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2023-2024上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)期中練習(xí)一.選擇題(共8小題)1.軸對(duì)稱圖形以其特有的對(duì)稱美,給人們帶來了一種和諧的美感.下列圖形中,軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.下列各數(shù)中:,0,,,,0.32,()0,,0.1010010001中,無理數(shù)個(gè)數(shù)有()個(gè).A.3 B.4 C.5 D.63.滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是()A.∠B=∠A+∠C B.∠A:∠B:∠C=5:12:13 C.a(chǎn)2=b2﹣c2 D.a(chǎn):b:c=5:12:134.下列各式中運(yùn)算正確的是()A.a(chǎn)2?a3=a6 B.2﹣1=﹣2 C.=±4 D.|﹣6|=65.如圖,若AB=AD,BC=CD,那么判斷△ABC≌△ADC的依據(jù)是()A.SAS B.HL C.ASA D.SSS6.在△ABC中,AB=AC,△ABC的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為9和15兩個(gè)部分,則BC長(zhǎng)為()A.12 B.4 C.12或4 D.6或107.如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),CE⊥AB,BD與CE交于點(diǎn)O,且BE=CD.下列說法錯(cuò)誤的是()A.BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E B.∠BDC=3∠ABD C.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),△ABC是等邊三角形 D.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),8.如圖,在等邊△ABC中,AC=6,點(diǎn)O在AC上,且AO=2,點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD.要使點(diǎn)D恰好落在BC上,則AP的長(zhǎng)是()A.2 B.3 C.4 D.5二.填空題(共10小題)9.已知a,b,c滿足,則a+b+c的平方根是.10.將15.215用四舍五入法取近似值,精確到0.01為.11.如圖,點(diǎn)P在第一象限,△ABP是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是;若將△ABP的PA邊長(zhǎng)改為,另兩邊長(zhǎng)度不變,則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)椋?2.若等腰三角形的周長(zhǎng)為12,三邊長(zhǎng)都是整數(shù),則其底邊長(zhǎng)為.13.如圖,根據(jù)下列已知條件,寫出你能得到的結(jié)論.(1)已知AB=AC,∠1=∠2,則;(2)已知AB=AC,BD=DC,則;(3)已知AB=AC,AD⊥BC,則.14.如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G.若∠BAC=100°,則∠EAF=°.15.如圖,矩形紙片ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8和6,將紙片沿矩形的對(duì)角線折疊,重疊部分的面積等于.16.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分線BD交AC于D,DE⊥AB于點(diǎn)C,若DE=3cm,則AC=cm.17.如圖所示,已知∠1=∠2,AB=DE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ABC≌△DEF,你添加的條件是.18.已知:如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E為邊DC上一點(diǎn),且DE=1,在AC上找一點(diǎn)P,則DP+EP的最小值為.三.解答題(共10小題)19.計(jì)算:(﹣2)2﹣20+|﹣2|+﹣.20.解方程.(1)3(x+1)2=27.(2)(x﹣2)3=27.21.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度、點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng).在某時(shí)刻,分別過P和Q點(diǎn)作PE⊥l于E,QF⊥l于F.問:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí),△PEC與△QFC全等?并說明理由.22.按要求作圖,保留作圖痕跡,不寫作法(1)如圖1,點(diǎn)D在直線l上,作出四邊形ABCD關(guān)于直線l的對(duì)稱的四邊形;(2)如圖2,在直線l上求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等.23.如圖所示,A,E,F(xiàn),C在一條直線上,AE=CF,過E,F(xiàn)分別作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E、F,且AB=CD(1)△ABF與△CDE全等嗎?為什么?(2)求證:BD平分EF.24.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,DE是BC的垂直平分線.(1)求△ABE的周長(zhǎng);(2)求線段DE的長(zhǎng).25.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)E.求證:△AEF為等腰三角形.26.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,BD是∠ABC的平分線,CE⊥BD,垂足是E,BA和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)在圖中找出與△ABD全等的三角形,并證明你的結(jié)論;(2)證明:BD=2EC.27.如圖,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,(1)求證:△ABQ≌△CAP;(2)∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);(3)連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),△APQ是等腰三角形?28.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn),且AD⊥CD.點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),連接OA,OD.