸上，且AB=1∴AC=2AB=2×4=8，∴點C表示的數(shù)是?3+8=5，或?3?8=?11．故選：D．

題型六倒數(shù)的概念、相反數(shù)的概念和相反數(shù)的性質運用例題：2024的相反數(shù)是（

）A．2024 B．12024 C．?2024 D．【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，即可作答．【詳解】解：2024的相反數(shù)是?2024故選：C例題：?1A．3 B．13 C．?3 D．【答案】C【分析】本題主要考查倒數(shù)的定義，根據(jù)互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為1求解即可．【詳解】解：?13的倒數(shù)是故選：C．鞏固訓練1．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()A．7和?7 B．?7和17 C．?7和-17 D．1【答案】A【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【詳解】解：A.7和?7，互為相反數(shù)，故該選項正確，符合題意；

B.?7和17，不互為相反數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；C.?7和?17，不互為相反數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；D.17和7故選：A．2．?2的相反數(shù)是（

）A．2 B．?2 C．12 D．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的數(shù)是相反數(shù)，即可解答．【詳解】解：?2的相反數(shù)是2，故選：A．【點睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握相反數(shù)的定義：只有符號不同的數(shù)是相反數(shù)．3．如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且a+b=0．若A、B兩點間的距離為6，則點A表示的數(shù)為()A．?6 B．6 C．?3 D．3【答案】C【分析】根據(jù)a+b=0，結合數(shù)軸，即可求解．【詳解】解：∵點A、B分別表示數(shù)a、b，且a+b=0，A、B兩點間的距離為6，∴b?a=?a?a=?2a=6∴a=?3，故選：C．【點睛】本題考查了求數(shù)軸上兩點距離，相反數(shù)的意義，數(shù)形結合是解題的關鍵．4．若a，b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a+b?2的值為.【答案】?2【分析】根據(jù)a，b互為相反數(shù)得到a+b=0，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∴a+b?2=0?2=?2，故答案為：?2；【點睛】本題考查相反數(shù)的定義，解題的關鍵是根據(jù)相反數(shù)得到a+b=0．題型七絕對值定義、絕對值的性質與化簡例題：?5的絕對值是（）A．15 B．5 C．?5 D．【答案】B【分析】本題題主要考查絕對值的性質，熟知絕對值的性質是解題的關鍵．利用絕對值的定義求解即可．【詳解】解：?5的絕對值是5．故選：B．例題：實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a?b+b的化簡結果是（A．a B．?a C．a?2b D．2b?a【答案】D【分析】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．根據(jù)數(shù)軸可知，?3<a<?2，1<b<2，可得a?b<0，因此|a?b|+|b|=?a+b+b=2b?a．【詳解】解：由數(shù)軸可知，?3<a<?2，1<b<2，∴a?b<0，∴|a?b|+|b|=?a+b+b=2b?a，故選：D．鞏固訓練1．如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數(shù)記為正數(shù)．不足標準質量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了絕對值以及正數(shù)和負數(shù)的應用，掌握正數(shù)和負數(shù)的概念和絕對值的性質是解題的關鍵．求出每個數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的大小找出絕對值最小的數(shù)即可．【詳解】解：∵?3.6=3.6，?2.5=2.5，?0.9而0.8<0.9<2.5<3.6，∴最接近標準的是選項D．故選：D．2．請根據(jù)以下檢驗記錄（“+”表示超出標準質量，“?”表示不足標準質量），選出質量最接近標準質量的乒乓球的編號是（

