2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式章末綜合提升講義教案北師大版必修5

PAGE1-第3章不等式[鞏固層·學(xué)問(wèn)整合]

[提升層·題型探究]三個(gè)二次間的關(guān)系【例1】設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：x1<－1且x2<－1．[證明]令f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤eq\f(1,2)，∴－eq\f(1,2a)≤－2<－1，∴拋物線f(x)的對(duì)稱(chēng)軸x＝－eq\f(1,2a)在直線x＝－1的左側(cè)，∴函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)中左側(cè)的一個(gè)在直線x＝－1的左側(cè)．又f(－1)＝a－1＋1＝a>0，∴交點(diǎn)中右側(cè)的那個(gè)也在直線x＝－1的左側(cè)．而函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為方程ax2＋x＋1＝0的兩根x1，x2，∴x1<－1且x2<－1．對(duì)于一元二次不等式的求解，要擅長(zhǎng)聯(lián)想兩個(gè)方面的問(wèn)題：①相應(yīng)的二次函數(shù)圖像及與x軸的交點(diǎn)，②相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；反之，對(duì)于二次函數(shù)二次方程的問(wèn)題的求解，也要擅長(zhǎng)聯(lián)想相應(yīng)的一元二次不等式的解與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像及與x軸的交點(diǎn).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝．2[因?yàn)閍x2－6x2＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝2.))]不等式的恒成立問(wèn)題【例2】已知不等式mx2－mx－1<0．(1)若x∈R時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若x∈[1,3]時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若滿意|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．[解](1)①若m＝0，原不等式可化為－1<0，明顯恒成立；②若m≠0，則不等式mx2－mx－1<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4<m<0．綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－4,0]．(2)令f(x)＝mx2－mx－1，①當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝－1<0明顯恒成立；②當(dāng)m>0時(shí)，若對(duì)于x∈[1,3]不等式恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f3<0))即可，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝－1<0，,f3＝9m－3m－1<0，))解得m<eq\f(1,6)，∴0<m<eq\f(1,6)．③當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(1,2)，若x∈[1,3]時(shí)不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象(圖略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,6)))．(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，若對(duì)滿意|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，則只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－2<0，,g2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2－x－1<0，,2x2－x－1<0，))解得eq\f(1－\r(3),2)<x<eq\f(1＋\r(3),2)．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2)))．對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型及解法有以下幾種1變更主元法：依據(jù)實(shí)際狀況的須要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元.2分別參數(shù)法：若fa<gx恒成立，則fa<gxmin.若fa>gx恒成立，則fa>gxmax.3數(shù)形結(jié)合法：利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問(wèn)題通過(guò)函數(shù)圖像直觀化.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－∞，0)C．(0,2) D．(－2,0)(2)若函數(shù)f(x)＝eq\r(kx2－6kx＋k＋8)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．(1)A[因?yàn)閒(x)為R上的減函數(shù)，故f(x＋a)>f(2a－x)?x＋a<2a－x，從而2x<a，所以2(a＋1)<a，解得a<－2．](2)[0,1][由題意知，kx2－6kx＋(k＋8)≥0的解集為R．①當(dāng)k＝0時(shí)，8≥0成立．②當(dāng)k≠0時(shí)，上述不等式成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝36k2－4kk＋8≤0.))解得0<k≤1．綜上，k的取值范圍是[0,1]．]簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題【例3】?jī)深?lèi)藥片有效成分如下表所示，若要求至少供應(yīng)12毫克阿司匹林，70毫克小蘇打，28毫克可待因，問(wèn)兩類(lèi)藥片最小總數(shù)是多少？怎樣搭配價(jià)格最低？成分種類(lèi)阿司匹林小蘇打可待因每片價(jià)格(元)A(毫克/片)2510．1B(毫克/片)1760．