北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 勾股定理 （壓軸專練）（九大題型）

第一章勾股定理（壓軸專練）（九大題型）題型1：折疊問題1．如圖，在中，，，．點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊和邊上的兩點(diǎn)，連接．將沿折疊，使得點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．2．如圖，，分別為銳角邊，上的點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在所在平面內(nèi)的點(diǎn)處．(1)如圖1，點(diǎn)在的內(nèi)部，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，，折疊后點(diǎn)在直線上方，與交于點(diǎn)，且，求折痕的長(zhǎng)．(3)如圖3，若折疊后，直線，垂足為點(diǎn)，且，，求此時(shí)的長(zhǎng)．3．如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長(zhǎng)．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長(zhǎng)．4．如圖①，在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求出此時(shí)t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點(diǎn)F時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，則此時(shí)t=___________．題型2：勾股定理與全等三角形5．如圖，過邊長(zhǎng)為6的等邊的頂點(diǎn)A作直線，點(diǎn)D在直線l上（不與點(diǎn)A重合），作射線，將射線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交直線于點(diǎn)E．(1)如圖1，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)E在邊上，求證：．(2)如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，寫出你的結(jié)論，再證明．(3)如圖3，點(diǎn)E在邊的反向延長(zhǎng)線上，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．6．如圖1，中，，D，E是直線上兩動(dòng)點(diǎn)，且．探究線段、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，…請(qǐng)你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明．7．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接，則的面積為．8．【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，在中，，D為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．題型3：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用9．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明門庭若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，，．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：______，______，______，則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．知識(shí)運(yùn)用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，求出的距離．知識(shí)遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．10．綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20，寬為15的長(zhǎng)方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長(zhǎng)度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）11．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1，中，，為邊上的中點(diǎn)，連接．設(shè)的面積和周長(zhǎng)分別為和，的面積和周長(zhǎng)分別為和，則，．（填“>”，“<”或“”）②如圖2，中，、是邊上的兩點(diǎn)，若，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）【問題延伸】如圖3，四邊形中，，，若的長(zhǎng)度為6，求出四邊形的面積．（3）【問題解決】國(guó)際港務(wù)區(qū)計(jì)劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示．其中，，，．現(xiàn)計(jì)劃將點(diǎn)處設(shè)置為公園的入口，在邊上設(shè)置一個(gè)出口，并修建一條貫穿整個(gè)公園的小路．根據(jù)規(guī)劃，要求小路將整個(gè)公園分成兩塊面積相同和周長(zhǎng)相同的區(qū)域（即與四邊形的周長(zhǎng)和面積都相同），施工隊(duì)能否按照規(guī)劃修建出這條小路？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由．（小路的寬度忽略不計(jì)）題型4：勾股定理的證明、與弦圖有關(guān)的計(jì)算題12．閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用．出入相補(bǔ)原理是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個(gè)幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長(zhǎng)為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長(zhǎng)為13，寬為5的長(zhǎng)方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大?。篴2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關(guān)系：______．13．閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積．從而得數(shù)學(xué)等式：，化簡(jiǎn)證得勾股定理：．(1)【初步運(yùn)用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運(yùn)用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時(shí)空白部分的面積為；(3)【初步運(yùn)用】如圖3，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．(4)【初步運(yùn)用】如圖4，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運(yùn)用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程（知識(shí)補(bǔ)充：如圖6，含60°的直角三角形，對(duì)邊y：斜邊x＝定值k）．14．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．15．【材料閱讀】我國(guó)古人對(duì)勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長(zhǎng)分別為，如何計(jì)算的面積？據(jù)記載，古人是這樣計(jì)算的：作邊上的高．以的長(zhǎng)為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計(jì)算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計(jì)算過程；(3)你還有其他計(jì)算的面積的方法嗎？寫出解答過程．題型5：勾股定理與特殊三角形16．如圖1，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是直線上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊長(zhǎng)，在右側(cè)作等邊，連接．【初步感知】（1）求證：；【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①與的數(shù)量關(guān)系是；②的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否形成直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，說明理由．17．在和中，點(diǎn)在邊上，，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．18．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖①等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出；(2)基本運(yùn)用請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖②，中，，，E，F(xiàn)為上的點(diǎn)且，求證：；(3)能力提升如圖③，在中，，，，點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．題型6：勾股定理與數(shù)軸19．閱讀材料，完成任務(wù)．材料1：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想．按照?qǐng)D1所示將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形進(jìn)行剪拼（無(wú)縫隙不重疊的拼接）成一個(gè)大的正方形，可以得到無(wú)理數(shù)；按照?qǐng)D2和圖3所示的兩種剪拼方法將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形剪拼出一個(gè)大正方形，可以得到無(wú)理數(shù)m．材料2：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．要在數(shù)軸上找到表示的點(diǎn)，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點(diǎn)A，，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．類似的，我們可以在數(shù)軸上找到表示任意無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．材料3：如圖5，改變圖4中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點(diǎn)，點(diǎn)B，分別在原點(diǎn)的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長(zhǎng)得到點(diǎn)B，所表示的無(wú)理數(shù)．按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長(zhǎng)度的線段，就能在數(shù)軸上找到無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．任務(wù)：(1)材料1中，無(wú)理數(shù)m是________，畫圖確定表示m的點(diǎn)M；(2)如圖5，點(diǎn)B表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________；(3)數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及的點(diǎn)，并比較它們的大小．(4)若，，求代數(shù)式的值，并在數(shù)軸上表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．題型7：表格類素材題20．受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多．據(jù)悉，不止深圳，整個(gè)華南地區(qū)暴雨形成“列車效應(yīng)”．雨水增多導(dǎo)致雨傘的需求量大大增加．下圖是某型號(hào)雨傘的結(jié)構(gòu)圖．

