數學基礎知識-立體幾何

立體幾何

I教學要求

1.了解平面的定義.

2.理解平面的基本性質及推論.

3.掌握空間兩條直線的三種位置關系；理解異面直線判定定理、平行直線公理4及等

角定理的內容.

4.理解異面直線所成角的概念.

5.了解直線與平面在空間中的三種位置關系.

6.理解并掌握直線與平面平行的性質定理和判定定理.

7.理解并掌握直線與平面垂直的性質定理和判定定理.

8.了解直線與平面所成的角的概念及相關定理.

9.了解平面與平面的位置關系.

10.理解兩個平面平行的性質定理及兩個判定定理.

11.理解二面角的概念.

12.掌握平面與平面垂直的性質定理及判定定理.

13.了解常見的幾何體的相關性質，會進行有關面積、體積的計算.

14.體會幾何的美，數學的美，培養(yǎng)學生審美情趣，提高學生學習數學的興趣.

II教材分析

本章內容介紹

立體兒何是在學習平面幾何知識的基礎上，進一步研究空間中點、線、面關系的學科,

而空間中的直線和平面是立體幾何基礎理論知識的主要內容，是學好立體幾何的關鍵.本

-46-

章教學要采用直觀教學的方法，遵循從具體到抽象的教學原則，教師應提供豐富的實物模

擬或利用計算機軟件呈現空間幾何體，并注意引導學生通過實驗（親身做一做、觀察等）

引出所學知識（概念和定理等），在理解的基礎上，指導學生應用所學知識去解決實際問

題，提高學生的學習興趣.

本章分為五部分：第一部分介紹平面及其性質，其中給出的三條公理，即平面的基本

性質及推論，奠定了立體幾何的理論基礎；第二部分介紹了空間兩條直線的位置關系，其

中空間兩條平行直線的性質，是平面幾何中關于平行直線知識的拓展.其中異面直線是一種

全新的位置關系，對其描述可借助平面幾何中角和距離概念；第三部分研究直線與平面的

位置關系，此部分要理解和掌握直線與平面平行與垂直的性質定理和判定定理；第四部分

介紹了空間中兩個平面的位置關系，要求學生掌握兩個平面平行的性質與判定定理；兩個

平面垂直的性質與判定定理.當兩個平面相交時，引出二面角這一概念；本章最后一部分介

紹了幾種簡單幾何體，即棱柱，棱錐，圓柱、圓錐和球.對于其表面積、全面積和體積的計

算，要求學生掌握，在實際生活中可能會用到.

學好本章的關鍵是：要密切聯(lián)系生活實際，利用長方體等教具，理解重要概念和掌握

重要結論；逐漸學會如何分析問題，逐漸學會邏輯推理；逐步適應用向量的知識進行計算

或證明；多畫草圖，從圖中受到啟發(fā)，培養(yǎng)空間想像能力.

本章教學重點

1.平面的基本性質.

2.確定平面的方法.

3.異面直線的概念和兩條異面直線所成角的概念.

4.直線和平面平行、垂直的性質定理和判定定理.

5.直線和平面所成角的概念.

6.兩個平面平行、垂直的性質定理和判定定理.

7.二面角及其平面角的概念.

8.柱、錐、球及其簡單組合體的結構特征及面積、體積的計算.

數學（基礎模塊）下冊數學參考書

本章教學難點

1.兩條異面直線所成角的概念.

2.二面角的平面角的概念.

3.兩個平面垂直的性質定理和判定定理.

本章學時安排如下（僅供參考）

9.1平面的基本性質約1學時

9.2空間兩條直線的位置關系約2學時

9.3空間直線與平面的位置關系約3學時

9.4空間平面與平面的位置關系約3學時

9.5棱柱、棱錐與棱臺約2學時

9.6圓柱、圓錐與圓臺約1學時

9.7球約1學時

本章小結與復習約1學時

III教學建議和習題答案

9.1平面的基本性質

1.平面是空間圖形的最基本元素，往往學生理解的“平面”是不準確的.此處一定要

強調平面是平坦而且可以無限延展，它把空間分成若干部分.平面的表示方法很簡單，一般

用希臘字母￡、7來命名，也可以用平行四邊形的四個頂點或兩個相對的頂點字母來

命名，但一定要使學生明白，這個平行四邊形并不是平面，只是平面的一部分.

2.平面基本性質的三個公理是不需任何論證的真理，它是一切推理論證的基礎，教學

中除了要大量引入實例外，還要充分重視直觀模型的作用.

