劉蔣?。好}轉(zhuǎn)換高中生思維拓展的方法

命題轉(zhuǎn)換，高中生思維拓展的方法

文/劉蔣巍

“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，命題轉(zhuǎn)換生題型。

一種題型生多解，一種解法一題型?！?/p>

數(shù)學(xué)題的訓(xùn)練不能搞低水平的重復(fù)。因?yàn)榭偸堑退降蛯哟蔚刂貜?fù)做，重復(fù)

練，不僅會浪費(fèi)學(xué)習(xí)的時間與精力，影響學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，還會導(dǎo)致學(xué)生越

練越笨、越練越呆。所以，我們在解題學(xué)習(xí)中應(yīng)學(xué)會轉(zhuǎn)換視角、層層遞進(jìn)，逐步

加深問題的難度，多角度轉(zhuǎn)換問題呈現(xiàn)的背景，從而向更深層次發(fā)展。

原問題已知直角三角形ABC中,/A,/B,NC所對邊分別為

a,b,c,a=3,b=4,ZC=900,求c

運(yùn)用《命題轉(zhuǎn)換的9種方法在教學(xué)中的運(yùn)用》［1］書中命題轉(zhuǎn)換的9種方法

對例題衍生.

技法1:擦除法

擦除法，又稱“刪除條件”。試題通過刪除條件，往往會增加分類討論的情況，

使試題的難度得以提升。還可刪除題目中不必栗的冗余的條件，讓學(xué)生推理得出。

甚至可以刪除圖形（即：不給出圖形），考察學(xué)生的畫圖能力。

問題衍生1將原問題中的條件“NC=90?！眲h除，其他條件不變，求c的值。生成

如下新問題lo

新問題1已知直角三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,求c的值。

新問題分析：將條件“NC=90?！眲h除后，c不一定為斜邊，答案有兩解，常見錯

誤:漏解。

解法口訣化，方便記憶：避免此類漏解的口訣:“有圖有真相，無圖有陷阱?！保ù?/p>

口訣為劉蔣巍老師根據(jù)網(wǎng)絡(luò)用語改編，簡潔好記，經(jīng)過試驗(yàn)，學(xué)生記憶口訣后遇

到該類一題多解問題，不會出現(xiàn)漏解，正確率提高了。）

技法2:條件與結(jié)論互換

一個問題，將其條件與結(jié)論互換后，能夠生成新的問題。"條件與結(jié)論互換”

是數(shù)學(xué)試題命制的常用方法之一。

問題衍生2將例題條件與結(jié)論互換，生成新問題2

新問題2已知三角形ABC中,NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,c=5,求NC

技法3:命題推廣

命題推廣，即：由具體數(shù)字推廣到字母、由具體函數(shù)推廣到抽象函數(shù)、由二

元推廣到多元等。

問題衍生3將題型2命題推廣，生成新問題3

新問題3（1）已知三角形ABC中,NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中

/+〃=,試判斷AA3C的形狀.

（2）已知三角形ABC中,NA,/B,/C所對邊分別為。功,。,。為最大邊，且

試判斷43c的形狀.

（3）已知三角形ABC中,NA,/B,NC所對邊分別為a,b,c,其中/+從＜02,試判

斷A4BC的形狀.

技法4:組合法

組合法，即：“多命題重組”，是指將多個命題進(jìn)行重新組合，實(shí)現(xiàn)無縫對接。

問題衍生4將例題中“a=3,b=4”與一元二次方程的根進(jìn)行組合，包裝成新問題4

新問題4已知三角形ABC中,/A,NB,NC所對邊分別為。力,c淇中a,。是一元

二次方程f-7x+12=0的兩根，求c

技法5:數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)語言包括：文字語言、符號語言、圖像語言?！皵?shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換''就是

指文字語言、符號語言和圖像語言之間的轉(zhuǎn)換以及語言互譯。

問題衍生5直角三角形斜邊的長，可轉(zhuǎn)譯為外接圓的直徑長.通過語言互譯，生

成新問題5

新問題5在直角三角形ABC中/A,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,

求AABC外接圓的半徑.

技法6:由靜化動，動態(tài)生成

“由靜化動，動態(tài)生成”是指通過平移、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換等手段，將靜態(tài)

問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)問題?；蛘邔⒃鹊亩ㄖ?，改為某種等量關(guān)系，進(jìn)而生成動態(tài)問

題。

問題衍生6保持"NC=90。，c=5”不變，讓點(diǎn)C運(yùn)動，生成新問題6(1);保持

“a:A=3:4”的比例不變,A,B為定點(diǎn)，生成新問題6(2);保持7+6=7”的和為定值,

A,B為定點(diǎn)，生成新問題6(3),使靜態(tài)問題動態(tài)化.

新問題6(1)直角三角形ABC中,NA,NB,NC所對邊分別為a,0,c,/C=90。,

c=5,求A48C面積的最大值.

(2)求平面內(nèi)到A(0,0),B(5,0)兩定點(diǎn)距離之比為3的動點(diǎn)C的軌跡方程.

4

(3)求平面內(nèi)到A(0,0),B(5,0)兩定點(diǎn)距離之和為7的動點(diǎn)C的軌跡方程.

問題衍生7對新問題6(1)從語言互譯的角度進(jìn)行打磨，生成新問題7.

