2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.6余弦函數(shù)的圖像與性質學案含解析北師大版必修4

PAGE6余弦函數(shù)的圖像與性質考綱定位重難突破1.會利用誘導公式、圖像的平移得到余弦函數(shù)的圖像．2.會用五個關鍵點畫函數(shù)y＝cosx在x∈[0,2π]上的簡圖．3.駕馭余弦函數(shù)的性質.重點：1.用“五點法”畫余弦函數(shù)的圖像．2.余弦函數(shù)的性質應用．難點：余弦函數(shù)的圖像和性質綜合應用.授課提示：對應學生用書第16頁[自主梳理]1．余弦函數(shù)圖像的畫法(1)平移法(2)五點法①五個關鍵點x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101②函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的簡圖③y＝cosx，x∈[0,2π]的圖像向左、向右平行移動(每次平移2π個單位)得到余弦函數(shù)y＝cosx(x∈R)的圖像，此圖像叫做余弦曲線．2．余弦函數(shù)的性質函數(shù)性質y＝cosx定義域R值域[－1,1]奇偶性偶函數(shù)周期性周期函數(shù)，最小正周期為2π單調性在每一個區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在每一個區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是削減的[雙基自測]1．使cosx＝1－m有意義的m的取值范圍是()A．m≥0 B．0≤m≤2C．－1＜m＜1 D．m＜－1或m＞1解析：∵y＝cosx∈[－1,1]，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.答案：B2．下列關于y＝cosx，x∈R的圖像描述錯誤的是()A．在[0,2π]和[4π，6π]上的圖像形態(tài)相同，只是位置不同B．介于直線y＝1與直線y＝－1之間C．關于x軸對稱D．與y軸僅有一個交點答案：C3．在同一坐標系中，函數(shù)y＝－cosx的圖像與余弦函數(shù)y＝cosx的圖像()A．只關于x軸對稱 B．關于原點對稱C．關于原點、x軸對稱 D．關于原點、坐標軸對稱解析：作出函數(shù)y＝cosx與函數(shù)y＝－cosx的簡圖(圖略)，易知選C.答案：C授課提示：對應學生用書第16頁探究一余弦函數(shù)的圖像及應用[典例1]用“五點法”作函數(shù)y＝1－cosx(0≤x≤2π)的簡圖．[解析]列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝1－cosx01210描點并用光滑的曲線連接起來，如圖．1．用“五點法”作圖，首先要找到關鍵的五個點，然后連線．2．學習中需加強對用五點法作正弦、余弦函數(shù)圖像區(qū)分和聯(lián)系的理解．1．畫函數(shù)y＝2cosx＋3，x∈[0,2π]的簡圖．解析：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝2cosx＋353135(2)描點：在平面直角坐標系中描出(0,5)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3))，(2π，5)五個點．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來，如圖所示．探究二余弦函數(shù)的定義域、值域[典例2]求函數(shù)f(x)＝eq\r(2cosx－1)的定義域、值域．[解析]由2cosx－1≥0知cosx≥eq\f(1,2)，作出y＝cosx在x∈[－π，π]的圖像(圖略)知，2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，∴定義域為{x|2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．又∵eq\f(1,2)≤cosx≤1，∴1≤2cosx≤2.∴0≤2cosx－1≤1.∴y＝eq\r(2cosx－1)的最小值為0，最大值為1，即值域為[0,1]．求與余弦函數(shù)有關的函數(shù)的定義域、值域時要留意數(shù)形結合思想的運用，以及余弦函數(shù)的有界性．2．設關于x的函數(shù)y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值，并對此時的a值求y的最大值．解析：令cosx＝t，t∈[－1,1]，則y＝2t2－2at－(2a＋1)，函數(shù)圖像的對稱軸為直線t＝eq\f(a,2).當eq\f(a,2)＜－1，即a＜－2時，函數(shù)y在[－1,1]上單調遞增，ymin＝1≠eq\f(1,2)；當eq\f(a,2)＞1，即a＞2時，函數(shù)y在[－1,1]上單調遞減，ymin＝－4a＋1＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,8)，與a＞2沖突；當－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2時，ymin＝－eq\f(a2,2)－2a－1＝eq\f(1,2)，a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，∴a＝－1.此時ymax＝－4a＋1＝5.綜上可知，滿意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值為－1，此時y的最大值為5.探究三余弦函數(shù)性質的應用[典例3]比較coseq\f(18π,7)與cos(－eq\f(π,7))的大?。甗解析]∵coseq\f(18π,7)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,7)))＝coseq\f(4π,7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7)))＝coseq\f(π,7)，且0＜eq\f(π,7)＜eq\f(4π,7)＜π，又∵y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴coseq\f(π,7)＞coseq\f(4π,7)，即coseq\f(18π,7)＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7))).比較大小常利用函數(shù)的單調性，單調性是對一個函數(shù)某個區(qū)間而言的，不同的函數(shù)名稱，且所給數(shù)值不在同一個單調區(qū)間內時，應先由誘導公式進行適當轉化，再利用函數(shù)的單調性比較大?。?．利用余弦函數(shù)的單調性，比較cos(－eq\f(23π,5))與cos(－eq\f(17π,4))的大小．解析：cos(－eq\f(23π,5))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\f(3π,5)，cos(－eq\f(17π,4))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π,4).因為0＜eq\f(π,4)＜eq\f(3π,5)＜π，且函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]是減函數(shù)，所以coseq\f(π,4)＞coseq\f(3π,5)，即cos(－eq\f(23π,5))＜cos(－eq\f(17π,4))．利用分類探討的思想求參數(shù)的值[典例](本題滿分12分)當函數(shù)y＝－cos2x＋acosx－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)(a≥－2)的最大值為1時，求實數(shù)a的值．[解析]設t＝cosx，則y＝－t2＋at－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，①3分其中－1≤t≤1，對稱軸t＝eq\f(a,2).4分①若－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2時，②當t＝eq\f(a,2)時，ymax＝eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，6分令eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝1，解得a＝1±eq\r(7)，舍去a＝1＋eq\r(7)，所以a＝1－eq\r(7).8分②若eq\f(a,2)>1，即a>2時，②當t＝1時，ymax＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2).令eq\f(a,2)－eq\f(3,2)＝1，③所以a＝5，11分綜上所述，a＝1－eq\r(7)或a＝5.④12分[規(guī)范與警示](1)在①處，換元后將函數(shù)的一般式變形為頂點式，為利用二次函數(shù)的性質及“最大值為1”這一條件奠定基礎．這是解題的關鍵點．在②處，由a≥－2，函數(shù)在不同的區(qū)間內最值不同，所以對參數(shù)a進行分類探討，分兩類探討，即①－1≤eq\f(a,2)≤1，②eq\f(a,2)>1，本步為易漏點，也是失分點．解答本題常忽視③處