3.公理1是借助于直線與平面的關系來描述平面的基本性質.如果直線上所有的點都

在某一平面內，那么就稱直線在這個平面內或說平面經過這條直線，但直線上有無數個點,

-48-

所以要判定一條直線在某一個平面內幾乎是不可能的，而公理1為我們提供了一條捷徑，

只要直線上有兩個點在一個平面內，就可以說宜線在這個平面內.

4.公理2是判定兩個平面相交的重要依據，只要兩平面有一個公共交點，就可判定這

兩個平面相交.

5.公理3是確定平面的條件,不共線的三點決定一個平面屈公理3可直接得到推論1,

推論2和推論3的證明.

推論1經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.

證明：如圖9/所示，設Ce?,則點4B,C確定一個平面a（公理3）.因

為直線。在平面a內，點力在平面a內.即過一條直線和直線外的一點有一個平面（存在性）.

圖9-1

如果過直線。和點A還有一個平面夕，則點A,B,C必在平面月內，根據公理3,

平面a與平面夕應該重合.即過一條直線和直線外一點只有一個平面（惟一性）.

推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

證明：如圖9-2所示，設=A,CGb,則不在一條直線上的三點4,B,C

確定一個平面a（公理3）.因為〃，〃上分別有兩個點在平面a內，所以直線％b都在平面

a內.即過兩條相交直線有一個平面（存在性）.

圖9-2

如果過①b還有一個平面夕，則A,B,C三點必在平面夕內，根據公理3,過不在

一直線上的三點有且只有一個平面，所以平面a與平面夕應該重合.即過兩條相交直線只

有一個平面（惟一性）.

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推論3兩條平行直線確定一個平面.

證明：如圖9?3所示，根據平行線的定義：在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平

行線.因為所以過匕有一個平面a（存在性）.

如果過a,b還有一個平面那么在直線。上的任意一點4必在平面￡內.這樣有

兩個平面。和萬過點A和直線江這和推論1相矛盾，所以平面a與平面夕應當重合.即

過兩條平行直線只有一個平面（惟一性）.

6.本節(jié)最后把空間看成點集，把點看成空間的基本元素，把平面、直線看成空間的子

集，并說明可借用集合的符號和語言表達它們之間的關系.盡管把空間看作點的集合，是

非常抽象的數學模型，但學生的理解常常停留在直觀的層面上，是通過有形的點，有形的

平面和直線去理解抽象的點、平面和直線，所以在立體幾何中使用幾何語言和符號，一般

不會發(fā)生困難.語言“點A在直線/上”、“點A屬于直線/"與符號A曰是同義的，它們

之間沒有什么不同.開始教學時，可多使用語言敘述，少使用符號，以加深學生對概念的

理解，但在書寫時要逐步增加符號的使用量，以使學生熟悉符號，了解符號的意義，并知

道使用符號表達清晰、簡捷的優(yōu)點.

7.本節(jié)定理和推論較多，建議學生以總結的形式記憶.

課堂練習答案

1.（1）正確;（2）不正確；（3）正確；（4）正確.

2.(1)⑵⑶

-50-

習題9.1答案

1.略

2.經過不在同一直線上的三點，有且僅有一個平面.

3.假如有其中三個點共線，則這條直線與第四個點必在同一個平面內.從而這四點共面與

已知條件矛盾.

4.因為梯形的上、下底所在的直線平行，從而這兩條平行直線確定一個平面a.于是梯形

的兩腰分別有兩個點在平面a內.即梯形的四個頂點共面.

5.不一定，可能異面.

6.梯形一定是平面圖形，證明如第4題所述，菱形也是平面圖形.

9.2空間兩條直線的位置關系

1.本節(jié)將兩條直線的位置關系由平行與相交擴展到空間，提出異面直線的概念，即兩

條直線沒有公共點，也不同在任何一個平面內，這需要學生具有很好的空間想象能力，教

學時可通過引入實例，在直觀的模型下來讓學生了解異面直線.異而直線是立體幾何中的重

要概念之一，也是本節(jié)的難點.教師可多舉一些正誤判斷類的題目來加深學生的理解.畫異

面直線要借助一個或兩個輔助平面.異面直線判定定理是判斷兩條直線是否是異面直線的

依據，雖然可以不要求證明，也要理解并會應用.

2.教學時，要強調異面直線夾角的存在性和學習的必要性.異面直線夾角的范圍是

0?90°,不含0°.通過課本中正方體的練習，逐步深入理解異面直線及其夾角的概念.

兩條異面直線互相垂直，即它們的夾角是直角，這是兩條直線是異面直線時的一種特

殊位置情況.應向學生指出：今后如果說兩條直線互相垂直，它們可能相交，也可能異面.