(1)如圖①,若點(diǎn)D是BC下方一點(diǎn),過點(diǎn)O作OE⊥OD分別交AC,AD于點(diǎn)E,F(xiàn).①求證:∠OAF=∠OCD;②若CD=1,DF=2,求BC的長(zhǎng);(2)如圖②,若點(diǎn)D是AC右側(cè)一點(diǎn),試判斷AD,CD,OD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)1.軸對(duì)稱圖形以其特有的對(duì)稱美,給人們帶來了一種和諧的美感.下列圖形中,軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.【解答】解:左起第一、第三、第四共3個(gè)圖形都能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以是軸對(duì)稱圖形;第二個(gè)圖形不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以不是軸對(duì)稱圖形;故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念,軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.2.下列各數(shù)中:,0,,,,0.32,()0,,0.1010010001中,無理數(shù)個(gè)數(shù)有()個(gè).A.3 B.4 C.5 D.6【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念,一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念,有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).【解答】解:無理數(shù)有:,,共有3個(gè).故選:A.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義,其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有:π,2π等;開方開不盡的數(shù);以及像0.1010010001…,等有這樣規(guī)律的數(shù).3.滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是()A.∠B=∠A+∠C B.∠A:∠B:∠C=5:12:13 C.a(chǎn)2=b2﹣c2 D.a(chǎn):b:c=5:12:13【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.【解答】解:A、∠B=∠A+∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,則∠B=90°,是直角三角形,故此選項(xiàng)不符合題意;B、∠A:∠B:∠C=5:12:13,又∠A+∠B+∠C=180°,則∠C=180°×=78°,不是直角三角形,故此選項(xiàng)符合題意;C、由a2=b2﹣c2,得a2+c2=b2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此選項(xiàng)不符合題意;D、設(shè)a=5k,b=12k,c=13k,由a2+b2=25k2+144k2=169k2=c2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此選項(xiàng)不符合題意.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理,三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的判定方法,注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí),應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,進(jìn)而作出判斷.4.下列各式中運(yùn)算正確的是()A.a(chǎn)2?a3=a6 B.2﹣1=﹣2 C.=±4 D.|﹣6|=6【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、冪的乘方與積的乘方、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行作答.【解答】解:A、應(yīng)為a2?a3=a5,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、應(yīng)為2﹣1=,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、應(yīng)=4,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、|﹣6|=6,正確.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力,是各地中考題中常見的計(jì)算題型.涉及知識(shí):負(fù)指數(shù)為正指數(shù)的倒數(shù);任何非0數(shù)的0次冪等于1;絕對(duì)值的化簡(jiǎn);二次根式的化簡(jiǎn).5.如圖,若AB=AD,BC=CD,那么判斷△ABC≌△ADC的依據(jù)是()A.SAS B.HL C.ASA D.SSS【分析】已知條件“AB=AD,BC=CD”和“公共邊AC”是△ABC與△ADC中的三條對(duì)應(yīng)邊.【解答】解:∵在△ABC與△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS).故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.6.在△ABC中,AB=AC,△ABC的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為9和15兩個(gè)部分,則BC長(zhǎng)為()A.12 B.4 C.12或4 D.6或10【分析】因?yàn)橐阎獥l件給出的15或9兩個(gè)部分,哪一部分是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半的和不明確,所以分兩種情況討論.【解答】解:根據(jù)題意,①當(dāng)12是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí),AC+AC=15,解得AC=10,所以腰長(zhǎng)為4;②當(dāng)9是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí),AC+AC=9,解得AC=6,所以腰長(zhǎng)為12,∵6+6=12,∴不符合題意.故腰長(zhǎng)等于4.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系,解題時(shí)要想到兩種情況,進(jìn)行分類討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形,這是解題的關(guān)鍵.7.如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),CE⊥AB,BD與CE交于點(diǎn)O,且BE=CD.