新問題7AA3C中，AB=5,ZAC8=9(T,在AB的同側(cè)作正AABD、正AACE和正

\BCF,求四邊形CfDE面積的最大值.

開放條件或結(jié)論，生成題組

1.控制本文例題的條件不變，使其結(jié)論開放，可設(shè)置題組如下：

問題衍生8已知直角三角形ABC中NA,/B,/C所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,NC=90°,

問:(1)三角形ABC的面積是多少？

(2)斜邊上的高線長為多少？

解法點(diǎn)撥：利用面積法或勾股定理求解.

(3)三條邊上的中線長分別為多少？

解法點(diǎn)撥：用勾股定理求解.

(4)三個角的內(nèi)角平分線長分別為多少？

解法點(diǎn)撥：解法1：作垂直，通過面積法或勾股定理求解;解法2：作平行線，構(gòu)

造相似三角形求解，其中平行線的作法也有多種.

(5)三角形內(nèi)切圓的半徑是多少？

(6)三角形外接圓的半徑是多少？

2.使本文例題的條件、結(jié)論都開放，可設(shè)置題組如下：

問題衍生9已知三角形ABC中，NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,c=2,

問:(1)三角形ABC的面積是多少？

(2)三條邊上的高線長為多少？

思路點(diǎn)撥：用勾股定理求解

⑶三條邊上的中線長分別為多少？

思路點(diǎn)撥：用余弦定理或向量法求解

(4)三個角的內(nèi)角平分線長分別為多少？

思路點(diǎn)撥：作平行線，構(gòu)造相似三角形，結(jié)合余弦定理求解

(5)三角形內(nèi)切圓的半徑是多少？

(6)三角形外接圓的半徑是多少？

(7)三角形ABC外接圓圓心記為0,

求①向量AB與向量A0的數(shù)量積；

②向量AC與向量A0的數(shù)量積；

③向量BC與向量A0的數(shù)量積；

(8)設(shè)BC,CA,AB中點(diǎn)分別為D,E,F,三角形ABC外接圓圓心記為0,

求①向量AD,BE,CF的向量和.

②向量AD與向量A0的數(shù)量積；

③向量BE與向量B0的數(shù)量積；

④向量CF與向量C0的數(shù)量積；

命題推廣：已知三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,求衍生9的問題

(1)~(8).

語言互譯：在三角形ABC中，NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,cosc=1,求衍生9的問題(1)~(8).

8

問題衍生10通過增加條件，衍生新問題.

(1)在直角三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,NC=90。,

在RfAABC內(nèi)部作一個矩形CEFG,使得邊CE,CG分別在兩直角邊上,求矩形CEFG

面積的最大值.

(2)在直角三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,ZC=90°,

在R/AABC內(nèi)部作一個矩形DEFG,其頂點(diǎn)D,G分別在兩直角邊上，點(diǎn)E,F在斜邊

上.求矩形DEFG面積的最大值.

(3)已知三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,c=2,在三

角形ABC內(nèi)部作一個矩形DEFG,求矩形DEFG面積的最大值.

問題衍生11通過刪除條件，衍生新問題.

(1)在三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,求c,的范圍.

⑵在三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中c=2,cosC=Z,^a+b的

8

范圍.

編題思路:用余弦定理對衍生11問題⑵進(jìn)行包裝，可得44+44c而c=2,

亦即4a2+4從-7"=16；生成(3)

(3)在三角形ABC中NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,4672+4*2-7^=16,^a+b的

范圍.

技法7:背景轉(zhuǎn)換法

背景轉(zhuǎn)換法，即：轉(zhuǎn)換問題的背景。在試題命制的過程中，我們往往將基本

問題幾度易稿，改變問題的呈現(xiàn)方式，使基本模型、基本條件得到隱藏，借助背

景的力量改變問題的難度。這種編題的方法，稱之為“背景轉(zhuǎn)換法

引理：(余弦定理的逆命題)對于正實(shí)數(shù)a,b,c,及。€(0,乃)，若有

a2-b2+c2-2/?ccos6,則a,"c對應(yīng)的線段可以構(gòu)成一個三角形，且a邊的對角大小為

0.

證明：因?yàn)?e(0,%),所以一1<COS6<1.

又由等式a?=82+c?-2/?ccos6,得：b2+c2-2bc<a2<b2+c2+2bc,

b+c>a,

即：(Z?-c)2<a?<g+c)2,。取一cj<a<8+c,=<c+a>"

\a+b>c

故，以三正數(shù)a,仇c為邊長可構(gòu)造出一個三角形ABC.

〃+02_々2

由余弦定理，cosA=---------,代入已知等式，得：cosA=cos。

2bc

因?yàn)锳,ee(0,乃)，且cosx在(0,乃)上單調(diào)遞減，

所以，A=6,即：a邊的對角大小為。

編題思路：結(jié)合引理，運(yùn)用背景轉(zhuǎn)換的方法，轉(zhuǎn)換衍生11問題(3)中三角形的幾

何背景，將幾何問題代數(shù)化，生成問題(4).

（4）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足4/+4尸-7"=16,求a+b及a+2b的范圍.