3.平行直線在平面幾何中己經見過，但此處要補充公理4,平行于同一條直線的兩條

直線平行.等角定理也有很廣的應用，同時，通過圖形讓學生了解空間四邊形的特點.

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4.平面內相交的直線有“形成的夾角”這一概念.在空間中，異面直線雖不能相交，

但為了表示其位置關系，給出了兩條異面直線所成的角，此處需要用到等角定理.求異面直

線的夾角的過程如下：

(1)已知異面直線〃、b;

(2)在空間中任取一點0,過點。作直線"〃〃，b'把異面直線的夾角變成平

面相交直線的夾角.

(3)一般規(guī)定異面直線所成的角不大于直角.為了簡便，通常把點。取在其中一條直

線上.

5.由于異面直線比較抽象，初學時，學生可以用筆、尺等代替直線以幫助形成空間圖

形.

課堂練習9.2.1答案

1.略

2.(1)平行(2)垂直相交(3)異面(4)異面(5)異面

課堂練習9.2.2答案

1.1條

2.互補

3.根據平行于同一條直線的兩條直線互相平行可說明.

課堂練習9.2.3答案

1.(1)45°(2)60°(3)60°

2.兩條直線互相垂直，它們不一定相交.

習題9.2答案

1.⑴X(2)V(3)X(4)X

2.正確，根據公理4.

-52-

3.是，由題意可得，EH、FG、EF、HG均為中位線，又因為4O6D可知EF=FG=HG=EH.

9.3空間直線與平面的位置關系

1.直線與平面有三種位置關系：

(1)直線在平面內一一有無窮個公共點；

(2)直線與平面相交—有且只有一個公共點；

(3)直線和平面平行一一無公共點.

2.直線與平面平行的判定及性質定理的理解和應用是本節(jié)的重點之一，用反證法證明

判定定理如下，供教師參考，不需對學生講解：

已知：Q在平面a外，Z;在平面a內，a//b

求證：a//a.

證明：如圖9-4所示.

圖9-4

假設直線。與平面a交于點4那么點4在平面a內，.

又因為?！◤?/p>

所以4,確定平面夕，從而

直線4,直線人均在平面/?內

因為直線匕在平面a內，

所以b是a與4的交線.

所以點A在直線匕上.

于是直線a和直線b交于點A.這與a//b矛盾.

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所以直線4和平面a交于點A不可能，因此。〃a.

3.直線與平面垂直是由實例引入的，如果由定義證明直線垂直于平面是很難的，所以

直線與平面垂直的判定定理顯得尤為重要，其證明如下：

已知：直線機，〃在平面a內，〃7,〃交于點。

求證：l-La.

證明：設g是平面a內的任意一條直線.要證明/J_a,根據定義，就是要證/J_g.

先證明/,總都通過點。的情況（見圖9-5）.

在直線/上點。的兩邊分別取點A,4,使AOA'。.那么直線m,〃都是線段41，

的垂直平分線.如果能證明直線g也是線段4r的垂直平分線，就得到/，g.

當g與機或〃重合時，根據己知/L〃，/_!_〃，可知/_Lg成立.當g與加，〃都不重合

時，在a內做一直線與加，小g分別相交于P,Q,R.連結4P,A'P,AQ,A'Q,AR,

A'R,則

AP=AfP,AR=AR.

△APRg/XA'PR

???ZAPQ=ZArPQ.

：.AAP。g△APQ.

：.AQ=AfQ.

所以g是4A的垂直平分線.

???山?

-54-

如果/，g中有一條或兩條不經過點0,那么過點。可引/,g的平行直線.由于過點O

的這樣兩條直線所成的角就是直線/與g所成的角，同理可證得這兩條直線互相垂直，即

/口.

綜上所述/_La.

以上證明，僅供教師參考，不需要給學生講解.

4.當直線與平面斜交時，引入了斜線段和射影的概念，要求學生知道什么是點到平面

的距離，直線到平面的距離，以及直線與平面所成角的概念，這也是衡量直線與平面位置

關系的參數，學生要學會相關計算.

5.三垂線定理及其逆定理是空間垂直關系的精確概括，是研究空間垂直關系的重要定

理.這兩個定理教材中沒有提到，教師可作為補充內容.

6.直線與平面垂直的位置關系，涉及到直線與直線垂直的知識；直線與平面平行的位

置關系，涉及到直線與直線平行的知識.學習本節(jié)內容時，要適當復習一下上一節(jié)所學內容.

這也體現了知識間的緊密性、連接性.