2[解]設(shè)A，B兩種藥品分別為x片和y片(x，y∈N)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥12，,5x＋7y≥70，,x＋6y≥28，,x≥0，,y≥0，))兩類(lèi)藥片的總數(shù)為z＝x＋y，兩類(lèi)藥片的價(jià)格和為k＝0．1x＋0．2y．如圖所示，作直線l：x＋y＝0，將直線l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上一點(diǎn)A，且與原點(diǎn)最近．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,5x＋7y＝70，))得交點(diǎn)A坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,9)，\f(80,9)))．由于A不是整點(diǎn)，因此不是z的最優(yōu)解，結(jié)合圖形可知，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝11，經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值為11．藥片最小總數(shù)為11片．同理可得，當(dāng)x＝3，y＝8時(shí)，k取最小值1．9，因此當(dāng)A類(lèi)藥品3片、B類(lèi)藥品8片時(shí)，藥品價(jià)格最低．解線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟1列：設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù).2畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域.3移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線.4求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解.5答：作出答案.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是(答案用區(qū)間表示)．[3,8][作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＋y≤4，,2≤x－y≤3))表示的可行域，如圖中陰影部分所示．在可行域內(nèi)平移直線2x－3y＝0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)x－y＝2與x＋y＝4的交點(diǎn)A(3,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值z(mì)min＝2×3－3×1＝3；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)x＋y＝－1與x－y＝3的交點(diǎn)B(1，－2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值z(mì)max＝2×1＋3×2＝8，所以z∈[3,8]．]利用基本不等式求最值[探究問(wèn)題]1．利用不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值的條件是什么？[提示]一正：即a＞0，b＞0；二定：a＋b為定值，ab有最大值；ab為定值，a＋b有最小值；三相等：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，三者缺一不行．2．設(shè)x＞0，y＞0，x＋y＝1，求xy的最大值，你有幾種思路解決這個(gè)問(wèn)題？[提示]法一(干脆應(yīng)用不等式)：xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．法二(消元法)：由x＋y＝1得y＝1－x，則xy＝x(1－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．法三(函數(shù)法)：由x＋y＝1得y＝1－x，則xy＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．【例4】已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3 B．4C．eq\f(9,2) D．eq\f(11,2)思路探究：法一：通過(guò)分解因式，配湊出含x＋1與2y＋1的積的定值，利用基本不等式求解．法二：利用條件，用x表示y代入x＋2y，配湊出積的定值，利用基本不等式求解．法三：在條件x＋2y＋2xy＝8中配湊出雙變量x與2y，利用基本不等式消去2xy，然后解二次不等式可解．B[法一：依題意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，則(x＋1)＋(2y＋1)≥2eq\r(x＋12y＋1)＝2eq\r(9)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1時(shí)，等號(hào)成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值為4．法二：由題意得，x＝eq\f(8－2y,2y＋1)＝eq\f(－2y＋1＋9,2y＋1)＝－1＋eq\f(9,2y＋1)，∴x＋2y＝－1＋eq\f(9,2y＋1)＋2y＝－1＋eq\f(9,2y＋1)＋2y＋1－1≥2eq\r(\f(9,2y＋1)·2y＋1)－2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2y＋1＝3，即y＝1時(shí)，等號(hào)成立．法三：由x＋2y＋2xy＝8得x＋2y＋eq\f(1,4)(x＋2y)2≥x＋2y＋2xy＝8，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，所以[(x＋2y)＋8][(x＋2y－4)]≥0，因?yàn)閤＞0，y＞0，所以x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)等號(hào)成立．]1．(變結(jié)論)例4的條件不變，求xy的最大值．[解]因?yàn)閤＋2y≥2eq\r(2xy)，且x＋2y＋2xy＝8，所以2eq\r(2)eq\r(xy)＋2xy≤8，即(eq\r(xy))2＋eq\r(2)eq\r(xy)－4≤0故(eq\r(xy)＋2eq\r(2))(eq\r(xy)－eq\r(2))≤0，又eq\r(xy)＞0，故eq\r(xy)－eq\r(2)≤0．所以xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝2，y＝1時(shí)等號(hào)成立．即xy的最大值為2．2．(變條件)例4的條件變?yōu)椋阂阎獂＞0，y＞0，x＋2y－xy＝0，求x＋2y的最小值．[解]由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，故x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(