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)，探究雨傘中的數(shù)學(xué)問題素材1圖1是這個(gè)雨傘的示意圖．不管是張開還是收攏，是傘柄，傘骨且，，D點(diǎn)為傘圈．傘完全張開時(shí)，如圖1所示．

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)，如圖2是完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D滑動(dòng)到的位置，且三點(diǎn)共線．測(cè)得（參考值：）．

素材3同學(xué)們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線與地面夾角為，小田站在傘圈D點(diǎn)的正下方點(diǎn)G處，記為，此時(shí)發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測(cè)得．

問題解決任務(wù)1判斷AP位置求證：是的角平分線．任務(wù)2探究傘圈移動(dòng)距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動(dòng)的距離（精確到）．任務(wù)3擬定撐傘方案求傘至少向下移動(dòng)距離_____，使得人站在G處身上不被雨淋濕，（直接寫出答案）題型8：最值問題21．如圖所示，是等邊三角形，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)以為邊作，，連接，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)若點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著進(jìn)行翻折得到，連接，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的值．22．如圖1所示，點(diǎn)在線段上，分別以為一邊，在線段的上方，作等邊和等邊，連接，它們交于點(diǎn)．(1)容易判斷，與的數(shù)量關(guān)系為______，它們所夾銳角的大小為______度；(2)探究：把圖1中的等邊三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，變成圖2，線段的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系及的大小，并給出證明過程；(3)應(yīng)用：如圖3所示，點(diǎn)在線段上，，在的上方作等邊三角形（的大小和位置可以改變），連接．請(qǐng)直接寫出的最小值．題型9：動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)問題23．如圖1，有等邊和等邊，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．

(1)求證：；(2)如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖4，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時(shí)，恰有，，求的值．24．如圖，和中，．(1)如圖1，若，．點(diǎn)A、B、D共線時(shí)，，求的度數(shù)．(2)如圖2，，，且點(diǎn)A、B、D不共線時(shí)，點(diǎn)H為線段的中點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，若，．點(diǎn)A、B、D不共線時(shí)，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，連接，若，，直接寫出線段的最大值．25．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），把沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕為．

(1)若點(diǎn)恰好在邊上．①如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，求證：．②如圖2，當(dāng)，且，，求與的周長(zhǎng)差．(2)如圖3，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若直線始終垂直于，的面積是否變化？請(qǐng)說明理由．