）編號1234偏差/+0.03?0.02+0.05?0.04A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查的是絕對值的實際應用，本題先求解各數(shù)的絕對值后，再比較絕對值的大小即可求得答案．【詳解】解：各數(shù)的絕對值分別為：0.03，0.02，0.05，0.04，∴絕對值最小的是0.02，則質量最接近標準質量的乒乓球的編號是2，故選：B．3．三個有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則化簡a+b?c?b+aA．2a+2b B．2a+2b?c C．?c D．?2b?c【答案】C【分析】本題考查了整式的加減和去絕對值，根據(jù)數(shù)軸分別判斷a+b<0，c?b>0的正負，然后去掉絕對值即可，解題的關鍵是結合數(shù)軸判斷絕對值符號里面代數(shù)式的正負．【詳解】由數(shù)軸可得，a+b<0，c?b>0，∴a+b=?a?b?c+b+a，=?c，故選：C．4．已知數(shù)a、b、c位置如圖所示，化簡a?b?a+c【答案】b+c/c+b【分析】本題主要考查絕對值的化簡、數(shù)軸等知識點，要能根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定各式子的符號是關鍵．先根據(jù)數(shù)軸上a，b，c的位置確定a?b，【詳解】解：由數(shù)軸可知：c<0<a<b,c>a，則所以a?b?故答案為：b+c．題型八非負性的性質例題：若|m?2+n?7|=0，則m+n=A．2 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本題考查了非負數(shù)的性質．解題的關鍵是掌握非負數(shù)的性質：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零．根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出m、n，然后代入計算即可得解．【詳解】解：由題意得，m?2=0，解得m=2，所以，m+n=故選：D．鞏固訓練1．若x?4+y+132A．43 B．8 C．?8 D．【答案】C【分析】此題主要考查了非負數(shù)的性質，正確得出x，y的值是解題關鍵．直接利用偶次方和絕對值的非負性，非負數(shù)的性質得出x，y的值，進而得出答案．【詳解】解：∵|x?4|+y+∴x?4=0，y+1解得x=4，y=?1則6xy=6×4×?故選：C．2．若a+2+5?b2=0【答案】3【分析】本題考查了絕對值和平方的非負性，解題的關鍵是掌握“幾個非負數(shù)相加和為0，則這幾個非負數(shù)分別為0”，根據(jù)題意得出a=?2,b=5，即可解答．【詳解】解：∵a+2+∴a=?2,b=5，∴a+b=?2+5=3，故答案為：3．3．如果|a?1|+|b?2|=0，那么2ab=．【答案】4【分析】本題考查了絕對值的非負性與代數(shù)式的求值計算，解題的關鍵是求得a與b的值．根據(jù)絕對值的意義先確定a、b的值，然后再代值計算即可．【詳解】∵|a?1|≥0,|b?2|≥0,|a?1|+|b?2|=0,∴|a?1|=0,|b?2|=0,∴a?1=0，∴a=1，則2ab=2×1×2=4，故答案為：4．4．已知a+22與b?3互為相反數(shù)，則a?b=【答案】?5【分析】此題考查了平方和絕對值的非負性、非負數(shù)的性質、代數(shù)式的值等知識，根據(jù)a+22與b?3互為相反數(shù)得到a+22+【詳解】解：∵a+22與b?3∴a+22又∵a+22≥0∴a+2=0,b?3=0∴a=?2,b=3∴a?b=?2?3=?5，故答案為：?5題型九有理數(shù)的加減運算例題：把7??3+?5A．7?3?5?2 B．7+3?5?2 C．7+3+5?2 D．7+3?5+2【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)加減混合運算，其中去括號是解答本題的關鍵．即：括號前是正號，去掉括號及正號不變號；括號前是負號，去掉括號及負號要變號．據(jù)此即可解答．【詳解】解：7??3故選：B．

例題：計算：(1)?3+40+(2)51(3)5.6+?0.9(4)?0.5+3【答案】(1)?3(2)?2(3)0(4)0【分析】本題考查了有理數(shù)的加法計算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．（1）先計算后面三個數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．（2）將第1、3兩個數(shù)結合，第2、4兩個數(shù)結合，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．（3）將第1、3兩個數(shù)結合，第2、4兩個數(shù)結合，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．（4）將第1、4兩個數(shù)結合，第2、3兩個數(shù)結合，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．【詳解】（1）解：?3=?3+40+=?3；（2）5==7+=?2；（3）5.6+==10+=0；（4）?0.5==?6+6=0鞏固訓練