一個學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就像“大樹的根”一樣。數(shù)學(xué)題的生長就像“樹枝”的生

長一樣。一道試題可以看作樹的“主干”，一個“主干”可以向不同的方向生長出若

干個“主枝同樣，一道數(shù)學(xué)題也可以轉(zhuǎn)換視角，從不同的視角生成若干個不同

的問題。在“樹枝”的生長過程中，一個“主枝”又可以生長出若干個“側(cè)枝”。同時

“主枝”也可以生長出“主枝延長枝”，讓“主枝”進(jìn)一步生長。同理，從不同的視角

衍生出的問題又可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換視角衍生出不同的子問題。同時，也可以通過開

放條件或結(jié)論，進(jìn)一步生成新問題。

這就是對“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，命題轉(zhuǎn)換生題型?！钡慕忉?。

止匕外，“一種題型生多解，一種解法一題型?！苯獯鹨活愵}的方法有很多，一

種解法也能衍生出一類題型。（這個在本文中，沒有涉及，留給讀者自行推演。）

“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，命題轉(zhuǎn)換生題型。一種題型生多解，一種解法一題型?！?/p>

訓(xùn)練若此，其技必強(qiáng)！

參考文獻(xiàn)

[1]劉蔣巍.命題轉(zhuǎn)換的9種方法在教學(xué)中的運(yùn)用[M].南昌：江西科學(xué)技術(shù)出版

社,2016

附：《編題的14個視角》

編題的14個視角

視角1條件不變，追問結(jié)論

“條件不變，追問結(jié)論''是數(shù)學(xué)問題生成的方法之一。所謂“條件不變，追問

結(jié)論“，是指在控制數(shù)學(xué)問題條件或問題題干不變的情況下，對問題的結(jié)論進(jìn)行

合理地追問?？梢宰穯栐Y(jié)論的同類要素，也可以對原結(jié)論的深層要素進(jìn)行追問。

1.條件不變，追問原結(jié)論的同類要素

例題1如圖是瑞典人科赫（Koc〃）構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的科赫雪花圖案.

圖形的作法是，從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間長

度為底邊.分別向外作正三角形，再把“底邊"線段抹掉.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就會得

到一個“雪花”樣子的曲線.這是一個極有特色的圖形:在圖形不斷變換的過程中，它

的周長趨于無窮大，而其面積卻趨于定值.如果假定原正三角形邊長為。，則可算出

下圖每步變換后科赫雪花的周長:G=3。，=，C.3=，…，則

C”=?

圖1圖2圖3m4

分析：觀察發(fā)現(xiàn):第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎(chǔ)上多了它的周長的L即

3

為t43a,第三個在第二個的基礎(chǔ)上,多了其周長的1二即4為仁c)2.3%依此類推，則得

333

到的第〃個圖形的周長是第一個周長的($"T?3。,即其周長是(|)n-'-3a.

問題生成原問題條件不變，追問原結(jié)論的同類要素。我們知道，周長的“同類要

素”為面積。據(jù)此，生成新的問題。

新問題如圖是瑞典人科赫(Koc〃)構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的科赫雪花圖案.

圖形的作法是，從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間長

度為底邊.分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就會得

到一個“雪花”樣子的曲線.這是一個極有特色的圖形:在圖形不斷變換的過程中，它

的周長趨于無窮大,而其面積卻趨于定值.如果假定原正三角形邊長為4,則可算出

下圖每步變換后科赫雪花的面積:S=乎Y,$2=,S3=，…，則

S,,=.其面積卻趨于定值為.

,二,

圖1圖2圖3圖4

分析：第〃個圖形的邊長為%=(g)"T.q;

由于邊長的分形變化為“一生四”，則第〃個圖形的邊數(shù)為a=3X4"T；

n2222

所以，科赫雪花的面積為：S?=S,,-.+b?_,Sn_y+3X4-X(I)"-.a

=?.?=$+當(dāng)C+…+(>T+C)T+g尸]”2=乎。2+呼口一€尸卜/

當(dāng)〃f+8時，昌"Tfo貝走。2+迪”2即5fMa?

94205

故，在圖形不斷變換的過程中，其面積卻趨于定值2叵/.

例2集合A={x|—l〈x<2,xeR},B={x|0<%<3,xe/?},則Ac3=

評析：考察交集的定義，AcB={x[0<x<2,xwR}或者寫成區(qū)間形式(0,2)

問題生成原問題條件不變，追問原結(jié)論的同類要素。我們知道，集合的運(yùn)算有

“交、并、補(bǔ)”，那么交集的“同類要素''有并集、補(bǔ)集。據(jù)此，生成新的問題。

新問題集合A={X|-1KXV2,X￡R},B={x|0<x<3,xe7?},則Au8=

C?(Ac5)=------；G(ADB)=-------；

例3函數(shù)/(x)=-4=+ln(2-x)的定義域?yàn)?/p>

VX-1

評析：考察函數(shù)的定義域；\x>\,{x[l<x<2,xe/?}或者寫成區(qū)間形式(1,2)

2-x>Q

問題生成原問題條件不變，追問原結(jié)論的同類要素。眾所周知，函數(shù)的定義域

與值域密切相關(guān)，故，我們可繼續(xù)追問函數(shù)的值域，生成新問題。

新問題函數(shù)/(x)=—f^=+ln(2-x)的值域?yàn)開_____

yjx-l

2.條件不變，追問原結(jié)論的深層要素

例題4已知，拋物線C:y=x?-2/nr+蘇+機(jī)-1,其頂點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P在一條

定直線上.