第一章勾股定理（壓軸專練）（九大題型）題型1：折疊問題1．如圖，在中，，，．點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊和邊上的兩點(diǎn)，連接．將沿折疊，使得點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)，，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，，然后設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理，得出，解出即可得出，再根據(jù)勾股定理，即可得出的長(zhǎng)．【解析】解：∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∵沿折疊，使得點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，∴，，，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得：，∴，在中，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在應(yīng)用勾股定理列出方程解決問題．2．如圖，，分別為銳角邊，上的點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在所在平面內(nèi)的點(diǎn)處．(1)如圖1，點(diǎn)在的內(nèi)部，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，，折疊后點(diǎn)在直線上方，與交于點(diǎn)，且，求折痕的長(zhǎng)．(3)如圖3，若折疊后，直線，垂足為點(diǎn)，且，，求此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或10【分析】（1）根據(jù)折疊知，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）根據(jù)，由等邊對(duì)等角可得，設(shè)度，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得，過作于，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)；（3）①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)，則，勾股定理求解即可；【解析】（1）由折疊知，，同理得，∴.（2）如圖，∵，∴，設(shè)度，∵，∴度，∴，解得，即，過作于，∵，∴，∴.（3）當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖3-1∵，，直線，∴，設(shè)，則，又由折疊知：，，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得解得，即；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖3-2由折疊知：，，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，即.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角求角度，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長(zhǎng)．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①14.4；②307或2或【分析】（1）如圖，過A作AT⊥BC于T,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高線長(zhǎng)即可；（2）①如圖，連接AE,利用等腰三角形的三線合一證明AE⊥BC,BE=CE=6,求解AE=8,可得S△ABE=12AE·BE=24,證明S△BDES△ADE=64=32,【解析】（1）解：如圖，過A作AT⊥BC于T,∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BT=CT=6,AT=10所以BC邊上的高線長(zhǎng)為8.（2）解：①如圖，連接AE,∵AB=AC=10,BC=12,E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,BE=CE=6,由（1）得：AE=8,∴S∵AD=4,則BD=10?4=6,∴S∴S②當(dāng)DF⊥AB時(shí)，由對(duì)折可得：∠BDE=∠FDE=45°,過A作AT⊥BC于T,連接DT,過D作DK⊥BC于K,過E作EN⊥AB于N,由①得：S∴12×6×DK=14.4,∵EN⊥BD,∠BDE=45°,設(shè)DN=x,則EN=DN=x,由12∴BE=5∴BN=(54∴34x=6?x,∴BE=5當(dāng)DF⊥BC于K時(shí)，則DK=4.8,∴BK=6過E作EN⊥BD于N,由對(duì)折可得∠BDE=∠FDE,∴EN=EK,∴S∴BE∴BE=5當(dāng)DF⊥AC時(shí)，如圖，則∠FTM=90°,由對(duì)折可得∠B=∠F,而AB=AC=10,則∠B=∠C,∴∠C=∠F,而∠FMT=∠CME,∴∠MEC=∠MTE=90°,結(jié)合對(duì)折可得：∠DEK=∠DEF=45°,過D作DK⊥BC于K,同理可得：DK=EK=4.8,∴BK=6∴BE=3.6+4.8=8.4,綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，BE的長(zhǎng)為307或2或8.4【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，清晰的分類討論，等面積法是應(yīng)用等都是解本題的關(guān)鍵.4．如圖①，在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求出此時(shí)t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點(diǎn)F時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，則此時(shí)t=___________．【答案】(1)1(2)或13(3)或10【分析】（1）由長(zhǎng)方形性質(zhì)得知，，，，再證，則，然后由勾股定理得，則，由此得出結(jié)論．（2）分兩種情況：E在矩形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，分別根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可解答．（3）分兩種情況：E在AB上方和下方兩種情況，由折疊性質(zhì)與勾股定理即可解答．【解析】（1）四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，，，，，，由翻折性質(zhì)可知：，，在中，由勾股定理得：，，，．（2）存在，分兩種情況：如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在長(zhǎng)方形內(nèi)部時(shí)：作于G，設(shè)，則由翻折可知，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，即，在與中：，解得：．如圖④，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)C重合時(shí)，在與中：，．綜上，當(dāng)或時(shí)，有．（3）過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．如圖⑤，點(diǎn)E在長(zhǎng)方形內(nèi)部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：如圖⑥，點(diǎn)E在長(zhǎng)方形外部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：綜上，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，或．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題目，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理，進(jìn)行分類討論解題是本題的解題關(guān)鍵．題型2：勾股定理與全等三角形5．如圖，過邊長(zhǎng)為6的等邊的頂點(diǎn)A作直線，點(diǎn)D在直線l上（不與點(diǎn)A重合），作射線，將射線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交直線于點(diǎn)E．(1)如圖1，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)E在邊上，求證：．(2)如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，寫出你的結(jié)論，再證明．(3)如圖3，點(diǎn)E在邊的反向延長(zhǎng)線上，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)不成立，,證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,,則,再得出,則有,由,即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),從而證明,得出,根據(jù),即可得證;（3）過作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出,再根據(jù),從而證明,得出,由,得出,根據(jù)勾股定理求得,再算得,得為等腰直角三角形，則，即可求出的值.【解析】（1）證明:等邊三角形，∴，∵直線，，，在和中,，∴,∴,∴；（2）不成立，,理由如下：∵直線,∴,∴，又在和中,，，∴，；（3）如圖所示,過作于,∵直線，又，在和中,，，∴，，，，，∴為等腰直角三角形，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用以上性質(zhì)進(jìn)行求證.6．如圖1，中，，D，E是直線上兩動(dòng)點(diǎn)，且．探究線段、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，…請(qǐng)你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明．【答案】(1)(2)不變，，證明見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）通過證明，得到，在中，有，即；（2）作，且截取，連接，連接，先證明，再證明，則，在中，，即．【解析】（1）解：，∵中，，∴，將沿折疊，得，連接∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴在中，有，即．（2）解：結(jié)論不變，作，且截取，連接，連接，∵，∴，，又，，，，，又，，，，，，在中，，即．7．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接，則的面積為．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關(guān)系；（3）作延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，同理證明后，求得垂線的長(zhǎng)度，根據(jù)即可得解．【解析】（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．8．【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，在中，，D為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）線段、，之間的等量關(guān)系為：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的三邊關(guān)系計(jì)算即可；（3）延長(zhǎng)到M，使，連接BM，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：（1）在和中，，∴，故選D；（2）∵，∴，在中，，∴∴；（3）延長(zhǎng)到M，使，連接，