1．計算：(1)0?+5(2)?35【答案】(1)?1(2)0【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運算，有理數(shù)加法的運算律，解題的關鍵是∶（1）先去括號，然后利用有理數(shù)加法的運算律和有理數(shù)的加減運算法則計算即可；（2）利用有理數(shù)加法的運算律和有理數(shù)的加減運算法則計算即可．【詳解】（1）解∶原式=0?5+3.6?4?3+7.4==?12+11=?1（2）解∶原式==?10+10=0．2．計算：(1)0?(2)?5(3)?0.5?5(4)?9.2?【答案】(1)?16(2)6.3(3)?5(4)0【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算；（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則即可求解；（2）把各數(shù)統(tǒng)一為小數(shù)，即可求解；（3）利用結合律即可求解；（4）先求絕對值，再各數(shù)統(tǒng)一為小數(shù)，即可求解．【詳解】（1）0?=0+2?7?1?10=?16；（2）?5=?5.4+2.25+2.6?5.75=?2.8?3.5=6.3；（3）?0.5?5==?6?2+2=?52（4）?9.2?=?9.2+7.4+9.2?6.4?4+3=1?4+3=0．3．計算：(1)25.3+?7.3(2)?17(3)?4(4)?10?【答案】(1)11.6(2)5(3)2(4)?31【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，注意運算順序和符號；在計算中巧妙運用加法運算律往往使計算更簡便．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可．【詳解】（1）解：25.3+=25.3?7.3?13.7+7.3==11.6；（2）解：?=?=?=5（3）解：?===26（4）解：?10=?10+15?16?20=?31．【題型10】有理數(shù)乘除法運算

例題：計算：(1)?3÷(2)?1(3)?72×【答案】(1)18(2)?5(3)54【分析】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘除運算法則．（1）首先確定結果的符號，再把除法變?yōu)槌朔ǎ燃s分，后相乘進行計算即可；（2）首先確定結果的符號，再把除法變?yōu)槌朔?，約分后相乘進行計算即可；（3）首先計算括號里面的，再計算括號外面的乘法即可．【詳解】（1）解：?3=3×=18；（2）解：?=?=?5；（3）解：?72==48×=54．

鞏固訓練1．計算：(1)?3(2)?1【答案】(1)18(2)?5【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運算法則及運算順序是解決問題的關鍵．（1）按照從左至右的順序計算即可；（2）按照從左至右的順序計算即可；【詳解】（1）解：?3=3×=18；（2）解：?=?=?5；2．計算：?81÷2【答案】16【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．先將除法化為乘法，再進行計算即可．【詳解】解：?81====163．計算：(1)?81÷(2)?5÷?1【答案】(1)1(2)?1【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握有理數(shù)的乘除法法則是解題的關鍵．（1）先根據(jù)有理數(shù)的除法法則計算，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可；（2）先根據(jù)有理數(shù)的除法法則計算，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可．【詳解】（1）?81==1；（2）?5÷=?5×=?1．【題型11】有理數(shù)的乘方

例題：下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．?22和?22 B．C．?2和?2 D．?22【答案】D【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方和絕對值，熟練掌握有理數(shù)的乘方法則和絕對值的性質是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方法則和絕對值的性質分別求出兩式的結果即可．【詳解】解：A、?2B、?1C、?2D、?22故選：D．

鞏固訓練1．下列各式中，不相等的是（）A．?23和?23 B．?32和32 C．?32和【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方運算，絕對值．根據(jù)乘方運算和絕對值法則，逐個計算即可．【詳解】解：A、?23=?8，?2B、?32=9，32C、?32=9，?3D、|?2|3=8，?故選：C．2．下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．??2與+?2 B．+C．?23與?23 D．【答案】C【分析】本題考查了化簡多重符號以及有理數(shù)的乘方運算，化簡絕對值，據(jù)此相關性質內容進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、??2B、+?3C、?23D、?32故選：C3．計算?23A．?6 B．6 C．?8 D．8【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，一個負數(shù)的立方等于它的絕對值的立方的相反數(shù)．【詳解】解：?23故選：C．4.下列各組數(shù)種，值相等的是（

）A．?23與?23 B．23與32 C．?22【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義，絕對值的性質，根據(jù)有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義，絕對值的性質逐項判斷即可，熟記性質是解題的關鍵．【詳解】A、由?23=?8，?2B、由23=8，32C、由?22=?4，?2D、由??3=?3，?3=3故選：A．【題型12】有理數(shù)混合運算

例題：（1）?3（2）?1（3）?4（4）?1（5）?3（6）?5【答案】（1）157；（2）?5；（3）?8，（4）16；（5）【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運算，掌握運算順序是解本題的關鍵；（1）先統(tǒng)一為省略加號的和的形式，再利用結合律進行簡便運算即可；（2）先計算乘方與絕對值，再計算乘除運算，最后計算加減運算即可；（3）先計算括號內的加減運算，乘方運算，再計算乘除運算即可；（4）先計算括號內的運算，乘方運算，再計算乘除運算，最后計算加減運算即可；（5）先計算括號內的運算，乘方運算，再計算乘除運算，最后計算加減運算即可；（6）先計算括號內的運算，乘方運算，再計算乘除運算，最后計算加減運算即可；【詳解】解：（1）?===15（2）?=?=?=?3?2=?5；（3）?=?64÷4×=?16×=?8；（4）?=?1?=?1?=?1+=1（5）?=?=?==41（6）?=?25?=?25+8+=?17?=?174

