安徽省淮南市第二中學2023-2024學年高二下學期期中教學檢測數(shù)學試題

淮南二中2025屆高二第二學期期中教學檢測數(shù)學試題考試時間:120分鐘，試題滿分:150分注意事項：1.答題前，務必在答題卷規(guī)定位置填寫自己的姓名、班級、準考證號(智學號)；2.在答題卷上答題時，選擇題必須用2B鉛筆將對應題號的答案涂黑，非選擇題必須用0.5mm黑色墨水簽字筆在指定區(qū)域作答，超出規(guī)定區(qū)域作答無效；3.考試結(jié)束只需提交答題卷，試題卷學生自己保存.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題所給四個選項中，只有一項是符合題意的.1.書架上有1本語文書，3本不同的數(shù)學書，4本不同的物理書，某位同學從中任取1本，共有（）種取法.A.8 B.7 C.12 D.5【答案】A【解析】【分析】由分類加法計數(shù)原理計算．【詳解】任取1本可分三類：第一類取的是語文書，第二類取的是數(shù)學書，第三類取的是物理書，由此可得取法為．故選：A．2.已知函數(shù)圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，得到導數(shù)的正負區(qū)間，然后做出選擇即可.【詳解】由的圖象及導數(shù)的幾何意義可知，當時，為減函數(shù)，故，排除A、C；當時，先增再減后增，故先正再負后正，排除B.故選：D.3.的展開式中含項的二項式系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二項式展開式的通項，令的指數(shù)位置等于求得的值，即可求解.【詳解】的展開式的通項為：，令可得，所以含項的二項式系數(shù)為，故選：D.4.某學校廣播站有6個節(jié)目準備分2天播出，每天播出3個，其中學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】【分析】先確定第一天和第二天播放的節(jié)目，然后再確定節(jié)目的播放順序，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，同學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的2個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A5.已知的展開式中所有項的系數(shù)和為192，則展開式中的常數(shù)項為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】令，可求出，再寫出的通項，再考慮展開式中的每一項與中的哪項之積為常數(shù)即可.【詳解】令，則，所以．在中，的展開式的通項，所以的展開式中的常數(shù)項為．故選：A【點睛】方法點睛：對于求多個二項式的和或積的展開式中某項的系數(shù)問題，要注意組合知識的運用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運算性質(zhì)．6.若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意函數(shù)不存在極值，則在上恒成立，從而可解.【詳解】函數(shù)，則，因為函數(shù)不存在極值，則在上恒成立，則，得.故選：A7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性判定大小即可.【詳解】，令，則，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，即，即，從而可知.故選：B.8.已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進行求解，最終求得實數(shù)a的最小值.【詳解】因為，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，與1的大小不定，但當實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時因為當時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【點睛】同構(gòu)法針對與不等式或者等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進行求解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的四則運算以及復合函數(shù)的導數(shù)，即可判斷選項.【詳解】，故A錯誤；