下列說法錯(cuò)誤的是()A.BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E B.∠BDC=3∠ABD C.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),△ABC是等邊三角形 D.當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,連接DE,根據(jù)CE⊥AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)得DE=AD=CD=1/2AC,則BE=DE,進(jìn)而得點(diǎn)D在線段BD的垂直平分線上,由此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷;對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)∠ABD=α,根據(jù)BE=DE得∠EDB=∠ABD=α,的∠AED=∠EDB+∠ABD=2α,再根據(jù)DE=AD得∠A=∠AED=2α,則∠BDC=∠A+∠ABD=3α,由此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),則BE=1/2AB,CE是線段AB的垂直平分線,由此得AC=BC,然后根據(jù)BE=AB,CD=AC,BE=CD得AB=AC,由此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷;對(duì)于選項(xiàng)D,連接AO并延長(zhǎng)交BC于F,根據(jù)E為AB中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn)得點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),再根據(jù)△ABC是等邊三角形得∠OBC=∠OAC=30°,則OA=OB,進(jìn)而得OB=2OF,AF=3OF,由此得S△OBC=BC?OF,S△ABC=BC?AF=BC?OF,由此可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷,綜上所述即可得出答案.【解答】解:對(duì)于選項(xiàng)A,連接DE,如圖1所示:∵CE⊥AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴DE為Rt△AEC斜邊上的中線,∴DE=AD=CD=AC,∵BE=CD,∴BE=DE,∴點(diǎn)D在線段BD的垂直平分線上,即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)∠ABD=α,∵BE=DE,∴∠EDB=∠ABD=α,∴∠AED=∠EDB+∠ABD=2α,∵DE=AD,∴∠A=∠AED=2α,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3α,即∠BDC=3∠ABD,故選B正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),則BE=1/2AB,∵CE⊥AB,∴CE是線段AB的垂直平分線,∴AC=BC,∵BE=AB,CD=AC,BE=CD,∴AB=AC,∴AC=BC=AB,∴△ABC是等邊三角形,故選C正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,連接AO,并延長(zhǎng)交BC于F,如圖2所示:當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得:點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),∵當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí),△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,AF⊥BC,AF平分∠OAC,BD平分∠ABC,∴∠OBC=∠OAC=30°,∴OA=OB,在Rt△OBF中,OB=2OF,∴OA=OB=2OF,∴AF=OA+OF=3OF,∴S△OBC=BC?OF,S△ABC=BC?AF=BC?OF,∴,故選項(xiàng)D不正確,符合題意.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),理解直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.8.如圖,在等邊△ABC中,AC=6,點(diǎn)O在AC上,且AO=2,點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),連接OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD.要使點(diǎn)D恰好落在BC上,則AP的長(zhǎng)是()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠C=60°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°求出∠AOP+∠COD=120°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOP+∠APO=120°,從而得到∠APO=∠COD,然后利用“角角邊”證明△AOP和△CDO全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=CO,然后根據(jù)CO=AC﹣AO計(jì)算即可得解.【解答】解:在等邊△ABC中,∠A=∠C=60°,∵旋轉(zhuǎn)角是60°,∴∠AOP+∠COD=120°,在△AOP中,∠AOP+∠APO=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°,∴∠APO=∠COD,在△AOP和△CDO中,,∴△AOP≌△CDO(AAS),∴AP=CO,∵CO=AC﹣AO=6﹣2=4,∴AP=4.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小,根據(jù)角的度數(shù)求出∠APO=∠COD是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).二.填空題(共10小題)9.已知a,b,c滿足,則a+b+c的平方根是±2.【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值,然后根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可.【解答】解:∵,,∴a﹣3=0,b﹣4=0,c+3=0,∴a=3,b=4,c=﹣3,∴a+b+c=3+4+(﹣3)=4,∴a+b+c的平方根是±2.故答案為:±2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),平方根,正確根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵.10.