鞏固訓練1．計算：(1)?12022(2)?1【答案】(1)?46(2)?11【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握運算法則和運算律是解題的關鍵．（1）先算乘方，再算乘法，后算加減，即可解答；（2）利用運算律先算乘法，后算加減，即可解答．【詳解】（1）解：原式=1+(?8)×5?28÷4=1?40?7=?46；（2）解：原式===4?18+3=?11．2．計算：(1)6+?5(2)?1【答案】(1)0；(2)4．【分析】（1）利用加法交換律和結合律進行計算再相加即可求解；（2）利用乘方運算和乘法分配律進行即可，再相加減即可求解；本題考查了有理數(shù)的運算，掌握有理數(shù)的運算法則和運算律是解題的關鍵．【詳解】（1）解：原式=6+4+=10+?10=0；（2）解：原式=?1+24×=?1+9?20+16，=?1?20+16+9，=?21+25，=4．3．計算：(1)?3(2)(?1)2020【答案】(1)?1(2)?3【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算．（1）先計算乘方，然后把除法轉化成乘法計算，最后再計算加減法即可．（2）先計算乘方，然后把除法轉化成乘法計算即可．【詳解】（1）解：原式=?9×(?=1?2=?1（2）原式=1×=?3【題型13】算“24”點

例題：小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．【答案】(1)一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是?4時，最大值是20(2)一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是+2時，它們相除的最小值是?2.5(3)(?5)×(?4)+6?2=24【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算；（1）從中抽2張卡片，要使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個數(shù)必須同號，據(jù)此求解即可；（2）從中抽取2張卡片，要使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，則一個是正數(shù)，另一個是負數(shù)，據(jù)此求出最小值是多少即可．（3）用學過的運算方法，構造出算式，使結果為24即可．【詳解】（1）(+6)×(+2)=12，(?5)×(?4)=20，因為20>12，所以其中的一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是?4時，最大值是20；（2）(?5)÷(+2)=?2.5，所以其中的一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是+2時，它們相除的最小值是?2.5；（3）從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24，運算式子為：(?5)×(?4)+6?2=24．鞏固訓練1．小亮和同伴玩“24點”游戲，游戲規(guī)則是從一組卡片中任意抽取4張，根據(jù)卡片上的數(shù)進行混合運算（每張卡片必須用一次且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為24或?24．小亮抽到的4張卡片上的數(shù)分別是2，?6，12，13，請幫助小亮列出一個結果為24或?24的算式．【答案】12÷?6【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)有理數(shù)的運算法則湊成“24點”即可，熟練掌握有理數(shù)的混合運算的法則及順序是解此題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：12÷?6+2×13=24，故答案為：12÷?62．有一種“二十四點”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只用一次，可以加括號）進行有理數(shù)混合運算，使其結果等于24．現(xiàn)有四個有理數(shù)1，?2，2，3，請仿照“二十四點”游戲規(guī)則寫出一個算式：，使其結果等于24．【答案】3×2【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合計算法則進行計算求解即可．【詳解】解：3×=3×=3×8=24，∴滿足題意的式子可以為3×2故答案為：3×2【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．3．根據(jù)“二十四點”游戲規(guī)則，3，4，?6，10每個數(shù)都必須用且只能用一次，用有理數(shù)的運算符號（+或?或×或÷或乘方）連接，運算符號不一定全用，便其結果等于24，算式為．【答案】3×4+10+【分析】根據(jù)題意列出算式，使其運算結果為24即可．【詳解】解：由題意，3×4+10+?6=24故答案為：3×4+10+【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，通過游戲培養(yǎng)學生對有理數(shù)的運算的靈活運用以及趣味性．4．有一種“二十四點”的游戲（即算24游戲），其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只能用一次），使其結果等于24．例如對1，2，3，4，可作如下運算：1+2+3×4=24．在我們學過負數(shù)以后這個游戲仍可以玩．現(xiàn)給出3，?5，6【答案】?5+6÷4【分析】利用“二十四點”的游戲規(guī)則計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：?5+6÷4×故答案為：?5+6÷4×【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【題型14】科學計數(shù)法和近似數(shù)的表示