∵，，∴，∵AD是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（4）線段之間的等量關(guān)系為：．證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，

∵，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴中，，∴．題型3：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用9．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明門庭若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，，．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：______，______，______，則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．知識(shí)運(yùn)用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，求出的距離．知識(shí)遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式的最小值．【答案】小試牛刀：；；；；知識(shí)運(yùn)用：（1）41；（2）（千米）；知識(shí)遷移：20．【分析】小試牛刀：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積可以表示出相應(yīng)部分面積；知識(shí)運(yùn)用：（1）連接，過點(diǎn)作的垂線，根據(jù)垂直得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，再用勾股定理即可求得．（2）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，分別在和中用勾股定理表示出與聯(lián)立方程求解即可．知識(shí)遷移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合根據(jù)“軸對(duì)稱-最短路徑問題”求解即可．【解析】解：小試牛刀：，

，

，

則它們滿足的關(guān)系式為：．知識(shí)運(yùn)用：（1）如圖2①，連接，作于點(diǎn)E，

，，，有勾股定理得到：（千米）∴兩個(gè)村莊相距41千米．（2）連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，

設(shè)千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，，即千米．知識(shí)遷移：如圖3，過作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過作，

根據(jù)對(duì)稱性：，設(shè)，則，有勾股定理得，，．∴代數(shù)式的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合以及用數(shù)形結(jié)合方式來證明勾股定理，解答本題的關(guān)鍵在于勾股定理的應(yīng)用、最短線路問題、線段的垂直平分線以及用面積法證明勾股定理，本題是一道綜合型較強(qiáng)的題目．10．綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20，寬為15的長(zhǎng)方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長(zhǎng)度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】（1）25；（2）17cm；（3）B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【解析】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：25；（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：，，由勾股定理得：；故答案為：17cm．（3）如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長(zhǎng)為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，11．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】①如圖1，中，，為邊上的中點(diǎn)，連接．設(shè)的面積和周長(zhǎng)分別為和，的面積和周長(zhǎng)分別為和，則，．（填“>”，“<”或“”）②如圖2，中，、是邊上的兩點(diǎn)，若，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）【問題延伸】如圖3，四邊形中，，，若的長(zhǎng)度為6，求出四邊形的面積．（3）【問題解決】國(guó)際港務(wù)區(qū)計(jì)劃將一塊四邊形空地開發(fā)為小型公園，空地的示意圖如圖4所示．其中，，，．現(xiàn)計(jì)劃將點(diǎn)處設(shè)置為公園的入口，在邊上設(shè)置一個(gè)出口，并修建一條貫穿整個(gè)公園的小路．根據(jù)規(guī)劃，要求小路將整個(gè)公園分成兩塊面積相同和周長(zhǎng)相同的區(qū)域（即與四邊形的周長(zhǎng)和面積都相同），施工隊(duì)能否按照規(guī)劃修建出這條小路？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由．（小路的寬度忽略不計(jì)）【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能，【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（2）延長(zhǎng)至，使得，連接，證明，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（3）延長(zhǎng)至，使得，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同（2）可得，設(shè)，則，，根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)（2）的方法求得面積，根據(jù)題意在上取點(diǎn)，使得，根據(jù)將整個(gè)公園分成兩塊面積相同和周長(zhǎng)相同的區(qū)域，得出，進(jìn)而求得，即可求解．【解析】解：①∵中，，為邊上的中點(diǎn)，∴，設(shè)的面積和周長(zhǎng)分別為和，的面積和周長(zhǎng)分別為和，∴，∴，故答案為：，．②設(shè)邊上的高為，∵∴∴即（2）如圖所示，延長(zhǎng)至，使得，連接，∵，∴又∵∴在中，∴∴，∴∴（3）能，如圖所示，延長(zhǎng)至，使得，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同（2）可得∴，∴∴，則是等腰直角三角形，∴，∵，，∴∴，則，設(shè)，則，，∴又∵∴解得：∴在上取點(diǎn)，使得，∵，∴將整個(gè)公園分成兩塊面積相同和周長(zhǎng)相同的區(qū)域，則即為所求，由（2）可得即解得：∴題型4：勾股定理的證明、與弦圖有關(guān)的計(jì)算題12．閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應(yīng)用．出入相補(bǔ)原理是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內(nèi)容：一個(gè)幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長(zhǎng)為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長(zhǎng)為13，寬為5的長(zhǎng)方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關(guān)系：______．