將15.215用四舍五入法取近似值,精確到0.01為15.22.【分析】把千分位上的數(shù)字5進(jìn)行四舍五入即可.【解答】解:將15.215用四舍五入法取近似值,精確到0.01為15.22,故答案為:15.22.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字:近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度,可以用精確度表示.一般有,精確到哪一位,保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法.從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止,所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.11.如圖,點(diǎn)P在第一象限,△ABP是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是1+;若將△ABP的PA邊長(zhǎng)改為,另兩邊長(zhǎng)度不變,則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)?+.【分析】根據(jù)當(dāng)O到AB的距離最大時(shí),OP的值最大,得到O到AB的最大值是AB=1,此時(shí)在斜邊的中點(diǎn)M上,由勾股定理求出PM,即可求出答案;將△ABP的PA邊長(zhǎng)改為,另兩邊長(zhǎng)度不變,根據(jù)22+22=,得到∠PBA=90°,由勾股定理求出PM即可【解答】解:取AB的中點(diǎn)M,連OM,PM,在Rt△ABO中,OM==1,在等邊三角形ABP中,PM=,無論△ABP如何運(yùn)動(dòng),OM和PM的大小不變,當(dāng)OM,PM在一直線上時(shí),P距O最遠(yuǎn),∵O到AB的最大值是AB=1,此時(shí)在斜邊的中點(diǎn)M上,由勾股定理得:PM==,∴OP=1+,將△AOP的PA邊長(zhǎng)改為,另兩邊長(zhǎng)度不變,∵22+22=,∴∠PBA=90°,由勾股定理得:PM==,∴此時(shí)OP=OM+PM=1+.故答案為:1+,1+.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,勾股定理的逆定理等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能根據(jù)理解題意求出PO的值是解此題的關(guān)鍵.12.若等腰三角形的周長(zhǎng)為12,三邊長(zhǎng)都是整數(shù),則其底邊長(zhǎng)為2或4.【分析】此題我們可以采用列舉法.即分別用整數(shù)代入題目中從而確定答案.【解答】解:當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí),則底邊=12﹣8=4,因?yàn)?﹣4<4<4+4,所以符合題意;當(dāng)腰長(zhǎng)是5時(shí),則底邊=12﹣10=2,因?yàn)?﹣2<5<5+2,所以符合題意;當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí),則底邊=12﹣6=6,因?yàn)?+3=6,所以不合題意,故舍去;當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí),則底邊=12﹣12=0,不符合題意,故舍去;故答案為:2或4.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形三邊關(guān)系及等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用;列舉法在做選擇題和填空題時(shí)有時(shí)非常好用,注意掌握.13.如圖,根據(jù)下列已知條件,寫出你能得到的結(jié)論.(1)已知AB=AC,∠1=∠2,則BD=CD,AD⊥BC;(2)已知AB=AC,BD=DC,則∠1=∠2,AD⊥BC;(3)已知AB=AC,AD⊥BC,則BD=CD,∠1=∠2.【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解;(2)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解;(3)由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可求解.【解答】解:(1)∵AB=AC,∠1=∠2,∴BD=CD,AD⊥BC,故答案為:BD=CD,AD⊥BC;(2)∵AB=AC,BD=DC,∴∠1=∠2,AD⊥BC,故答案為:∠1=∠2,AD⊥BC;(3)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠1=∠2,故答案為:BD=CD,∠1=∠2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.14.如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G.若∠BAC=100°,則∠EAF=20°.【分析】由DE是AB的垂直平分線,F(xiàn)G是AC的垂直平分線,可得AE=BE,AF=CF,即可得∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,繼而求得∠BAE+∠CAF的度數(shù),則可求得答案.【解答】解:∵DE是AB的垂直平分線,F(xiàn)G是AC的垂直平分線,∴AE=BE,AF=CF,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,∵∠BAC=100°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°,∴∠BAE+∠CAF=80°,∴∠EAF=∠BAC﹣(∠BAE+∠CAF)=100°﹣80°=20°.故答案為:20.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用.15.如圖,矩形紙片ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8和6,將紙片沿矩形的對(duì)角線折疊,重疊部分的面積等于.【分析】先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出BC=EC,再由全等三角形的判定定理得出△ADF≌△CEF,故可得出DF=EF,設(shè)DF=x,則AF=8﹣x,在Rt△ADF中,利用勾股定理即可求出x的值,故可得出CF的長(zhǎng),利用三角形的面積公式即可求出△ACF的面積.【解答】解:∵△ACE由△ACB反折而成,∴AB=AE=8,CE=BC=AD=6,∠B=∠E=90°,在△ADF與△CEF中,∵,∴△ADF≌△CEF,∴DF=EF,設(shè)DF=x,則AF=8﹣x,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,即62+x2=(8﹣x)2,解得x=,∴CF=CD﹣DF=8﹣=,∴重疊部分的面積=S△ACF=CF?AD=××6=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的反折變換,熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.16.