課堂練習9.3.1答案

⑴AB在平面AC內

⑵線段43〃平面AC

⑶相交

課堂練習932答案

1.是平行的.因為CQ〃4B,在桌面所在的平面內，根據直線和平面平行的判定定理可知.

2.(1)X(2)X

課堂練習9.3.3答案

1.(1)1(2)相交

2.是.因為一個圓的兩條直徑為相交直線，根據直線與平面垂直的判定定理可證.

3.由勾股定理的逆定理可知ABLBD,所以43_L地面

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4.9：BA±AC

又PALa

：.PALAC

?"CJ_平面PAB

故4C_LP8.

課堂練習9.3.4答案

1.(1)CO0,90°],平行或直線在平面內；垂直；斜交

(2)無數

2.直線ABi與平面AC所成角為45°,

直線G。與平面力。所成角為45°,

直線BD\與平面AC所成角為arcsin—.

3

習題9.3答案

1.(1)平面CQQCi，平面AIBIGD

(2)平行，因為BQ"/BD

2.平面EG〃B。，AC〃平面EG,8。與AC是異面直線.

3.a//c,b//c

4.平行

5.EA=645cm,EB=4713cm,E￡>=13cm

6.(1)arctan—(2)8.6cm

7

9.4空間平面與平面的位置關系

1.平面與平面的位置關系有平行和相交兩種.兩個平行平面的性質定理中，一定要注

意若兩個平面平行，那么一個平面中的任一條直線都平行于另一個平面，但是不能說這條

-56-

直線平行于另一個平面的任何一條直線，它們也有可能是異面直線.兩個平面平行的兩個判

定定理很有用.判定定理1中一定要強調是相交直線，如果一個平面內兩條平行直線與另一

平面平行，并不能說這兩個平面平行.

2.兩個平面相交時所成的角叫二面角，二面角的平面角是一個重要的概念，它把立體

圖形轉化為平面圖形.當二面角為直角時，則稱這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直的性

質及判定定理要使學生深刻理解，其可以用前面所學的內容證明，教師可讓學生自己證明.

3.當兩個平面垂直時，其中一個平面內的一條直線若垂直于交線，則這條直線就垂直

于另一個平面.這又將面面垂直轉化為直線和平面垂直，繼續(xù)讓學生感受知識間的相關性.

課堂練習9.4.1答案

1.略

2.(1)1

(2)1

課堂練習9.4.2答案

1.略

2.⑴J(2)X(3)X(4)X(5)V

3.(1)平行

27

(2)——cm

4

課堂練習9.4.3答案

1.(1)NDiDB,90°;乙4。8,45°

(2)xOz,zOy；zOy,xOy;xOz,xOy.

2.根據平面與平面垂直的判定定理分析.

3.155°,因為二面角與NBAC互補.

4.AC.LDE

數學(基礎模塊)下冊數學參考書

?:ABL,a工。

：.ABL0

：.ABLDE

又BCLDE

，OE_L平面ABC

：.DEA.AC

習題9.4答案

1.平行

VZ1+Z2=18O°

又N3+N4=180°

：.B\Ci//BC

???平面ABC〃平面4BiG

2.平行,因為3?！?。1，所以80〃平面AB\Di,又因為GO〃AS，所以〃平面AB\D\,

BD與CQ交于點D,所以平面ABxDx與平面平行.

3.相等.

4.(1)5^2cm

(2)a

<20073

5.----m

3

9.5棱柱、棱錐與棱臺

1.在日常生活中，我們常見到各種形狀不同的物體.若只考慮它們的形狀和大小，它

們都是幾何體.通過舉例讓學生了解面、棱、頂點，對角線等概念.

-58-

2.本節(jié)的重點為棱柱、棱錐的面積與體積的計算.教材中，沒有這些計算公式的推導

過程，教師要求學生記住即可，不必給予證明.教師可適當舉一些生活中的幾何體，讓學生

運用公式去計算，培養(yǎng)學生把數學應用到生活中的意識.

3.我們把棱柱看成是一個多邊形與它在由向量々確定的平移下的像圍成的幾何體,

運用這一看法可以立即得出棱柱的下列性質：

(1)兩個底面是全等的多邊形；

(2)平行于底面的截面與底面是全等的多邊形；

(3)側棱都相等；

(4)過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形.

4.正棱柱是底面為正多邊形的直棱柱.

5.底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.

6.我們用平移和錯切(它們都不改變圖形的面積和體積)求出了棱柱的體積公式.這一

方法比較直觀、易懂.

7.如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，則稱這個棱

錐是正棱錐.

8.棱臺的面積與體積的相關干算，教材中沒有講解，也不要求學生掌握.