問題生成原問題條件不變，追問原結(jié)論的深層要素。拋物線G的頂點(diǎn)在一條定

直線上，由此進(jìn)一步思考：若拋物線q與其頂點(diǎn)尸所在直線/的另一交點(diǎn)記為。，

那么線段長為定值嗎？據(jù)此，生成新問題。

新問題已知，拋物線G：y=--2如:+/+機(jī)-1與其頂點(diǎn)尸所在直線/的另一交

點(diǎn)為。，那么線段P。長為定值嗎？若為定值，請求出線段P。長；若不為定值,

請說明理由。

解析：y=x2-2mx+in2+m-\=(x-m)2+(m-l),其頂點(diǎn)P(m,m-l')滿足

方程y=x-l,點(diǎn)P在直線/:y=x-l上。

1r22

一,..y-x-2mx+m+m-\,八

聯(lián)工方程卜，消y仔：%72—(2m+l)x+m~+m-0;

X-X22

故[X]_/1=7(12)=7^1+X2)~4X]X2=1；

由平面幾何知識，易得PQ=-司=后

故，線段尸。長為定值，且為痣.

視角2所求問題不變，追問條件

數(shù)學(xué)問題的命制除了“條件不變，追問結(jié)論''外，還可以“所求問題不變，追

問條件”。同樣，我們可以追問原條件的同類要素或是追問原條件的深層要素。

1.所求問題不變，追問原條件的同類要素

例1已知函數(shù)y=/(x)為定義在R上的連續(xù)的奇函數(shù)，若直線y=立人70)與函

數(shù)y=/(x)的圖像有且只有AQ,y),B(X2,J2),CN，%)三個不同的交點(diǎn)，

則%+々+當(dāng)+M+%+%=

評析：考察奇函數(shù)圖像的性質(zhì)；/(幻與丁=匕(人力0)均在R上的連續(xù)的奇函數(shù)。

則函數(shù)g(x)=/(x)-Zx也為奇函數(shù)；且g(0)=0;

根據(jù)題意“直線y=工0)與函數(shù)y=/(x)的圖像有且只有AO1,y),B(々,必)，

C(%3，%)三個不同的交點(diǎn)”，即為函數(shù)g(X)=/(X)-履有三個零點(diǎn)，其中一個零

點(diǎn)為0,另兩個零點(diǎn)互為相反數(shù)，故%+工2+%3=0；

交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和y+必+,3=&百+&N+&F=%(玉+工2+工3)=0；

所以,西+%2+13+y+丁2+%=0

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。不難發(fā)現(xiàn)，直線

)=匕(%。0)是奇函數(shù)，曲線)，=」也是奇函數(shù)；那么，將條件“直線丁=頷攵工0)”

換成“函數(shù)曠=爐"，結(jié)論“否+々+與+弘+%+%值為是否依然不變呢？據(jù)此

想法，生成新問題。

新問題已知函數(shù)y=/(x)為定義在R上的連續(xù)的奇函數(shù)，若函數(shù)>與函數(shù)

y=/(x)的圖像有且只有A(x「y),B(x2,y2),C(與,為)三個不同的交點(diǎn)，求

%+%2+當(dāng)+X+%+%的值。

1jr

例2已知函數(shù)/(幻=于畝(勿￥-§)(0>0)圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離

為工,則①的值為

2

評析：考察周期T與。的關(guān)系；圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為工，即

2

T2冗c

T—7i\co=—=2

T

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。我們知道，正弦函

數(shù)既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。故，考慮對稱中心的同類要素“對稱軸”；

將“相鄰兩個對稱中心之間的距離為巴'改為“相鄰兩個對稱軸之間的距離為X”，

22

生成新的問題。

_一1TT

新問題已知函數(shù)/(x)=5sin(3c-§)(<w>0)圖像上相鄰兩個對稱軸之間的距離

為上,則o的值為

2

例3已知向量行="一1,1),^=(2,-1),若方〃B,則實(shí)數(shù)x的值是

評析：考察向量平行的充要條件。2+x—1=0,x=-\

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。我們知道，兩向量

的位置關(guān)系有平行、相交。其中，相交分為“垂直”與“相交但不垂直”。兩向量不

垂直時，數(shù)量積不為0,不妨取萬名=辛，據(jù)此生成新問題1、新問題2。

新問題1已知向量行=(x—1,1),5=(2,-1),若,則實(shí)數(shù)x的值是

新問題2已知向量行=(x-l,l),5=(2,-1),若23=1叵，則實(shí)數(shù)x的值是

例4集合A={x|—l〈x<2,xeR},B={x|0<x<3,xe/?},則AcB=

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。眾所周知，與定義

域密切相關(guān)的是“值域”。故將條件“A={x\-l<x<2,xeR},

8={劃0<%?3,%6/?}"替換為“4="|-14111%<2,x〉0},

B={x|0<lnx<3,x>0},\生成新問題。

新問題集合A={x|-l〈lnx<2,x>0},B={x|0<lnx<3,x>0},則

AryB=

24

例5已知函數(shù)/(幻=("一?"—在區(qū)間(—吟+8)上單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的

log“尤一2a+1(x21)

