江蘇省南京十三中、中華中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

江蘇省南京十三中、中華中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，若，，則（）A． B．C．6 D．2．第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P，某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn)：通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬在長(zhǎng)為10，寬為6的長(zhǎng)方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè)，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．3．雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．4．已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則5．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．6．過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交的左支于兩點(diǎn)，直線(xiàn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．7．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．8．把滿(mǎn)足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱(chēng)為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．已知平面向量，滿(mǎn)足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門(mén)廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國(guó)的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼，他們就是院校科研方陣.他們是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建．若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是博士學(xué)位；⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生．則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的，學(xué)位是什么()A．國(guó)防大學(xué)，研究生 B．國(guó)防大學(xué)，博士C．軍事科學(xué)院，學(xué)士 D．國(guó)防科技大學(xué)，研究生11．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．12．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對(duì)于下列判斷：①直線(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，分別是、的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），，若異面直線(xiàn)與所成的角為，且，則______.14．如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線(xiàn)段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為.15．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線(xiàn)的斜率是_______.16．已知在等差數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒(méi)有且沒(méi)有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過(guò)變換得到，再將經(jīng)過(guò)變換得到、，以此類(lèi)推，最后將經(jīng)過(guò)變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫(xiě)出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過(guò)．19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．21．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績(jī)分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）（1）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足：（?。?duì)任意的；（ⅱ）對(duì)任意的，，且.①若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.2、B【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積，再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問(wèn)題求解，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，可得，∴，∴雙曲線(xiàn)的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用線(xiàn)面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不能判定，故錯(cuò)；對(duì)于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，由可得，又，則故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間線(xiàn)面位置關(guān)系.判斷線(xiàn)面位置位置關(guān)系利用好線(xiàn)面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線(xiàn)直觀感知并準(zhǔn)確判斷．5、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.6、D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，?又雙曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切危?，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率，注意利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性（中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)）以及雙曲線(xiàn)的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.7、C【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn),雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.8、B【解析】

滿(mǎn)足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿(mǎn)足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，①不滿(mǎn)足（2）；②不滿(mǎn)足（1）；③不滿(mǎn)足（2）；④⑤均滿(mǎn)足（1）（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.9、C【解析】

根據(jù)，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑵M(mǎn)足，且，所以，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；則丙來(lái)自軍事科學(xué)院；由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學(xué)士.綜上可知，丙來(lái)自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯(cuò)誤；對(duì)B,因?yàn)閥＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對(duì)C,因?yàn)閥＝xc為增函數(shù),故，錯(cuò)誤；對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故，錯(cuò)誤故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．12、C【解析】分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3，根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點(diǎn)可求得解析式為，依次判斷各選項(xiàng)的正確與否．詳解：因?yàn)闉閷?duì)稱(chēng)中心，且最低點(diǎn)為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯(cuò)誤，②正確，③當(dāng)時(shí)，，所以與有6個(gè)交點(diǎn)，設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，，，直線(xiàn)與所成的角為，計(jì)算，，根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?！驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn)，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因?yàn)?，分別、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成的角為，設(shè)，則，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線(xiàn)夾角求長(zhǎng)度，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14、【解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2；體積為；兩個(gè)半球的半徑都為1，則兩個(gè)半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的組合體.15、【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)定理，將線(xiàn)段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線(xiàn)定理，則更為簡(jiǎn)潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線(xiàn)定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線(xiàn)定理可得，即求得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問(wèn)題的重要途徑.16、39【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng),進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為：39【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時(shí)，可知滿(mǎn)足題意；將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào)，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足題意，因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再討論.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)代入可得，令，，則，令解得，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)成立；所以此時(shí)需滿(mǎn)足的整數(shù)解即可，將不等式化簡(jiǎn)可得，令則令解得，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，則，，，所以此時(shí)滿(mǎn)足的整數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，此時(shí)，與題意矛盾，所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再討論，綜上所述，當(dāng)時(shí)，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號(hào)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.18、（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過(guò)變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過(guò)．【詳解】（1），經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)椤?；含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)椤?；同時(shí)含有和的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個(gè)，經(jīng)過(guò)變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過(guò)變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．同理，經(jīng)過(guò)變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．所以的所有可能取值的和為，又因?yàn)椤?、、，所以的所有可能取值的和不超過(guò)．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過(guò)的證明，考查類(lèi)比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出，即可證明結(jié)論；（2）對(duì)（或）是否恒成立分類(lèi)討論，若恒成立，沒(méi)有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時(shí)的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故.（2）由題知，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值；②當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無(wú)極大值.（3）不妨令，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，，由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)椋?，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時(shí)的最小值是1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類(lèi)討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到，故，得到答案.（2）計(jì)算，再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，即，故，，故.（2），故，故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，故，，故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，面積公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、（1），，.（2）填表見(jiàn)解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表，再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可；（3）獲獎(jiǎng)的概率為，隨機(jī)變量，再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分