，故B正確；

，故C正確；，故D錯誤．

故選：BC10.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（）A.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B.C.第2020行的第1010個數(shù)最大D.第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)，即可判斷D.【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個數(shù)字就是，故A正確；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；故答案為：ABD.11.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.在上單調(diào)遞減B.恰有一個極大值C.當時，有三個零點D.當時，有三個實數(shù)解【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號后，求導確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，在確定方程的根的個數(shù)時需注意函數(shù)值的變化趨勢.【詳解】A：當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；B：當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；結(jié)合選項A的分析，知是函數(shù)極大值點，是函數(shù)的極小值點，故B正確；C：當時，，，當時，，所以當時，方程無實根，即函數(shù)無零點，故C錯誤；D：當時，，由以上討論，知當時，，而，如圖，由圖可知，方程有3個實根，所以有3個實根，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為___________.【答案】【解析】【分析】先由題意可得，求出，即可求得二項式系數(shù)最大的項.【詳解】由題意得，得，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6項，所以，故答案為：.13.某校安排5名同學去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學習，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學被安排到A基地的排法總數(shù)為____________．【答案】60【解析】【分析】分兩種情況分類計算，一種是A基地只有甲同學在，另外一種是A基地有甲同學還有另外一個同學也在，兩種情況相加即可.【詳解】當A基地只有甲同學在時，那么總的排法是種；當A基地有甲同學還有另外一個同學也在時，那么總排法是種；則甲同學被安排到A基地的排法總數(shù)為種.故答案為：60.14.已知函數(shù)，若存在區(qū)間，當時，的值域為，且，其中表示不超過的最大整數(shù)，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】首先將題意轉(zhuǎn)化為有兩個實數(shù)根，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用臨界分析，即可求解.【詳解】由題意可知，有兩個實數(shù)根，即，設(shè)，即與有2個交點，并且滿足，，，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，并且，當時，，如圖，畫出函數(shù)圖象，因為，當時，，則，不滿足，當，，則，不滿足，當，此時，滿足，，，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項活動.（Ⅰ）甲當選且乙不當選，有多少種不同的選法？（用數(shù)字作答）；（Ⅱ）至多有3名男生當選，有多少種不同的選法？（用數(shù)字作答）．【答案】（Ⅰ）70種；（Ⅱ）186種【解析】【分析】（Ⅰ）甲當選且乙不當選，只需從余下的8人中任選4人，結(jié)合組合數(shù)即可求出結(jié)果；（Ⅱ）至多有3男當選時，根據(jù)分類計數(shù)原理應分三類：第一類是3男2女；第二類是2男3女；第三類是1男4女，然后利用分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】（Ⅰ）甲當選且乙不當選，只需從余下的8人中任選4人，有=70種選法；（Ⅱ）至多有3男當選時，應分三類：第一類是3男2女，有種選法；第二類是2男3女，有種選法；第三類是1男4女，有種選法，由分類加法計數(shù)原理知：共有種選法．16.（1）計算：；(請用數(shù)字作答)（2）解關(guān)于正整數(shù)n的方程：【答案】（1）448；（2）【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)將原式化簡重組即可求得結(jié)果；（2）先利用組合數(shù)性質(zhì)化簡，再運用組合數(shù)和排列數(shù)公式展開計算即可求得.【詳解】（1）原式；（2）由化簡得展開得，因，故可化簡得：，解得或(舍)，故方程的正整數(shù)解為.17.某同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元，當年產(chǎn)量小于萬件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于萬件時，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價為元，假若該同學生產(chǎn)的商品當年能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入固定成本流動成本）（2）當年產(chǎn)量約為多少萬件時，該同學的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（取）.【答案】（1）；（2）當年產(chǎn)量萬件時，年利潤最大，最大年利潤為萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件，分和兩種情況，分別求出對應的解析式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中解析式，分別求出和兩種情況下，的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為元，則萬件商品銷售收入為萬元，由題意可得，當時，；當時，；所以；（2）由（1）可得，當，，當且僅當時，等號成立；當時，，則，所以，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)單調(diào)遞減；所以當時，取得最大值；綜上，當時，取得最大值萬元；即當年產(chǎn)量為時，該同學的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大年利潤是萬元.【點睛】思路點睛：導數(shù)的方法求函數(shù)最值的一般步驟：（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當時，.【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，分類討論導函數(shù)的正負即可求解單調(diào)性，（2）由（1）可得，即可將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導確定函數(shù)單調(diào)性，即可利用最值求解.【小問1詳解】的定義域為，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】證明：由（1）知，當時，.要證明成立，只要證明，即證.令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故當時，.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導出不等式：．（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；（2）已知函數(shù)，其中．①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過點作的切線分別交于，結(jié)合，即可得證；（2）①求得，分別求得在點和處的切線方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時，在恒成立，設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【小問1詳解】解：在曲線取一點．過點作的切線分別交于，因為，可得，即．【小問2詳解】解：①由函數(shù)，可得，不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為，即同理曲線在處的切線方程為，假設(shè)與重合，則，代入化簡可得，兩式消去，可得，整理得，由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾即對任意實數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．②當時，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下證：當時，恒成立．因為，所以