取值范圍是

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。我們知道，對數(shù)函

數(shù)與指數(shù)函數(shù)關(guān)系緊密，由原問題中的“l(fā)og“X"，不難想到與之相關(guān)的“屋”。故，

將分段函數(shù)自變量大于等于1時，所對應(yīng)的解析式進(jìn)行局部修改，生成新問題。

24

新問題已知函數(shù)/(%)=<("3"2"+”在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)，則實(shí)數(shù)

ax-2?+l(x>1)

。的取值范圍是

例6已知函數(shù)/⑴二」“'?""①,^(x)=f(x)-m,

x2+4x+l,(x<0)

(1)當(dāng)m=2時，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn);

(2)若函數(shù)g(x)有四個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，記函數(shù)g(x)的四個零點(diǎn)分別為玉，x2,X3，4，

求X1+%2+%3+%4的取值范圍.

評析：函數(shù)的零點(diǎn)與圖像交點(diǎn)的關(guān)系；分段函數(shù)圖像的畫法

(1)當(dāng)x>0時，由|1。82'=2,解得x=4或]

當(dāng)xWO時，由f+4x+l=2,解得x=-2土石，又xWO,故x=—2—后

綜上，當(dāng)加=2時，函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn)，分別為4或,或—2-石

4

(2)函數(shù)g(x)=/(x)-〃z有四個零點(diǎn)，即函數(shù)/(X)圖像與)=〃[的圖像有四個交

點(diǎn)；作出函數(shù)/(x)圖像與y=m的圖像如下，

結(jié)合圖像，可知：函數(shù)g(x)有四個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,1]

(3)不妨設(shè)X]<彳2<%3〈尤4，結(jié)合圖像知：X]+工2=-4且0<工3<1<%4

由Rog2司=|1082%4|=加可知：一1。82%3=1。82工4即1。82(彳3彳4)=0,故芻S=1

當(dāng)0<加<1時，1<x4<2;故無3+Z='+無4e(2,9]

X42

3

故X]+X,+工3+4的取值范圍為(—2,——]

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的同類要素。我們知道，"log?/'、

“Igx”、“Inx”三個函數(shù)均是單調(diào)遞增的對數(shù)函數(shù)，故其圖像具有相似的性質(zhì)。

那么"llogzX"、”|館可''、“M耳”三個函數(shù)圖像的趨勢應(yīng)大致相同。據(jù)此命制新問

題1、新問題2,也能保證新問題與原問題解法相同，能起到很好的變式訓(xùn)練的

效果。

新問題1已知函數(shù)/(%)=」與H)，g(x)=

x2+4x+l,(x<0)

(1)當(dāng)〃?=2時，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)g(x)有四個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，記函數(shù)g(x)的四個零點(diǎn)分別為玉，x2,,x4,

求%+々+%3+尤4的取值范圍.

5、fllnxl,(x>0)

新I可題2已知函數(shù)/1(x)=1,g(x)=/(x)，

X2+4X+1,(X<0)

(1)當(dāng)帆=2時，求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)：

(2)若函數(shù)g(x)有四個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，記函數(shù)g(x)的四個零點(diǎn)分別為$,x2,x3,x4,

求X[+々+與+4的取值范圍.

2.所求問題不變，追問原條件的深層要素

例7已知函數(shù)/(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

f(x)+g(x)=2x,當(dāng)xN—1時都有等式〃(x)g(x)+/(2x)=0成立，則函數(shù)力。)的

最大值是

評析：考察抽象函數(shù)的表達(dá)式；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性；

2V_2T2X+2~x

f(-x)+g(-x)=2~x；即-/(x)+g(x)=2-*；則/(x)=-,g(x)=―-一，

人2上吟必

又〃(x)g(x)+f(2x)=0,則%(x)=2T-2\

易知/i(x)單調(diào)遞減；故，函數(shù)/l(X)的最大值是力(-1)=二

2

問題生成原問題所求的問題不變，追問原條件的深層要素。若將原問題中的

“以幻”換成字母進(jìn)一層思考：若。不是x的函數(shù)，函數(shù)。的最小值怎么求

呢？據(jù)此，生成新問題。

新問題已知函數(shù)/(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=2，，當(dāng)xN—1都有不等式ag(x)+/(2x)N0恒成立，其中。不是x

的函數(shù)，求函數(shù)。的最小值.

視角3條件與結(jié)論互換

一個問題，將其條件與結(jié)論互換后，能夠生成新的問題。"條件與結(jié)論互換”

是數(shù)學(xué)試題命制的常用方法之一。

1.例談”條件與結(jié)論互換”

1

例1函數(shù)./■(%)=+ln(2-x)的值域?yàn)?/p>

Jx-1

評析：考察復(fù)合函數(shù)的值域的求法；易得：函數(shù)定義域?yàn)?1,2);由復(fù)合函數(shù)“同

_1

增異減''的原則,可知函數(shù)fix')+ln(2-x)在定義域上單調(diào)遞減。又因?yàn)?/p>

Jx-1

lim/(%)=+8；

X—>1+

1

lim/(x)=-oo；故函數(shù)/(x)=+ln(2-元)的值域?yàn)镽.