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分線BD交AC于D,DE⊥AB于點(diǎn)C,若DE=3cm,則AC=9cm.【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DC,根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AD,即可得出答案.【解答】解:∵∠ABC的平分線BD交AC于D,DE⊥AB于點(diǎn)C,DE=3cm,∠C=90°,∴DE=DC=3cm,∠DEA=90°,∵∠A=30°,∴AD=2DE=6cm,∴AC=AD+DC=6cm+3cm=9cm,故答案為:9.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì),角平分線性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記兩個(gè)定理是解此題的關(guān)鍵,注意:①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,②在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.17.如圖所示,已知∠1=∠2,AB=DE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ABC≌△DEF,你添加的條件是∠A=∠D(答案不唯一).【分析】根據(jù)題意可增加∠A=∠D,由全等三角形的判定AAS得出答案.【解答】解:添加的條件是∠A=∠D,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(AAS).故答案為:∠A=∠D(答案不唯一).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定:熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用哪一種判定方法,取決于題目中的已知條件.18.已知:如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E為邊DC上一點(diǎn),且DE=1,在AC上找一點(diǎn)P,則DP+EP的最小值為5.【分析】BE交AC于P′,如圖,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱,則P′D=P′B,利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)P′D+P′E的值最小,接著利用勾股定理計(jì)算出BE,所以當(dāng)P點(diǎn)與P′重合時(shí)得到DP+EP的最小值.【解答】解:BE交AC于P′,如圖,∵四邊形ABCD為正方形,∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P′D=P′B,∴P′D+P′E=P′B+P′E=BD,∴此時(shí)P′D+P′E的值最小,∵CE=CD﹣DE=4﹣1=3,BC=4,∴BE==5,∴此時(shí)P′D+P′E的最小值為5,當(dāng)P點(diǎn)與P′重合時(shí),DP+EP的最小值為5.故答案為5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題:在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B,在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在,可以通過軸對(duì)稱來確定,即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn),對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn).也考查了正方形的性質(zhì).三.解答題(共10小題)19.計(jì)算:(﹣2)2﹣20+|﹣2|+﹣.【分析】首先計(jì)算乘方、零指數(shù)冪、開平方、開立方和絕對(duì)值,然后從左向右依次計(jì)算,求出算式的值即可.【解答】解:(﹣2)2﹣20+|﹣2|+﹣=4﹣1+2+(﹣2)﹣3=0.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,解答此題的關(guān)鍵是要明確:在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí),和有理數(shù)運(yùn)算一樣,要從高級(jí)到低級(jí),即先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的,同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.20.解方程.(1)3(x+1)2=27.(2)(x﹣2)3=27.【分析】(1)根據(jù)平方根的定義,由3(x+1)2=27得x+1=±3,進(jìn)而求得x=2或x=﹣4.(2)根據(jù)立方根的定義,由(x﹣2)3=27得x﹣2=3,進(jìn)而求得x=5.【解答】解:(1)∵3(x+1)2=27,∴(x+1)2=9.∴x+1=±3.當(dāng)x+1=3時(shí),x=2.當(dāng)x+1=﹣3時(shí),x=﹣4.綜上:x=2或x=﹣4.(2)∵(x﹣2)3=27,∴x﹣2=3.∴x=5.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根以及立方根,熟練掌握平方根以及立方根是解決本題的關(guān)鍵.21.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度、點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng).在某時(shí)刻,分別過P和Q點(diǎn)作PE⊥l于E,QF⊥l于F.問:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí),△PEC與△QFC全等?并說明理由.【分析】根據(jù)題意分為五種情況,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的方程,解方程即可.【解答】解:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或或12秒時(shí),△PEC與△QFC全等.理由如下:分為五種情況:①如圖1,P在AC上,Q在BC上,則PC=6﹣t,QC=8﹣3t,∵PE⊥l,QF⊥l,∴∠PEC=∠QFC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,∴∠EPC=∠QCF,∵△PCE≌△CQF,∴PC=CQ,即6﹣t=8﹣3t,t=1;②如圖2,P在BC上,Q在AC上,則PC=t﹣6,QC=3t﹣8,∵由①知:PC=CQ,∴t﹣6=3t﹣8,t=1;t﹣6<0,即此種情況不符合題意;③當(dāng)P、Q都在AC上時(shí),如圖3,CP=6﹣t=3t﹣8,t=;④當(dāng)Q到A點(diǎn)停止,P在BC上時(shí),AC=PC,t﹣6=6時(shí),解得t=12.