課堂練習9.5.1答案

1.長與寬分別為8與6.

OC(也上321/3舊3

2.S全=(才+9)。=?

3.(1)572;(2)V186.

4.3-j3a2+6ah.

課堂練習9.5.2答案

數學（基礎模塊）下冊數學參考書

］島2

，16

2.15

3.S仔=717/+/,v=一

3

習題9.5答案

1.5全=2d2+4ah

2.S*=&瞥-

3.15cm

4.1056m3

9.6圓柱、圓錐與圓臺

1.把圓柱，圓錐，圓臺統(tǒng)一用旋轉體的觀點講述.

2.圓柱、圓錐的兩條性質，謖本沒有證明.教學時，適當根據定義以及線、面平行、

垂直性質，進行簡單說理.例如，性質1：設平行于底面的截面與軸相交于點C,在截線

上任取一點尸，說明CP為定值.性質2可根據定義直接推出.

3.在研究幾何體的性質時，我們常常通過研究它們的特殊截面的性質，來揭示幾何體

的性質.在解圓柱、圓錐的有關問題時，常常把問題轉化為研究它們的兩組特殊截面：軸

截面、平行于底面的截面的性質.

4.圓柱、圓錐側面只研究它們的展開圖.圓柱的側面展開圖與側面積計算公式比較簡

單，學生可自己推出.圓錐的側面展開圖與側面積涉及到扇形的有關概念和面積計算，建

議教學時先復習扇形的有關知識，然后由學生自己研究它們的側面積的計算公式.

5.圓柱、圓錐之間的關系與正棱柱、正棱錐的關系相類似.

課堂練習答案

-60-

1.24

32)On

2.Sw=8OO>/57r,V=^.

習題9.6答案

1.200cm2

2.2000ncm2

3.1:27

4.S側=24兀.

5.上、下底面半徑分別為』和5,SA=3空”=875百-

2二424

9.7球

1.球面上兩點間的球面距離是指經過這兩點的名印在這兩點間的一段劣弧(指不超過

半圓的弧)的長度.

2.公式d=J/?2--是基本的,應熟練掌握.

3.講授球的定義時，要強調它也是一種旋轉體.也可先啟發(fā)學生回答它是由什么平面

圖形旋轉而來的，它的旋轉軸是什么，然后出示模型演示.

4.講授球的定義后，可從軌跡的角度介紹球面的定義.

要強調球面和球的區(qū)別，球面僅僅指球的表面，球是幾何體，不僅包括球面，也包括

球面所包圍的空間.

5.“用一個平面去截一個球，截面是圓面”這一點很重要.

球的截面的兩個性質是教學的重點，要注意：

(1)用一個平面從不同位置去載一個球，得到的截面都是圓.當球心到截面距離d=0

時，截面是大圓，當OvdvR時，截面是小圓.

(2)對球的截而是圓，可按教材的講法進行適當的說理.從說理過程，很自然就可直

數學(基礎模塊)下冊教學參考書

接推出球的半徑、截面半徑與球心到截面距離三者之間的關系.

課堂練習答案

1.9cm.

2.S球面=1OO7im2,%=---m\

習題9.7答案

1.8倍.

2.S球面=48K,=325/3n.

3.—R.

2

4.6670km.

IV復習題9答案

A組

1.(1)q.(2)5后,45。(3)BD,BA,CQ,AB】,BC\,AD.(4)3兀.

2.略.

3.朋與8c是異面直線;PB與AC是異面直線;PC與AB是異面直線.

4.連接BD,交AC于。，連接EO.

因為E為。中點,0為BD中點，所以

在ADQB中,EO4go8,又因為

EOc平面ACE,48N平面ACE.

因此。由〃平面ACE.

5.提示：證明一個平面內兩條相交直線都平行于另一個平面.

-62-

6.略.

C-xlxlrr

7.提示：cosO=七二----=0，

2

S&BDB、1XV2X1

2

所以二面角B-OG-C的大小為45。.

8./?==L旦2"《一叵

V3334V312V3

9.高為側棱長為叵.

26

10.(1)提示:在正方體ABC。-A4GA中，由三垂線定理得.

B、D工A】B,

8QJ.AG，

又A。1QA,B=A.且AGG平面AG8,AB工平面AGB

因此對角線與。_L平面ACA

(2)因為AG_15a，又。A_L平面A4GA，所以

AG_L〃。，乂4An"O=R,且BRa平面BBRD,RDN平面BBRD,

A￡=平面AGR

由兩平面垂直的判定定理知.

平面BBRD±平面AG8.

B組

1.(1)因為/545=/必。=44。3=90。,所以

SA±