A->2-Jx-1

問題生成將原問題的條件與結(jié)論互換，引入?yún)?shù)。表示函數(shù)/(x)表達(dá)式中的部

分字母，求參數(shù)a的值。生成如下新問題。

1

新問題已知函數(shù)/(%)+ln(2a-x)在區(qū)間(1,2)上的值域?yàn)镽,則求a的

ylx-a

值.

例2若函數(shù)f(x)=tnx"-'為森函數(shù)，且此取函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(V2,-),則

m+n=—

評析：考察賽函數(shù)的概念；加=1；(五)"T=g,H—1=—2,7?=—1,〃2+〃=0

問題生成將原問題的條件與結(jié)論互換，引入?yún)?shù)a表示P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求參數(shù)a

的值。生成以下新問題。

新問題若函數(shù)/(X)=m"T為賽函數(shù)，加+〃=0且此賽函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)

P(a,—),貝'Ja=

2

例3在AABC中，AB=AC,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且NADB=ZADC,求證：

BD=CD

問題生成本題中若將條件“ZAZ58=NAr>C”與要證明的結(jié)論互換，

則難度大幅降低，適合三角形全等證明的初學(xué)者。

新問題在AA6C中，AB=AC,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且BD=CD,求證：

ZADB=ZADC

例4把函數(shù)y=cosx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，且縱坐標(biāo)保持不變,

得到圖像G，再把圖像G上所有的點(diǎn)向左平移至單位得到圖像C2;最后把圖像

6

G上所有的點(diǎn)向下平移1個單位得到圖像G，則圖像。3的函數(shù)圖像解析式為—

評析：考察三角函數(shù)伸縮變換、平移變換：變換后表達(dá)式為丫=(：052。+2)-1；

6

即y=cos(2x+y)-l;

問題生成將原問題的條件與結(jié)論互換，將“圖像。3的函數(shù)圖像解析式”給出，將

初始函數(shù))，=(：05%改為待定的表達(dá)式y(tǒng)=Acos@v+°)。由此，生成新的問題。

新問題把函數(shù)y=Acos&x+°)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，且縱坐

標(biāo)保持不變，得到圖像G，再把圖像G上所有的點(diǎn)向左平移三單位得到圖像。2；

6

最后把圖像g上所有的點(diǎn)向下平移1個單位得到圖像。3,圖像G的函數(shù)圖像解

TT

析式為y=cos(2x+y)-l,則函數(shù)y=24cos@r+0)圖像解析式為

例5若同=3,慟=2,卜+可=",則向量M與向量B的夾角為

_(\a+b\)2-(\af+\h?)j

評析：考察向量的數(shù)量積；cos<a,b>=---------1————=——；故向量1與

2|柚2

向量B的夾角為主

3

問題生成將原問題的條件“B+Bb與結(jié)論“向量2與向量B的夾角為菖

“互換，生成新問題。

新問題若同=3,W=2,且向量2與向量B的夾角為等，則忖+閘=

例6已知外，￡(羊,1)，Sin(6Z+yff)=--,sin(--yff)=--,則

cos^,z+—兀、)=

A.JT5

評析：考察兩角和的余弦公式；cos(a+￡)=—,sin(---，)=----

5413

cos(a+—)=cos[^r+yff)+(--/7)]=cos(a+/9)cos^-^)-sin((z+^)sin(--/7)

4444

56

65

問題生成將原問題的結(jié)論“cos@+工)=-些”與條件“sin(a+0=-3”

4655

“sing-尸)=-上”中的任意一個互換，生成新問題1、新問題2.

413

新問遂1已知a,/?w(=-,4)，sin(——/3)=――,cos(tz+—)=——,

4413465

則sin(a+[3)=

新問題2已知乃)，sin(a+/?)=——,cos(a+—)=---,

45465

JT

則sinG^一夕)=

例7如圖，△QAC和ABAO是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函

數(shù)y=￡在第一象限的圖像過點(diǎn)8,則OC-CD+AZ>OC為

X

0A2-AB2=

分析：

OCCD+ADDC^(OC+AD)CD=(OC+BD)CD^xHyll=6

OA2-AB2=(V2OC)2T叵BD)2=2(OC2-BD2),

=I(OC+BD)(OC-BD)=1(OC+8O)(AC-AD)

11AQ

=]%%=5X6=3

問題生成將原問題的結(jié)論“04-AB2=3”作為已知條件，將反比例函數(shù)y=g中

X

的“6”改為待定字母3求Z的值。據(jù)此，生成新問題。

新問題如圖，AOAC和是等腰直角三角形，NACO=NAD8=90°,反比

k

例函數(shù)y=—在第一象限的圖像過點(diǎn)B,且。川一A8?=12,則k的值為

X

2.“條件與結(jié)論互換”應(yīng)用案例

2015年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第19題1稿的打磨過程川也采用了“條件與結(jié)論互換”的

方法。

1稿當(dāng)函數(shù)/（幻=&+1）[/+（4一i）x+l-0有3個不同的零點(diǎn)時，求〃的范圍.

參考答案：（-8,-3）51,3）5。,+8）

22

1稿修改由于。+1）52+（4-1?+1-4]=/+0￥2+1-a,發(fā)現(xiàn)等號右邊的三次式的

二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)和為1,即a+（l-。）=1。引入?yún)?shù)c替換1,將“條件與結(jié)

論互換“求c的值，形成2稿.

