2025屆浙江省高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆浙江省高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.8 B.10C.12 D.143．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.4．某中學(xué)舉行黨史學(xué)習(xí)教育知識(shí)競(jìng)賽，甲隊(duì)有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時(shí)現(xiàn)場(chǎng)從中隨機(jī)抽出名選手答題，則至少有名女同學(xué)被選中的概率是（）A. B.C. D.5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)6．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對(duì)，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.7．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.48．為了解一片大約一萬(wàn)株樹(shù)木的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)（單位：㎝）.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于110㎝的株樹(shù)大約是（）A.3000 B.6000C.7000 D.80009．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．10．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.11．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.12．命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.14．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且是等差數(shù)列．則的值為_(kāi)_________15．已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為_(kāi)_______.16．已知圓M過(guò)，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線m截圓M所得弦長(zhǎng)為，求直線m的方程；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng).18．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值19．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說(shuō)明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).20．（12分）命題：函數(shù)有意義；命題：實(shí)數(shù)滿足.（1）當(dāng)且為真時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：2、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).3、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C4、D【解析】現(xiàn)場(chǎng)選名選手，共種情況，設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒(méi)有女同學(xué)被選中的情況，共有6種，利用對(duì)立事件進(jìn)行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場(chǎng)選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設(shè)，，，四位同學(xué)為男同學(xué)則沒(méi)有女同學(xué)被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學(xué)被選中的概率為.故選：.5、B【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，1，，，1，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，，1，故選：B.6、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來(lái)表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來(lái)越平緩，即切線的斜率越來(lái)越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.7、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫(xiě)出漸近線方程，得出，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.8、C【解析】先由頻率分布直方圖得到抽取的樣本中底部周長(zhǎng)小于110㎝的概率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可得，樣本中底部周長(zhǎng)小于110㎝的概率為，因此在這片樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于110㎝的株樹(shù)大約是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】由題可知：，，，故選；D10、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡(jiǎn)得到故答案為D11、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點(diǎn)：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題12、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因?yàn)椤按嬖?，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個(gè)充分不必要條件是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14、52【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，因是等差數(shù)列，則其公差，于是得，，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：5215、1【解析】通過(guò)平面向量基本定理推導(dǎo)出空間向量基本定理得推論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：116、（1）（2）或【解析】(1)首先由條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將圓上兩點(diǎn)代入，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據(jù)弦長(zhǎng)公式，求得直線方程.【小問(wèn)1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓過(guò)點(diǎn)，，，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長(zhǎng)為，符合題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得直線m方程為或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)的中點(diǎn)為，則,由圓的性質(zhì)可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】過(guò)斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）確定異面直線與所成的角為，計(jì)算三角形各邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為中點(diǎn)，連接，，∵為中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，故，且，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】∵，故異面直線與所成的角為，在中：，，.根據(jù)余弦定理：，所以異面直線與所成的角的余弦值為.19、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，（3）見(jiàn)解析【解析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，（2）求出與的相關(guān)系數(shù)，通過(guò)比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結(jié)果（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計(jì)算，然后各個(gè)數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】令，則可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為【小問(wèn)2詳解】與的相關(guān)系數(shù)為因?yàn)?，所以用反比例函?shù)模型擬合效果更好，把代入回歸方程得（元），所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差為，所以，所以非原料成本y服從正態(tài)分布，所以因?yàn)樵谥?，所以需要此非原料成本?shù)據(jù)尋找出現(xiàn)異樣成本的原因20、(1)；(2)【解析】(1)首先將命題，化簡(jiǎn)，然后由為真可得，均為真，取交集即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真，則，解得，當(dāng)時(shí)，命題，若命題為真，則，解得，所以，因?yàn)闉檎?，所以，均為真，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個(gè)命題的真假，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)問(wèn)關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合間的真包含關(guān)系21、（1）（2）【解析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】三點(diǎn)共線，【小問(wèn)2詳解】①②①—②得22、（1）A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見(jiàn)