【答案】(1)不能(2)＝；＞(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）【分析】（1）分別計(jì)算正方形的面積和長(zhǎng)方形的面積，比較兩個(gè)圖形的面積大小即可得解；（2）如圖3中，分別計(jì)算左邊大正方形的面積和右邊大正方形的面積，即可得a2+b2=c2，再利用(a+b)2=a2+2ab+b2變形得；（3）如圖4，先由完全平方公式和整式的乘法計(jì)算得，，，進(jìn)而可得．【解析】（1）解：如圖1，圖2，∵S正方形=82=64，S長(zhǎng)方形=5×13=65，∴S正方形S長(zhǎng)方形，故答案為：不能；（2）解：如圖3中，左邊大正方形的面積：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右邊大正方形的面積：S大正方形=c2+4×ab=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=(a+b)2-2ab，∵，∴，∴，故答案為：=，；（3）解：如圖4，，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及勾股定理，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．13．閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積．從而得數(shù)學(xué)等式：，化簡(jiǎn)證得勾股定理：．(1)【初步運(yùn)用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運(yùn)用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時(shí)空白部分的面積為；(3)【初步運(yùn)用】如圖3，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．(4)【初步運(yùn)用】如圖4，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運(yùn)用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程（知識(shí)補(bǔ)充：如圖6，含60°的直角三角形，對(duì)邊y：斜邊x＝定值k）．【答案】(1)5：9(2)28(3)24(4)(5)，見解析【分析】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可；（2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積﹣2個(gè)直角三角形的面積計(jì)算即可；（3）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；（5）根據(jù)大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積+小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即可．【解析】（1）∵，b＝2a，∴c＝a，∴小正方形面積：大正方形面積＝(a)2：(3a)2＝5：9，故答案為：5：9；（2）根據(jù)題意可求，∵空白部分的面積為=小正方形的面積-兩個(gè)三角形的面積，∴空白部分的面積為=52-2××4×6＝28．故答案為：28；（3）根據(jù)題意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．設(shè)AC＝x，則OA＝3+x，AB＝6-x．在中，，即，解得x＝1，∴OA=4，∴該風(fēng)車狀圖案的面積=；（4）將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案為：；（5）結(jié)論：．由題意：大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積+小正三角形面積可得：，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明和應(yīng)用，根據(jù)圖形得出面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【解析】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．15．【材料閱讀】我國(guó)古人對(duì)勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長(zhǎng)分別為，如何計(jì)算的面積？據(jù)記載，古人是這樣計(jì)算的：作邊上的高．以的長(zhǎng)為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計(jì)算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計(jì)算過程；(3)你還有其他計(jì)算的面積的方法嗎？寫出解答過程．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）由題中勾股定理的推論將空格補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)材料中勾股定理的推論，完成面積的計(jì)算過程即可；（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面積公式求解即可．【解析】（1）故答案為：；（2）在中，由勾股定理的推論，可知：．∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，設(shè)，由勾股定理，得，，解得，，∴，∴．題型5：勾股定理與特殊三角形16．如圖1，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是直線上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊長(zhǎng)，在右側(cè)作等邊，連接．【初步感知】（1）求證：；【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①與的數(shù)量關(guān)系是；②的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否形成直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②；（3）或【分析】（1）證即可得證；（2）①同第一問，證證即可得證；②由(1)得，則，因?yàn)?，所以要使的周長(zhǎng)最小，只要最小，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí)最小，由“三線合一”即可求出的長(zhǎng)；（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別作出圖形，作于點(diǎn)，利用（1）的結(jié)果及勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：、都是等邊三角形，．，，，，，，．（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上、點(diǎn)在延長(zhǎng)線上、點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，證明方法同第一問：、都是等邊三角形，，，，，，，．故答案為：．