2稿當(dāng)函數(shù)/（》）=無3+?2+。—。（實(shí)數(shù)。是與。無關(guān)的常數(shù)）有3個不同的零點(diǎn)

時，。的取值范圍恰好是（_8,-3）0（1,}=§,+8）,求c的值.

參考文獻(xiàn)

[1]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J].文理導(dǎo)

航（中旬）,2017,（02）:18

視角4刪除條件

試題通過刪除條件，往往會增加分類討論的情況，使試題的難度得以提升。

還可刪除題目中不必要的冗余的條件，讓學(xué)生推理得出。甚至可以刪除圖形（即：

不給出圖形），考察學(xué)生的畫圖能力。

例1已知直角三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所對邊分別為a,b,c,其中

a=3,b=4,NC=90。，貝Uc=

問題生成將原問題中的條件“NC=90?！眲h除，其他條件不變，求c的值。生成如

下新問題。

新問題已知直角三角形ABC中，NA,NB,NC所對邊分別為a,b,c,其中a=3,b=4,

求c的值。

新問題分析：將條件“NC=90?！眲h除后，c不一定為斜邊，答案有兩解，常見錯

誤:漏解。

解法口訣化，方便記憶：避免此類漏解的口訣:“有圖有真相，無圖有陷阱。”（此

口訣為劉蔣巍老師根據(jù)網(wǎng)絡(luò)用語改編，簡潔好記，經(jīng)過試驗(yàn)，學(xué)生記憶口訣后遇

到該類一題多解問題，不會出現(xiàn)漏解，正確率提高了。）

例2如圖，直線y=kx+b（匕＞0）與拋物線相交于點(diǎn)A（%,,月），B（x2,y2）

兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)C,設(shè)AOCD的面積為S,且

攵5+32=0.

（1）求。的值；

（2）求證：點(diǎn)（/，y2）在反比例函數(shù)的圖象上;

（3）求證：x]OB+y2OA=0

思考本題第（1）問可刪除“正半軸”，因?yàn)?OCD的面積為S,且左5+32=0”條

件中已隱含條件k＜0,再結(jié)合條件人＞0,可判斷直線y=Zx+8經(jīng)過一、二、三象

限。另外可以不給圖形，增加點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)提示，考察學(xué)生畫圖能力，也增

加了試題的難度。

例3已知。角的終邊上有一點(diǎn)2一省,加）（其中加＞0）且sin6=二"，求tan8

4

的值；

評析：考察任意角的三角函數(shù)定義；

___B

因?yàn)閞=，3+加2,所以sin6=—；=二^=———;則m=0或土石

V3W4

又加＞0,所以加=石，故tan。=—=一35

-V33

問題生成將條件“e角的終邊上有一點(diǎn)尸（-8,旭）（其中機(jī)>o）”中的“加>0”刪

除，那么。除為第二象限角外，還有可能為第三象限角或X軸負(fù)半軸上的角。

新問題已知。角的終邊上有一點(diǎn)P（「A,根），且sin0=—―,求tan。的值；

4

視角5弱化條件與加強(qiáng)條件

“試題通過弱化條件后，會增加分類討論的情況，有利于學(xué)生發(fā)散思維的培

養(yǎng)。試題通過條件加強(qiáng)后，往往會減少討論的情況，使試題變得簡單，使其適合

解題能力中下的學(xué)生?！吧健叭趸瘲l件與加強(qiáng)條件''也是數(shù)學(xué)題命制的常用方法之

O

一、弱化條件

24

例1已知函數(shù)/（%）=①一在區(qū)間（_吟+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)

log”X-2Q+1（x21）

。的取值范圍是

評析：考察對數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)、分段函數(shù)圖像的性質(zhì)；

2八

a—<0,

3

241217

<0—：一2々+；2—2。+1,解得了”；，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是號,早

0<6Z<1

問題生成將條件“在區(qū)間（-00,+00）上單調(diào)遞減”弱化為“在區(qū)間（-00,+00）上單調(diào)”，

那么新問題需要思考“單調(diào)遞增”、"單調(diào)遞減”兩種情況的可能性，增加了試題的

思維量。

’24

新問題已知函數(shù)/（幻=3一§比一2。+3a<i）在區(qū)間（_8,+8）上單調(diào)，則實(shí)數(shù)

log”x-2tz+l（x>1）

。的取值范圍是

例2已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時,

X

一~~,(0(x?2),3

/?=2若函數(shù)/(x)在(f,f+2)上的值域是(-：,0]的子區(qū)間，則

7^-,(X>2)

U-x

實(shí)數(shù)，的取值范圍為

評析：考察分段函數(shù)圖像、偶函數(shù)圖像的畫法；子集的概念

根據(jù)題意繪制圖形如下:

分析知：r+2<-3^r>3；或在r<0<r+2時，/最小取一百，最大取百一2；

即實(shí)數(shù)f的取值范圍為(-00,-5]u[-瓜V3-2]u[3,+oo)

問題生成將原問題條件“值域是(-？,()]的子區(qū)間”弱化為“值域是(-3,0]”，生成

22

新問題。

新問題已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時，

J

-y,(0<x<2),

若函數(shù)f(x)在",f+2)上的值域是(-1,0],則實(shí)數(shù)f的取

/(x)=<

X

----,(%>2)