例題：“村超”出圈帶動“村經濟”，“村BA”的賽事同樣火熱，在“村BA”賽事期間，臺江縣接待游客181900人次，其中181900用科學記數(shù)法表示應為（

）A．0.1819×106 C．1.819×105 【答案】C【分析】本題主要考查科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)．解題關鍵是正確確定科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值【詳解】解：181900=1.819×故選：C．例題：用四舍五入按要求對0.07056取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到十分位） B．0.07（精確到0.01）C．0.070（精確到千分位） D．0.0706（精確到0.0001）【答案】C【分析】本題主要考查了近似數(shù)，“精確到第幾位”是精確度的表示形式，熟練掌握四舍五入是解題關鍵．根據(jù)近似數(shù)的精確度逐項判斷即可．【詳解】解：0.07056≈0.1（精確到十分位），選項A正確，不符合題意；0.07056≈0.07（精確到0.01），選項B正確，不符合題意；0.07056≈0.071（精確到千分位），選項C錯誤，符合題意；0.07056≈0.0706（精確到0.0001），選項D正確，不符合題意，故選：C．鞏固訓練1．我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米，將數(shù)字21500000用科學記數(shù)法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×108 C．【答案】A【分析】本題主要考查科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法求解即可．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n【詳解】將數(shù)字21500000用科學記數(shù)法表示為2.15×10故選：A．2．世界文化遺產長城總長約為6700000米，將6700000用科學記數(shù)法可表示為（

）A．6.7×105 B．6.7×106 C．【答案】B【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，【詳解】解：將6700000用科學記數(shù)法表示為6.7×10故選：B3．南寧市2023年全年糧食總產量約為2130000噸，其中數(shù)據(jù)2130000用科學記數(shù)法表示為（

）A．0.213×107 B．2.13×106 C．【答案】B【分析】本題主要考查科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法求解即可．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n【詳解】2130000用科學記數(shù)法表示為2.13×10故選：B．4．小星用天平稱得一個罐頭的質量為2.046kg，用四舍五入法將2.046精確到0.01的近似值為（

A．2 B．2.0 C．2.04 D．2.05【答案】D【分析】本題主要考查近似數(shù)和有效數(shù)字，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．對千分位數(shù)字四舍五入即可．【詳解】解：用四舍五入法將2.046精確到0.01的近似值為2.05，故選：D．5．8.0648保留一位小數(shù)是()，精確到百分位約是()．【答案】8.18.06【分析】本題考查小數(shù)的近似數(shù)取值，關鍵要看清精確到的位數(shù)．運用“四舍五入”法取近似值：要看精確到哪一位，從它的下一位運用“四舍五入”取值．【詳解】解：根據(jù)題意保留一位小數(shù)，8.0648≈8.1,精確到百分位約8.0648≈8.06，故答案為：8.1；8.06.【題型15】有理數(shù)實際應用

例題：出租車司機李師傅某天上午營運時從公司出發(fā)，在東西走向的大街上進行，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午所接八位乘客的行車里程（單位：km）如下：?3,+9,+10,?6,?12,2,8,?10．(1)將最后一位乘客送到目的地時，李師傅在什么位置？(2)若汽車耗油量為每千米0.07升，這天上午李師傅接送乘客，出租車共耗油多少升？(3)若出租車起步價為10元，起步里程為3km（包括3【答案】(1)李師傅在起始的西2km的位置(2)出租車共耗油4.2升(3)李師傅這天上午共得車費154【分析】本題考查了有理數(shù)的加法和正負數(shù)的意義，有理數(shù)四則運算的實際應用，正負數(shù)的實際應用是重點又是難點．（1）先將這幾個數(shù)相加，若和為正，則在出發(fā)點的東方；若和為負，則在出發(fā)點的西方；（2）將這幾個數(shù)的絕對值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；（3）分別計算八位乘客的費用，相加即可．【詳解】（1）解：?3+9+10+答：李師傅在起始的西2km的位置；（2）解：?3=3+9+10+6+12+2+8+10=6060×0.07=4.2（升）答：出租車共耗油4.2升；（3）解：8位乘客中，有2位乘客里程小于或等于3km，車費為2×10=20有6位乘客里程大于3km這6位乘客的車費分別為：10+9?310+10?310+6?310+12?310+8?310+