②的周長(zhǎng)存在最小值，由（1）得，，，要使的周長(zhǎng)最小，則最小，，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，如圖2，，，；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能形成直角三角形，分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)，如圖3，，，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)，如圖4，同理得，，設(shè)，由（1）得，，，由勾股定理得，，即，解得，，，綜上，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能形成直角三角形，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求最短路線問題、勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．17．在和中，點(diǎn)在邊上，，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)可證，則可得，，進(jìn)而可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而可得．（2）連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得是的垂直平分線，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【解析】（1）．理由如下：，，，，．．在和中，．，．，在中，．，．（2），，，和是等邊三角形．，，則．如圖，連接，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由（1）可知，，，．，．在中，，．，．是等邊三角形，，平分．．設(shè)，則，，在中，，即．解得．的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．閱讀下面材料，并解決問題：(1)如圖①等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出；(2)基本運(yùn)用請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖②，中，，，E，F(xiàn)為上的點(diǎn)且，求證：；(3)能力提升如圖③，在中，，，，點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明為等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理證明，即得答案；（2）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，得到，再利用勾股定理即可得證；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，先證明，再證明C，O，，四點(diǎn)共線，再利用勾股定理計(jì)算得出，由此即得答案．【解析】（1）解：，，，，由題意知旋轉(zhuǎn)角，為等邊三角形，，，在中，，，，，為直角三角形，且，；故答案為：；（2）證明：如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，由勾股定理得，，即；（3）解：如圖3，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，在中，，，，，繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，，，是等邊三角形，，，，，C，O，，四點(diǎn)共線，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型6：勾股定理與數(shù)軸19．閱讀材料，完成任務(wù)．材料1：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想．按照?qǐng)D1所示將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形進(jìn)行剪拼（無(wú)縫隙不重疊的拼接）成一個(gè)大的正方形，可以得到無(wú)理數(shù)；按照?qǐng)D2和圖3所示的兩種剪拼方法將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形剪拼出一個(gè)大正方形，可以得到無(wú)理數(shù)m．材料2：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．要在數(shù)軸上找到表示的點(diǎn)，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點(diǎn)A，，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．類似的，我們可以在數(shù)軸上找到表示任意無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．材料3：如圖5，改變圖4中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點(diǎn)，點(diǎn)B，分別在原點(diǎn)的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長(zhǎng)得到點(diǎn)B，所表示的無(wú)理數(shù)．按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長(zhǎng)度的線段，就能在數(shù)軸上找到無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．任務(wù)：(1)材料1中，無(wú)理數(shù)m是________，畫圖確定表示m的點(diǎn)M；(2)如圖5，點(diǎn)B表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________；(3)數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及的點(diǎn)，并比較它們的大小．(4)若，，求代數(shù)式的值，并在數(shù)軸上表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．【答案】(1)，見解析(2)，(3)，見解析(4)，見解析【分析】本題考查勾股定理與無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上確定表示無(wú)理數(shù)所在點(diǎn)的位置的方法，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，利用勾股定理求出大正方形的邊長(zhǎng)，即可，根據(jù)數(shù)軸構(gòu)造無(wú)理數(shù)的方法，作圖即可；（2）由圖可知，點(diǎn)到1的距離為，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離即可得出結(jié)果；（3）以為圓心，為半徑化弧，與數(shù)軸的交點(diǎn)到的距離即為，確定點(diǎn)位置，進(jìn)行比較即可；（4）將的值代入，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后在數(shù)軸上表示出結(jié)果即可．【解析】（1）解：由勾股定理得：，如圖，M點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）由圖可知，點(diǎn)到1的距離為，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為：；故答案為：，；（3）點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示，表示數(shù)和的點(diǎn)如圖所示：．（4）由（1），得，，原式．題型7：表格類素材題20．受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多．據(jù)悉，不止深圳，整個(gè)華南地區(qū)暴雨形成“列車效應(yīng)”．雨水增多導(dǎo)致雨傘的需求量大大增加．下圖是某型號(hào)雨傘的結(jié)構(gòu)圖．