⑤P和Q都在BC上的情況不存在,因?yàn)镻的速度是每秒1cm,Q的速度是每秒3cm;答:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或或12秒時(shí),△PEC與△QFC全等.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì),解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵.22.按要求作圖,保留作圖痕跡,不寫作法(1)如圖1,點(diǎn)D在直線l上,作出四邊形ABCD關(guān)于直線l的對(duì)稱的四邊形;(2)如圖2,在直線l上求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等.【分析】(1)分別作出A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′即可;(2)作線段AB垂直平分線,交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.【解答】解:(1)如圖1所示,四邊形A'B'C'D即為所求;(2)如圖所示,點(diǎn)P即為所求.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.23.如圖所示,A,E,F(xiàn),C在一條直線上,AE=CF,過E,F(xiàn)分別作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E、F,且AB=CD(1)△ABF與△CDE全等嗎?為什么?(2)求證:BD平分EF.【分析】(1)求出AF=CE,∠BFA=∠DEC=90°,根據(jù)HL證出Rt△ABF≌Rt∠CDE即可;(2)求出BF=DE,根據(jù)AAS證出△BFG≌△DEG即可.【解答】(1)解:△ABF≌△CDE,理由是:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°,在Rt△ABF和Rt∠CDE中,,∴Rt△ABF≌Rt∠CDE(HL).(2)證明:∵Rt△ABF≌Rt∠CDE,∴BF=DE,在△BFG和△DEG中,,∴△BFG≌△DEG(AAS),∴EG=FG,即BD平分EF.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),三角形外角性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.24.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,DE是BC的垂直平分線.(1)求△ABE的周長(zhǎng);(2)求線段DE的長(zhǎng).【分析】(1)由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算可求解;(2)由勾股定理可求解BE,BC的長(zhǎng),再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BD的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理可求解.【解答】解:(1)∵DE是BC的垂直平分線,∴BE=CE,∵AB=6,AC=8,∴△ABE的周長(zhǎng)為:AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=6+8=14;(2)在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2,即(8﹣BE)2+62=BE2,解得:BE=,在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,即BC2=62+82=100,解得:BC=10,∵DE是BC的垂直平分線,∴BD=CD=5,∠BDE=90°,在Rt△BDE中,BD2+DE2=BE2,即52+DE2=()2,解得:DE=.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì),掌握勾股定理及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.25.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)E.求證:△AEF為等腰三角形.【分析】由在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,又由BE平分∠ABC,∠AFE=∠ABF+∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,即可證得∠AFE=∠AEF,繼而證得:△AEF為等腰三角形.【解答】證明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAD=∠C,∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBE,∵∠AFE=∠ABF+∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE,即△AEF為等腰三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.26.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,BD是∠ABC的平分線,CE⊥BD,垂足是E,BA和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)在圖中找出與△ABD全等的三角形,并證明你的結(jié)論;(2)證明:BD=2EC.【分析】(1)可利用ASA判斷△ABD≌△ACF;(2)根據(jù)(1)可得BD=CF,證明△BFE≌△BCE,可得出EF=CE=CF,繼而可得出結(jié)論.【解答】(1)解:△ABD≌△ACF,理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠FAC=∠BAC=90°,∵BD⊥CE,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠EDC,∴∠ABD=∠ACF,在△ABD和△ACF中,,∴△ABD≌△ACF(ASA),(2)證明:∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF,∵BD⊥CE,∴∠BEF=∠BEC,∵BD是∠ABC的平分線,∴∠FBE=∠CBE,在△FBE和△CBE中,,∴△FBE≌△CBE(ASA),∴EF=EC,∴CF=2CE,∴BD=2CE.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.27.如圖,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC
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