U-x

值集合為

例3如圖，已知拋物線y=?%2+)x+c(a/0)與*軸交于

A(-1,0),B兩點(diǎn)、,與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),該拋物

線頂點(diǎn)為。，對稱軸直線x=l交x軸于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，

當(dāng)ZABP=ZCDB時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

問題生成將第(2)問“點(diǎn)P在光軸下方的拋物線上”弱化為“點(diǎn)P在拋物線上”,

形成新問題。

新問題如圖，已知拋物線y=而：2+〃x+c(a/0)與x軸交于A(-1,O),B兩點(diǎn)、,與

y軸交于點(diǎn)。(0,-3),該拋物線頂點(diǎn)為。，對稱軸直線x=l交.

設(shè)點(diǎn)尸在拋物線上，當(dāng)NA3P=NCO8時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

新問題解析：①若P在x軸下方，

ZABP=ZCDB,/.tanZABP=tanZCDB=3

--U2-2X-3)(X-3)(X+1).)

3-xx-3

"(2,-3)

②若P在x軸上方，

?:ZABP=4CDB,tanZABP^tanZCDB=3

,X2-2X-3(X-3)(X+1)_.

3—x3—x

???^(-4,21)

二'加強(qiáng)條件

例4已知函數(shù)/(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=2*,當(dāng)xN-1都有不等式ag(x)+/(2x)N0恒成立，其中。不是x

的函數(shù)，則函數(shù)a的最小值是

問題生成將條件“x2-1”加強(qiáng)為“xe[1,2]”，并將“不等式ag(x)+/(2x)N0”

稍作改動，改為“不等式勾(x)+g(2x)N0”。生成新的問題。

新問題已知函數(shù)/(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

f(x)+g(x)=2x,當(dāng)xe[l,2]不等式/(x)+g(2x)N0恒成立，其中a不是x的

函數(shù)，則函數(shù)a的最小值是

—>—>—>—>

例5在邊長為4的正AABC中，已知3。=幾B4,CE=〃C4,其中九>0,〃>0,

且;1+〃=1,則&>盛的取值范圍為

評析：考察向量的數(shù)量積，向量的幾何意義，最值問題

—>T—>—>—?I—>P—>—>——>—>

解法1:CDBE=(CB+BD)(BC+CE)=-\BG+CBCE+BD-BC+BD-CE

=-16+/zC5CA+ASABC+A//BACA=-16+8(//+/l)+82//=8(/l/z-l)

=8[A(1-A)-1]=-8(2--)2-6,其中；1>0,1—/1>0,0<2<l

2

故，BE=-8(2—g)2—6e(-8,-6]

解法2:以BC所在直線為x軸，晶方向?yàn)閤軸正方向；以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)

O,BC中點(diǎn)與點(diǎn)A連線所在直線為y軸，以&方向?yàn)檎较?；建立平面直角?/p>

標(biāo)系。則B點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2g);

BA=(2,243),CA=(-2,273),&=(-4,0),BC=(4,0);CD=(22-4,273A),

BE=(4-2〃,2抵)：CD-旋=(2/1-4)(4—2〃)+122〃=8(/L/z-l)=8[/l(l-Z)-11

=-8(2--)2-6,其中4>0,1—4>0,0<A<i

2

故，BE=-8(2—g)2_6e(-8,-6]

問題生成將條件“2>0,〃>0,且/l+〃=l”力口強(qiáng)為";I=g,4€[0,1]“；將所求

——>—>—>

問題“CD8E的取值范圍”稍作改動，改為“8E0E的取值范圍”，生成新的問題。

->1->—>—>

新問題在邊長為4的正A48C中，已知3。=,氏4,CE-CA,其中〃

則BE-DE的取值范圍為

參考文獻(xiàn)

[1]劉蔣巍.“加強(qiáng)條件”與“弱化條件”——淺談變式教學(xué)的兩種方法[J].考試周

刊.2016(65)

視角6命題推廣與特殊化

一、由具體數(shù)字推廣到字母

例1如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片點(diǎn)P為正方形AD邊上

的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)。重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)3落在P處，點(diǎn)C落

在G處，PG交DC干H,折痕為EF,連接5P、BH

（1）求證：ZAPB=ZBPH

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊4。上運(yùn)動時，APO”的周長是否發(fā)

生變化？并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S

與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，

求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）由翻折變換性質(zhì)，得出NPBC=NBPH,又AD//BC,：.ZAPB=NPBC,

ZAPB=ZBPH

(2)APD”的周長不變.

過3作BQLP”于。點(diǎn)，易得A4BP4△。8尸(445),：.AP=PQ,AB=BQ

又A6=6C;.8C=BQ,又BH=BH,

NBQH=NC=90°\BQH名\BCH(HL)

：.QH=CH,APDH的周長C"DH=PD+DH+PH=PD+DH+PQ+QH

=(PD+AP)+(DH+CH)=AD+=8

(3)過戶作/MLAB于/點(diǎn)，則FA/=_BC=A5,NFEM+NEFM=90"

又沿EE翻折EF±BP,ZABP+NFEM=90°,/.ZEFM=ZPBA

：.AE