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)，探究雨傘中的數(shù)學(xué)問題素材1圖1是這個(gè)雨傘的示意圖．不管是張開還是收攏，是傘柄，傘骨且，，D點(diǎn)為傘圈．傘完全張開時(shí)，如圖1所示．

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)，如圖2是完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D滑動(dòng)到的位置，且三點(diǎn)共線．測(cè)得（參考值：）．

素材3同學(xué)們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線與地面夾角為，小田站在傘圈D點(diǎn)的正下方點(diǎn)G處，記為，此時(shí)發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測(cè)得．

問題解決任務(wù)1判斷AP位置求證：是的角平分線．任務(wù)2探究傘圈移動(dòng)距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動(dòng)的距離（精確到）．任務(wù)3擬定撐傘方案求傘至少向下移動(dòng)距離_____，使得人站在G處身上不被雨淋濕，（直接寫出答案）【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：；任務(wù)3：72【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，弄清題意、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明即可得到答案；（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)P，求出的長(zhǎng)，即可利用據(jù)此解答即可；（3）設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)Q，先求出，可得，再求出，進(jìn)而可求出即可解答．【解析】解：任務(wù)1:∵且，，∴，在和中，，，∴，∴，∴是的角平分線．任務(wù)2：如圖：過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，∵，∴，∴，∵，∴，由勾股定理，得，在圖2中，∵,∴,∴在中,,∴,∴,∴傘圈D移動(dòng)的距離為.任務(wù)3:如圖：設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)Q，在中，，∴，∴∴，∴，在中，，∴，∴∵,∴,解得：，∴，在中，，則，由勾股定理得：．故答案為：72．題型8：最值問題21．如圖所示，是等邊三角形，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)以為邊作，，連接，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)若點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著進(jìn)行翻折得到，連接，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】本題考查等邊三角形，全等三角形，三角形內(nèi)角和，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的證明與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得